Konstrukcija paralelograma

Konstrukcija paralelograma

Ćao! Znam šta pomisliš kad čuješ reč „konstrukcija”. Šestar leti po papiru, lenjir klizi, sve se razmaže od grafita i na kraju dobiješ nešto što više liči na zgnječen krompir nego na geometrijsku figuru. Ali konstrukcija paralelograma za 6. razred zapravo uopšte nije bauk.

Fora je da konstrukciju ne gledaš kao crtanje slobodnom rukom, već kao slaganje Lego kockica po tačnom uputstvu. Kad shvatiš pravila igre i koji alat se kada koristi, zadaci postaju mnogo mirniji. Ova lekcija se oslanja na vrste četvorouglova. paralelogram, vrste paralelograma i četvorougao. elementi četvorougla.

  • Naučićeš glavno pravilo koje otključava celu konstrukciju
  • Radićeš tip sa dve stranice i uglom
  • Radićeš tip sa dve stranice i dijagonalom
  • Videćeš najčešće greške sa šestarom i lenjirom
Konstrukcija nije crtanje odokativno. Poenta je u preciznim koracima i tragovima koje ostavlja šestar.
Konstrukcija paralelograma korak po korak

Glavno pravilo koje rešava sve

Pre nego što zabodemo šestar u papir, moramo da se setimo najvažnije osobine paralelograma: naspramne stranice su jednake.

Ključna osobina
$a=c \quad \text{i} \quad b=d$

To znači da ako ti zadatak da dužinu donje stranice $a$ i leve stranice $b$, ti automatski znaš i gornju i desnu. Upravo to nam omogućava da pomoću šestara nađemo ono poslednje, četvrto teme koje uvek fali.

Ako želiš prvo da utvrdiš zašto to pravilo važi, vrati se na vrste četvorouglova. paralelogram.

Suština

Nađeš tri temena

Pa pomoću jednakih naspramnih stranica tražiš četvrto

Pre rada: alati i pripremna skica

Pre prave konstrukcije uvek nacrtaj malu skicu slobodnom rukom. To nije ukras, nego ozbiljna pomoć. Kad na skici podebljaš ono što ti je dato u zadatku, mozak mnogo brže shvati odakle da krene.

✎
Skica

Slobodnom rukom, u uglu papira

⊙
Šestar

Koristi se za prenošenje dužina i pravljenje lukova

▭
Lenjir

Za prave linije i proveru otvora šestara

Ako nema tragova lukova šestara, nastavnik odmah vidi da si crtao odokativno.
Pripremna skica i alat za konstrukciju paralelograma

Tip 1: Dve stranice i jedan ugao

Ovo je najčešći zadatak na kontrolnom. Znaš dužine dve susedne stranice i ugao između njih. Logika je prosta: nacrtaš osnovu, preneseš ugao, obeležiš treće teme, pa šestarom ukrstiš lukove da dobiješ četvrto.

Osnovna ideja

Prvo dobijaš temena $A, B, D$.

Posle toga iz $B$ i $D$ tražiš presekom lukova teme $C$.

Ovaj tip konstrukcije se zasniva na jednakosti naspramnih stranica i na pravilnom prenošenju ugla šestarom, a ne uglomerom.

Šema

Osnova

Ugao

Bočna stranica

Presek lukova

Primer 1: a = 5 cm, b = 3 cm, α = 60°

Konstruiši paralelogram $ABCD$ ako su date stranice $a=5\text{ cm}$, $b=3\text{ cm}$ i ugao između njih $\\alpha=60^\circ$.

1. Nacrtaj polupravu i na njoj odmeri $AB=5\text{ cm}$.
2. U temenu $A$ konstruiši ugao $60^\circ$ i povuci njegov krak.
3. Na tom kraku odmeri $AD=3\text{ cm}$ i dobiješ teme $D$.
4. Iz temena $B$ napravi luk poluprečnika $3\text{ cm}$.
5. Iz temena $D$ napravi luk poluprečnika $5\text{ cm}$. Njihov presek je teme $C$.
Kad spojiš $A, B, C, D$, dobijaš traženi paralelogram.
Konstrukcija paralelograma kada su date dve stranice i ugao

Tip 2: Dve stranice i jedna dijagonala

Kada nema ugla, zadatak izgleda strašnije, ali je zapravo često još lakši. Dijagonala deli paralelogram na dva trougla, pa ti je prvi posao da konstruišeš jedan trougao, a onda pomoću jednakih naspramnih stranica zatvaraš figuru.

Osnovna ideja
Prvo konstruišeš trougao, pa tek onda iz njega izvodiš ostatak paralelograma.

Ovo je dobra veza sa lekcijom pojam trougla. elementi trougla, jer bez jasne slike trougla i stranica ovaj tip konstrukcije deluje mutno.

Šta prvo vidiš

Jedna stranica

Druga stranica

Jedna dijagonala

Prvo crtaš trougao

Primer 2: a = 6 cm, b = 4 cm, d₁ = 8 cm

Konstruiši paralelogram ako je dato $a=6\text{ cm}$, $b=4\text{ cm}$ i dijagonala $d_1=8\text{ cm}$.

1. Nacrtaj osnovu $AB=6\text{ cm}$.
2. Iz tačke $A$ opiši luk poluprečnika $8\text{ cm}$.
3. Iz tačke $B$ opiši luk poluprečnika $4\text{ cm}$. Njihov presek je teme $C$.
4. Iz temena $C$ napravi luk poluprečnika $6\text{ cm}$, a iz $A$ luk poluprečnika $4\text{ cm}$.
5. Njihov presek je teme $D$. Spoji sve temene.
Na kraju dobijaš traženi paralelogram kroz dva preseka lukova, prvo za $C$, pa zatim za $D$.
Konstrukcija paralelograma kada su date dve stranice i dijagonala

Najčešće greške i trikovi

Greška 1: Crtanje odokativno lenjirom

Učenici često nađu tri temena, a onda četvrtu stranicu povuku tako da samo „izgleda paralelno”. To nije prava konstrukcija, jer nema tragova lukova šestara.

Greška 2: Zaboraviš da promeniš otvor šestara

Kod traženja poslednjeg temena đaci često ostave isti otvor šestara i dobiju deltoid ili neku nepravilnu figuru umesto paralelograma.

Trik 1: Skica slobodnom rukom

Uvek pre konstrukcije nacrtaj mali paralelogram i podebljaj ono što ti je dato. Skica ti bukvalno čuva ocenu.

Trik 2: Ostavi tragove lukova

Tačke preseka lukova su dokaz da si radio konstrukciju pravilno. Nemoj ih brisati dok ne završiš zadatak.

Nema žurbe. Najveći neprijatelj dobre konstrukcije je brzanje sa pogrešnim otvorom šestara.

Kontrola

Skica urađena

Otvor šestara proverен

Lukovi vidljivi

Tek onda spajanje lenjirom

Pitanja koja se najčešće javljaju

Kako se prenosi ugao pomoću šestara?

Ugao ne prenosiš odokativno. Šestarom prenosiš luk i rastojanje između preseka, pa tako dobijaš isti ugao na novom mestu.

Zašto je važna pripremna skica slobodnom rukom?

Skica odmah pokazuje šta je dato i koji trougao ili ugao prvo praviš. Bez nje učenici često krenu od pogrešne strane.

Zašto je dijagonala važna u drugom tipu?

Zato što dijagonala deli paralelogram na dva trougla. Kad konstruišeš prvi trougao, ostatak figure izvodiš mnogo lakše.

Za poređenje sa drugim četvorouglovima, posle ove lekcije možeš i na osnovne konstrukcije trapeza i deltoid.

Prenos ugla šestarom i značaj skice u konstrukciji

Naprednije varijante iz zadataka

U širem skupu zadataka pojavljuju se i konstrukcije gde su dati jedna stranica i dve dijagonale, kao i posebni slučajevi kroz romb i kvadrat. Tu se i dalje vrti ista logika: koristiš osobine figure da bi iz poznatih podataka izvukao nepoznata temena.

Jedna stranica i dve dijagonale

Kod ovog tipa koristiš činjenicu da se dijagonale paralelograma polove, pa često radiš sa njihovim polovinama.

Romb i kvadrat kao posebni slučajevi

Kod romba ti pomaže da su sve stranice jednake i da dijagonale imaju posebne osobine. Kod kvadrata dodaješ i prave uglove. Zato su korisne lekcije vrste paralelograma i deltoid kad budeš širio ovu temu.

Kad god zadatak izgleda komplikovanije, pitaj sebe: koju osobinu figure mogu da pretvorim u otvor šestara ili u presek lukova?
Isti obrazac

Poznati elementi

Osobina figure

Lukovi šestara

Presek = novo teme

Zadaci 1 do 5

U sirovom tekstu si poslao i širi skup zadataka iz konstrukcija. Ovde ih sabijam u pregledne celine, da ostane jasno šta je ideja svakog tipa.

Zadatak 1

Paralelogram sa dve stranice i uglom između njih rešavaš isto kao naš prvi glavni primer: tri temena pa presekom lukova četvrto.

Zadatak 2

Paralelogram sa dve stranice i jednom dijagonalom rešavaš tako što prvo konstruišeš trougao, pa zatim zatvaraš figuru.

Zadatak 3

Kad su date jedna stranica i dve dijagonale, koristiš činjenicu da se dijagonale paralelograma polove, pa radiš preko njihovih polovina.

Zadatak 4

Konstrukcija romba pomoću dve dijagonale oslanja se na to da se njegove dijagonale seku pod pravim uglom i polove.

Zadatak 5

Konstrukcija pravougaonika kroz dijagonalu i zbir stranica već ulazi u napredniji nivo, ali i tu je poenta ista: polaziš od preciznog odnosa između datih elemenata.

Šta se ovde vežba

Prepoznavanje tipa zadatka

Rad sa lukovima

Korišćenje osobina figure

Precizan redosled koraka

Zaključak

Da sumiramo: konstrukcija paralelograma se uvek svodi na to da nađeš tri temena, a zatim preostala poznata rastojanja iskoristiš kao otvore šestara da ukrstiš lukove i nađeš četvrto.

Nema žurbe. Pazi na otvor šestara, ostavi vidljive tragove lukova i ne pokušavaj da „presečeš” zadatak slobodnom rukom. Kao naredni korak možeš da pogledaš vrste paralelograma i konstrukciju paralelograma kao referencu kad budeš vežbao nove tipove.

Kad razbiješ konstrukciju na male korake, dobijaš sigurne poene na kontrolnom.
Zaključak i završni trikovi za konstrukciju paralelograma