Pojam trougla. Elementi trougla

Pojam i elementi trougla

Ćao! Dobro došao u svet ozbiljnije geometrije. Znam da ti se možda čini da je tabla na času prepuna crteža, linija i nekih čudnih oznaka, ali pojam trougla i elementi trougla za 6. razred su zapravo samo osnove koje moraš da postaviš na svoje mesto.

To je kao kada učiš delove automobila: čim zapamtiš šta je volan, a šta su točkovi, vožnja postaje laka. Isto tako i ovde. Kad znaš šta su temena, šta su stranice, a šta uglovi, cela priča oko trougla postaje mnogo jednostavnija. Ova tema prirodno pripada matematici za 6. razred i lepo se naslanja na širu matematiku za osnovnu školu.

Videćeš kako nastaje trougao
Naučićeš njegova tri glavna elementa
Zapamtićeš pravilo „Gledam te preko puta!”
Na kraju ćeš dobiti i zadatke koji vode ka narednim lekcijama iz oblasti trougla

Najvažnija poruka cele lekcije: istoimena oznaka u trouglu nikad ne stoji pored sebe, nego preko puta.

Šta je uopšte trougao

Da ne komplikujemo sa teškim definicijama iz udžbenika, trougao nastaje na najprostiji mogući način. Zamisli tri tačke na papiru, ali pazi: one ne smeju da stoje u istoj liniji. Matematičari kažu da te tačke moraju biti nekolinearne.

Pojam trougla

Kada lenjirom spojiš tri nekolinearne tačke, dobijaš zatvorenu figuru sa tri ćoška. To je trougao.

U matematici nam je često mrzelo da stalno pišemo reč „trougao”, pa koristimo simbol $\triangle$ . Zato se trougao sa temenima $A, B, C$ zapisuje kao $\triangle ABC$ .

Trougao je ujedno i poseban mnogougao, samo najjednostavniji mogući, jer ima tri stranice i tri ugla.

Trougao nastaje spajanjem tri nekolinearne tačke

Šta znači da su tačke nekolinearne

Nekolinearne tačke su tačke koje ne leže na istoj pravoj. To je ključni uslov da trougao uopšte postoji.

Zašto je to važno

Ako bi sve tri tačke bile poređane u jednoj liniji, njihovim spajanjem ne bi nastala zatvorena figura sa unutrašnjom oblasti, nego samo prava ili duž.

Zato trougao uvek počinje sa tri tačke koje „beže” iz iste linije.

Tri tačke u istoj liniji ne daju trougao. Bez ovog uslova, nema ni temena, ni stranica, ni uglova u pravom smislu.

Koji su osnovni elementi trougla

Kao što svaka kuća ima krov, zidove i temelje, tako i svaki trougao ima tri glavna dela. To su temena, stranice i uglovi.

Temena

Tri tačke, odnosno tri ćoška trougla

Stranice

Tri duži koje spajaju temena

Uglovi

Prostor unutar trougla gde se stranice sastaju

Svaki trougao ima tačno tri temena, tri stranice i tri unutrašnja ugla.

Temena i stranice trougla

Temena su upravo one tri tačke od kojih smo počeli da crtamo. To su sami špicevi trougla i uvek se obeležavaju velikim štampanim slovima latinice: $A, B, C$ .

Stranice su duži koje spajaju temena i one se obeležavaju malim slovima latinice: $a, b, c$ . Ponekad ih zapisujemo i preko temena koja spajaju, pa stranicu pišemo kao $|AB|, |BC|, |AC|$ .

Važna razlika

$A, B, C$ su tačke.

$a, b, c$ su dužine stranica.

$|AB|$ je duž koja spaja temena $A$ i $B$ .

Mešanje velikih i malih slova je jedna od najčešćih grešaka na kontrolnom.

Označavanje temena velikim i stranica malim slovima

Unutrašnji uglovi trougla

Uglovi su onaj prostor koji se nalazi unutar trougla, tačno tu gde se dve stranice sudaraju u temenu. Obično se obeležavaju malim slovima grčkog alfabeta.

Ugao kod A

$\alpha$

Ugao kod B

$\beta$

Ugao kod C

$\gamma$

Alternativno, ugao možeš zapisati i preko temena koja ga obrazuju, pa se ugao kod temena $A$ može napisati kao $\angle BAC$ , ugao kod $B$ kao $\angle ABC$ , a ugao kod $C$ kao $\angle ACB$ .

Važno pravilo koje ćeš ubrzo koristiti i u lekciji uglovi trougla glasi: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ .

Obeležavanje unutrašnjih uglova alfa beta gama

Bratov savet: „Gledam te preko puta!”

Najveća caka u geometriji, koja će ti trebati do kraja školovanja, jeste pravilo „Gledam te preko puta!”. Temena i stranice sa istim imenom uvek stoje jedno naspram drugog.

Zlatno pravilo

Naspram temena

A

nalazi se stranica

a

, naspram

B

nalazi se

b

, a naspram

C

nalazi se

c

Kako to izgleda u oznakama

$a = |BC|$

$b = |AC|$

$c = |AB|$

Ovo nije samo fora za crtanje. Isto pravilo kasnije direktno pomaže da razumeš i odnos stranica i uglova trougla, jer se naspram najvećeg ugla nalazi najduža stranica, a naspram najmanjeg ugla najkraća.

Dakle, stranica

a

ne dodiruje teme

A

. Ona je strogo preko puta.

Najčešće greške pri crtanju i imenovanju elemenata

Na ovim sitnicama se najlakše gube bodovi, pa otvori četvore oči.

Pogrešno postavljanje slova za stranice

Učenici često nacrtaju trougao sa temenima $A, B, C$ , a onda stranicu $a$ napišu između $A$ i $B$ . To je pogrešno, jer se tu nalazi stranica $c$ .

Mešanje velikih i malih slova

Temena se obeležavaju velikim slovima, a stranice malim. Ako napišeš stranicu velikim slovom ili teme malim, nastavnik će to smatrati greškom.

Zaboravljanje naspramnog odnosa

Ako ne znaš ko je preko puta koga, kasnije ćeš zapinjati i kod zadataka sa uglovima, nejednakošću trougla i konstrukcijama.

Najveća greška je da istoimenu stranicu smestiš pored istoimenog temena. Uvek misli: isto ime, ali preko puta.

Najčešće greške pri obeležavanju trougla

Pitanja koja se najčešće javljaju

Kako se pravilno obeležavaju unutrašnji uglovi u trouglu?

Ugao kod temena $A$ obeležava se slovom $\alpha$ , ugao kod $B$ slovom $\beta$ , a ugao kod $C$ slovom $\gamma$ .

Šta su spoljašnji uglovi trougla?

To su uglovi koji nastaju kada neku stranicu trougla produžiš izvan figure. Oni stoje spolja i čine prirodan nastavak priče o unutrašnjim uglovima. Cela tema je detaljnije obrađena u lekciji spoljašnji uglovi trougla.

Koja je veza između veličine ugla i naspramne stranice?

Naspram većeg ugla nalazi se duža stranica, a naspram manjeg ugla kraća. To je jedno od glavnih pravila koje kasnije koristiš u geometriji.

Kako glasi pravilo o zbiru unutrašnjih uglova?

Zbir unutrašnjih uglova svakog trougla je $180^\circ$ .

Ova pitanja su već uvod u naredne lekcije: uglovi trougla, spoljašnji uglovi trougla i odnos stranica i uglova trougla.

Dodatna pitanja o uglovima i stranicama trougla

Zadaci 1 do 3

U sirovom tekstu koji si dao stoji i set težih zadataka. Oni malo izlaze iz okvira samog obeležavanja, ali su dobar most ka narednim lekcijama.

Zadatak 1

Ako je $\alpha=37^\circ$ , a spoljašnji ugao kod $\beta$ jednak $128^\circ$ , onda je $\beta=52^\circ$ , $\gamma=91^\circ$ , a odgovarajući spoljašnji uglovi su $143^\circ$ i $89^\circ$ .

Zadatak 2

Ako su $a=3$ cm i $b=9$ cm, da bi treća stranica $c$ mogla da postoji, mora važiti $6<c<12$

Zadatak 3

Obim jednakokrakog trougla je $24$ cm, a krak $b=9$ cm. Pošto je $O=a+2b$ , dobijaš $a=6$ cm.

Ovde već ulaziš u teritoriju nejednakosti i obima trougla, ali bez dobrog obeležavanja ne možeš uredno da postaviš ni ove zadatke.

Zadaci o trouglu koji se nadovezuju na elemente i obeležavanje

Zadaci 4 do 7

Zadatak 4

U jednakokrakom trouglu ugao naspram kraka je četiri puta veći od ugla naspram osnovice. Ako zapišeš odnos i iskoristiš zbir uglova $180^\circ$ , dobijaš uglove $80^\circ, 80^\circ, 20^\circ$ .

Zadatak 5

Ako simetrale uglova $\alpha$ i $\beta$ grade ugao od $108^\circ$ , onda je ugao $\gamma=36^\circ$ .

Zadatak 6

Ako su stranice $a=6$ , $b=7$ i $c=8$ , onda po pravilu naspram duže stranice stoji veći ugao, pa važi $\gamma>\beta>\alpha$ .

Zadatak 7

U složenijem pravouglom trouglu sa dodatnom tačkom $D$ , iz uslova da su pomoćni trouglovi jednakokraki dobija se da su uglovi osnovnog trougla $90^\circ, 67.5^\circ, 22.5^\circ$ .

Poenta svih ovih primera je ista: prvo moraš da znaš ko je koje teme, koja je koja stranica i koji ugao stoji gde, pa tek onda računaš.

Šta se ovde vežba

Jednakokraki trougao

Simetrale uglova

Poređenje stranica i uglova

Precizno čitanje oznaka na crtežu

✍ Kad izgubiš pregled u zadatku, vrati se na osnovu: ko je teme, koja je naspramna stranica i koji ugao pripada kom temenu.

Zadaci 8 do 10 i zaključak

Zadatak 8

Ako su dve stranice trougla duge $2009$ cm i $2008$ cm, treća celobrojna stranica mora biti između njihove razlike i zbira, pa su mogući ekstremni obimi $4019$ cm i $8033$ cm.

Zadatak 9

Ako jednakostranični trougao ima obim $24$ cm, onda je njegova stranica $a=8$ cm, jer važi $O=3a$ .

Zadatak 10

U trouglu sa $\alpha=45^\circ$ i $\beta=60^\circ$ najpre dobijaš $\gamma=75^\circ$ , a zatim kroz simetrale zaključuješ da su uglovi trougla $AOS$ jednaki $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$ .

Da sumiramo: pojam trougla i njegovi elementi za 6. razred su osnova na kojoj se gradi sva dalja geometrija. Zapamti da trougao ima tri temena, tri stranice i tri unutrašnja ugla. Osloni se na caku „Gledam te preko puta!” i nećeš pomešati oznake na crtežu.

Za sledeći korak možeš da nastaviš kroz lekcije trougao, elementi, obeležavanje i osnovne konstrukcije trougla.

Kad dobro savladaš oznake, svi sledeći zadaci iz trougla postaju daleko pregledniji.