Sabiranje i oduzimanje vektora. Množenje vektora brojem

Sabiranje i oduzimanje vektora i množenje brojem

Ćao! Znam da kada prvi put vidiš vektore na tabli, oni izgledaju kao neki čudni saobraćajni znaci ili strelice koje pokazuju na sve strane. Možda deluje konfuzno, ali sabiranje i oduzimanje vektora za 6. razred, kao i njihovo množenje brojem, zapravo je samo crtanje putanja po papiru.

Kad skapiraš jednu prostu caku o tome kako se strelice spajaju, rešavaćeš ove zadatke kao od šale. Ova lekcija se lepo naslanja na vrste četvorouglova. paralelogram, vrste paralelograma, konstrukciju paralelograma i četvorougao. elementi četvorougla, jer se pravilo paralelograma koristi i ovde.

  • Naučićeš šta su pravac, smer i intenzitet vektora
  • Videćeš sabiranje pravilom trougla i pravilom paralelograma
  • Razumećeš zašto je oduzimanje samo sabiranje sa suprotnim vektorom
  • Savladaćeš množenje vektora pozitivnim i negativnim brojem
Najvažnija poruka cele lekcije: vektori se ponašaju kao strelice koje premestaš, nadovezuješ i okrećeš po jasnim pravilima.
Uvod u vektore i rad sa strelicama

Kratak podsetnik: šta je vektor

Vektor je duž koja ima strelicu. Obeležavamo ga malim slovom sa strelicom iznad, na primer $\\vec{a}$.

↔
Pravac

Prava linija po kojoj vektor leži

→
Smer

Strana ka kojoj pokazuje vrh strelice

| |
Intenzitet

Dužina vektora, na primer 5 cm

Ovaj deo je ključan, jer kad sabiraš ili oduzimaš vektore, ti zapravo stalno paziš na te tri osobine.

Vektor = strelica

Ima pravac

Ima smer

Ima intenzitet

Jednaki i kolinearni vektori

U zadacima ćeš često sresti i pitanja šta su jednaki vektori i kada kažemo da su vektori kolinearni.

Jednaki vektori

Dva vektora su jednaka ako imaju isti pravac, isti smer i isti intenzitet. Ne moraju da počinju iz iste tačke.

Kolinearni vektori

Dva vektora su kolinearna ako leže na istoj pravoj ili na paralelnim pravama. Mogu imati isti ili suprotan smer.

Najčešća zabuna: jednaki vektori nisu isto što i vektori koji samo „liče”. Moraju da se poklope po sve tri osobine.
Jednaki i kolinearni vektori

Sabiranje vektora: pravilo nadovezivanja

Kada sabiramo dva vektora, recimo $\\vec{a}$ i $\\vec{b}$, tražimo novi rezultujući vektor. To zapisujemo kao $\\vec{c}=\\vec{a}+\\vec{b}$.

Pravilo trougla
Na vrh prvog vektora stavljaš početak drugog. Zbir spaja prvi početak i poslednji kraj.
1. Nacrtaš prvi vektor $\\vec{a}$.
2. Na njegov vrh nadovežeš početak vektora $\\vec{b}$.
3. Povlačiš novi vektor od samog početka prvog do kraja drugog.

Ovo se još zove i pravilo poligona kada sabiraš tri ili više vektora.

Zapamti

Na strelicu ide rep sledećeg vektora

Ne spajaš vrh sa vrhom

Primer 1: 3 kvadratića udesno i 4 kvadratića nagore

Imaš vektor $\\vec{a}$ koji ide 3 kvadratića udesno i vektor $\\vec{b}$ koji ide 4 kvadratića nagore.

1. Nacrtaš $\\vec{a}$, dakle 3 kvadratića udesno.
2. Na vrh njegove strelice postaviš početak vektora $\\vec{b}$, pa ideš 4 kvadratića nagore.
3. Spojiš prvi početak sa poslednjim krajem i dobiješ zbir $\\vec{a}+\\vec{b}$.
Bratova fora: zamišljaj da ideš od kuće do pekare, pa od pekare do škole. Zbir je prečica od kuće do škole.
Sabiranje vektora pravilom trougla

Sabiranje vektora: pravilo paralelograma

Drugi način sabiranja koristiš kada želiš da oba vektora polaze iz iste tačke. Tada primenjuješ pravilo paralelograma.

Pravilo paralelograma
Ako dva vektora krenu iz iste tačke, njihov zbir je dijagonala paralelograma iz te početne tačke.
1. Nacrtaš $\\vec{a}$ i $\\vec{b}$ iz iste početne tačke.
2. Od vrha prvog povučeš paralelu na drugi, a od vrha drugog paralelu na prvi.
3. Dijagonala do preseka tih paralela je zbir $\\vec{a}+\\vec{b}$.

Ovo je direktna veza sa paralelogramom i zato je zgodno što se lekcija nalazi u ovoj oblasti.

Kad koristiš ovo pravilo

Oba vektora kreću iz iste tačke

Hoćeš pregledan crtež

Razlika između pravila trougla i pravila paralelograma

U suštini, oba pravila daju isti rezultat. Razlika je samo u načinu crtanja.

△
Pravilo trougla

Drugi vektor nadovezuješ na prvi

▱
Pravilo paralelograma

Oba vektora kreću iz iste tačke

=
Isti zbir

Rezultat je isti vektor

Ako ti je lakše da zamišljaš putanju, uzmi pravilo trougla. Ako ti je lakše da vidiš oba vektora odjednom, uzmi pravilo paralelograma.

Razlika između pravila trougla i pravila paralelograma

Oduzimanje vektora: sabiranje sa suprotnim vektorom

Ovde mnoga deca padnu, a trik je zapravo prelak. U svetu vektora, oduzimanje je sabiranje sa suprotnim vektorom.

Glavna formula
$\\vec{a}-\\vec{b}=\\vec{a}+(-\\vec{b})$

Suprotni vektor $-\\vec{b}$ ima isti pravac i isti intenzitet kao $\\vec{b}$, ali suprotan smer.

Ako zaboraviš da okreneš smer vektora koji oduzimaš, automatski dobijaš pogrešan rezultat.
Zapamti minus

Ista dužina

Ista linija

Obrnut smer

Primer 2: kako konstruišeš $\\vec{a}-\\vec{b}$

Neka vektor $\\vec{a}$ ide udesno, a vektor $\\vec{b}$ nagore.

1. Prvo napraviš suprotni vektor $-\\vec{b}$, dakle isti takav vektor, ali nadole.
2. Nacrtaš $\\vec{a}$.
3. Na njegov vrh nadovežeš $-\\vec{b}$.
4. Spojiš prvi početak sa krajem tog obrnutog vektora i dobiješ rezultat.

Drugim rečima, oduzimanje uvek prevodiš u sabiranje, samo što pre toga minus okrene strelicu.

Oduzimanje vektora kao sabiranje sa suprotnim vektorom

Množenje vektora brojem

Kada vektor pomnožiš nekim brojem, taj broj menja njegov intenzitet, a pravac ostaje isti. Smer zavisi od toga da li je broj pozitivan ili negativan.

Množenje pozitivnim brojem

Smer ostaje isti, a vektor se produžava ili skraćuje. Na primer, $2\\vec{a}$ ide u istom smeru kao $\\vec{a}$, ali je dva puta duži.

Množenje negativnim brojem

Smer se obrće, a dužina se menja prema apsolutnoj vrednosti broja. Na primer, $-3\\vec{a}$ je tri puta duži od $\\vec{a}$, ali ide na suprotnu stranu.

Pozitivan broj rasteže ili skraćuje vektor bez okretanja. Negativan broj ga rasteže ili skraćuje i još mu okrene smer.

Skalar radi dve stvari

Menja dužinu

Po potrebi menja smer

Primer 3 i najčešća pitanja

Imaš vektor $\\vec{x}$ dužine $2\\text{ cm}$ koji pokazuje udesno.

Šta je $3\\vec{x}$?

Biće dug $6\\text{ cm}$ i pokazivaće udesno.

Šta je $-2\\vec{x}$?

Biće dug $4\\text{ cm}$ i pokazivaće ulevo.

Kada biram pravilo trougla, a kada pravilo paralelograma?

Pravilo trougla je zgodnije kada zamišljaš kretanje u više koraka. Pravilo paralelograma je preglednije kada oba vektora polaze iz iste tačke.

Kako sabiram tri ili više vektora?

Koristiš isto pravilo nadovezivanja, samo ređaš vektore jedan za drugim. Na kraju spojiš prvi početak i poslednji kraj.

Množenje vektora brojem i završni primer

Zadaci, greške i zaključak

U sirovom tekstu si poslao i širi set zadataka: od sabiranja i oduzimanja vektora u koordinatama, preko rešavanja jednačina sa nepoznatim vektorom, pa sve do izraza kao što su $3\\vec{a}-2\\vec{b}+\\vec{c}$. Sve te varijante se ipak svode na nekoliko istih ideja:

+
Sabiranje

Nadovezivanje ili paralelogram

−
Oduzimanje

Okreneš smer pa sabiraš

×
Množenje brojem

Menjaš dužinu i eventualno smer

Najčešća greška 1: sudar strelica

Učenici često kod nadovezivanja spoje vrh prvog vektora sa vrhom drugog. To je greška. Uvek ide pravilo „voz”: na vrh prvog vektora kačiš početak drugog.

Najčešća greška 2: zaboravljeno okretanje kod minusa

Kad piše $\\vec{x}-\\vec{y}$, ne sabiraš $\\vec{x}$ i $\\vec{y}$, nego $\\vec{x}$ i $-\\vec{y}$.

Zaključak je prost: sabiranje i oduzimanje vektora, kao i množenje brojem, ne traže tešku matematiku, već jasnu sliku šta radi strelica. Ako hoćeš da utvrdiš crtanje figura i paralela, korisne su i lekcije osnovne konstrukcije trapeza, deltoid, pojam trougla. elementi trougla i srednja linija trougla. srednja linija trapeza.

Zapamti: minus okreće smer, broj menja dužinu, a zbir uvek spaja pravi početak sa pravim krajem.
Tri zlatna pravila

Sabiranje = nadovezivanje

Oduzimanje = sabiranje sa suprotnim vektorom

Skalar = dužina i eventualno smer