Vrste četvorouglova. Paralelogram

Vrste četvorouglova i paralelogram

Ćao! Došao je na red onaj deo geometrije gde figure počinju da dobijaju razna imena i prezimena. Znam da vrste četvorouglova i paralelogram za 6. razred na prvi pogled zvuče kao špansko selo i da ti se čini da tu ima milion pravila.

Ali veruj mi, sve se svodi na to koliko koja figura ima paralelnih stranica. Kad skapiraš tu osnovnu podelu, osobine paralelograma će ti biti logične kao slagalica. Ova lekcija se lepo naslanja na četvorougao. elementi četvorougla i zbir uglova četvorougla.

Podelićeš četvorouglove na tri velike grupe
Upoznaćeš paralelogram kao glavnog igrača ove teme
Naučićeš osobine stranica, uglova i dijagonala
Vežbaćeš računanje uglova i obima

Cela tema počinje od jednog pitanja: koliko parova paralelnih stranica ima data figura?

Kako delimo četvorouglove

Zamisli četvorouglove kao jednu veliku porodicu. Članovi se dele po tome koliko parova paralelnih stranica imaju. Paralelne stranice su one koje idu u istom pravcu i nikada se neće preseći, kao šine na pruzi.

Paralelogrami

Imaju dva para paralelnih stranica

Trapezi

Imaju samo jedan par paralelnih stranica

Trapezoidi

Nemaju nijedan par paralelnih stranica

U ovoj lekciji fokus je na paralelogramu, a kasnije ćeš nastaviti na trapez. svojstva trapeza i vrste trapeza. jednakokraki trapez.

Podela četvorouglova na paralelograme, trapeze i trapezoide

Šta je paralelogram

Paralelogram je četvorougao čije su naspramne stranice paralelne. Čim čuješ tu reč, odmah treba da ti se upale tri stvari: stranice, uglovi i dijagonale.

Definicija

Paralelogram ima dva para naspramnih paralelnih stranica.

To znači da je paralelogram posebna vrsta četvorougla, a među njegovim specijalnim slučajevima nalaze se i pravougaonik, romb i kvadrat. Ta šira podela se nastavlja kroz lekciju vrste paralelograma.

Glavni znak

Dva para paralelnih stranica

Stranice i obim paralelograma

Naspramne stranice paralelograma su uvek jednake dužine. Ako je donja stranica $a=5\text{ cm}$ , onda je i gornja $5\text{ cm}$ . Ako je leva $b=3\text{ cm}$ , onda je i desna $3\text{ cm}$ .

Formula za obim

$O=2\cdot a + 2\cdot b$

što je isto kao

$O=2\cdot(a+b)$

To znači da obim računaš iz dve susedne stranice, a ne iz sve četiri posebno. Kasnije će ti ova formula trebati i kod tema kao što su površina pravougaonika i druge specijalne vrste paralelograma.

Osobine uglova kod paralelograma

Ovo je najvažnije za zadatke. Naspramni uglovi su jednaki, a susedni uglovi zajedno daju $180^\circ$ .

Naspramni uglovi

$\alpha=\gamma,\ \beta=\delta$

180

Susedni uglovi

$\alpha+\beta=180^\circ$

Česta greška je da neko napiše

\alpha+\gamma=180^\circ

. To nije tačno. Naspramni uglovi su jednaki, a do 180° se dopunjuju komšijski.

Brza provera

Dva ista oštra ugla

Dva ista tupa ugla

Oštar + komšijski tup = $180^\circ$

Primer: Kako se računa obim paralelograma

Ako imaš paralelogram čija je jedna stranica $a=8\text{ cm}$ , a druga $b=12\text{ cm}$ , obim računaš po istoj formuli:

Račun

$O=2\cdot(a+b)$

$O=2\cdot(8+12)$

$O=2\cdot20=40\text{ cm}$

Rešenje je

O=40\text{ cm}

Zašto formula radi

Paralelogram ima dva para jednakih stranica

Zato je dovoljno da znaš samo $a$ i $b$

Dijagonale paralelograma

Dijagonale paralelograma se seku i tačka preseka ih polovi. To znači da svaku dijagonalu dele na dva jednaka dela.

Važna napomena

Dijagonale običnog paralelograma nisu iste dužine.

Jednake su samo kod specijalnih slučajeva kao što su pravougaonik i kvadrat.

To je jedna od najčešćih zabluda u ovoj oblasti. Ako te zanima kako se iz tih posebnih slučajeva grade nove figure, nastavi kasnije na vrste paralelograma i konstrukcija paralelograma.

Dijagonale paralelograma i njihova svojstva

Primer: Izračunavanje svih uglova

U paralelogramu je dat oštar ugao $\alpha=50^\circ$ . Treba naći ostale uglove $\beta, \gamma, \delta$ .

1. Naspramni uglovi su jednaki, pa je

\gamma=\alpha=50^\circ

2. Susedni uglovi daju

180^\circ

, pa je

\alpha+\beta=180^\circ

3. Ubacimo broj:

50^\circ+\beta=180^\circ

4. Dobijamo

\beta=130^\circ

, a zatim i

\delta=\beta=130^\circ

Rešenje je:

\beta=130^\circ,\ \gamma=50^\circ,\ \delta=130^\circ

Šta mora da ispadne

Dva ista manja broja

Dva ista veća broja

Jedan manji + jedan veći = $180^\circ$

Bratov savet: Brzinska provera na kontrolnom

Kad god završiš zadatak sa uglovima paralelograma, samo baci jedan brzi pogled na rezultat.

Kontrolna lista

Moraš dobiti dva ista manja broja, to su oštri uglovi.

Moraš dobiti dva ista veća broja, to su tupi uglovi.

Zbir jednog manjeg i jednog većeg mora dati $180^\circ$ .

Zbir sva četiri mora biti $360^\circ$ .

Ako se ovo ne poklopi, negde si pogrešio u oduzimanju ili si pobrkao susedne i naspramne uglove.

✍ Najbrža samokontrola: 50, 130, 50, 130 je dobar obrazac. 50, 130, 130, 50 nije problem dok god znaš koji je gde, ali svi uslovi moraju da rade.

Pitanja koja se najčešće javljaju

Koja je razlika između paralelograma i trapeza?

Paralelogram ima dva para paralelnih stranica, a trapez samo jedan. Zato se te figure razlikuju već u osnovnoj podeli četvorouglova.

Da li su dijagonale paralelograma uvek jednake?

Ne. Jednake su samo kod pravougaonika i kvadrata, koji su specijalne vrste paralelograma.

Šta se dešava ako su svi uglovi po 90 stepeni?

Tada paralelogram postaje pravougaonik. Ako su pritom sve stranice jednake, onda je to kvadrat.

Kako se računa obim paralelograma?

Koristiš formulu $O=2\cdot(a+b)$ .

Dalje grananje ove teme ide kroz vrste paralelograma, a iz druge grane četvorouglova kroz trapez. svojstva trapeza.

Razlika između paralelograma, trapeza i posebnih slučajeva

Zadaci 1 do 5

Zadatak 1

Ako su u paralelogramu dati uglovi $\alpha=110^\circ$ i $\beta=70^\circ$ , naspramni uglovi su odmah $\gamma=110^\circ,\ \delta=70^\circ$ .

Zadatak 2

Ako je dat samo jedan ugao, recimo $\alpha=72^\circ$ , onda dobijaš $\gamma=72^\circ$ i $\beta=\delta=108^\circ$ .

Zadatak 3

Za obim paralelograma sa stranicama $a=8\text{ cm},\ b=12\text{ cm}$ dobijaš $O=40\text{ cm}$ .

Zadatak 4

Za romb sa stranicom $a=3\text{ cm}$ obim je $O=4a=12\text{ cm}$ .

Zadatak 5

Ako je visina romba $h=8\text{ cm}$ , poluprečnik upisane kružnice je polovina visine, pa je $r=4\text{ cm}$ .

Šta se ovde vežba

Uglovi paralelograma

Obim

Specijalni slučajevi

Romb kao poseban paralelogram

Zadaci 6 do 10 i najčešće greške

Zadaci 6 do 10

Dalji zadaci iz tvog teksta vode ka pravougaoniku, kvadratu, srednjoj liniji trapeza i uglovima jednakokrakog trapeza. To pokazuje kako se iz glavne podele četvorouglova prirodno prelazi na posebne figure i njihove formule.

Greška 1: Misliš da su dijagonale jednake

Kod običnog kosog paralelograma dijagonale nisu iste dužine. Jednake su samo kod pravougaonika i kvadrata.

Greška 2: Sabiraš naspramne uglove do 180°

Pogrešno je pisati $\alpha+\gamma=180^\circ$ . Naspramni uglovi su jednaki, a susedni se dopunjuju do $180^\circ$ .

Za sledeće korake iz ove oblasti možeš da nastaviš na vrste paralelograma, konstrukcija paralelograma, srednja linija trougla. srednja linija trapeza i deltoid.

Da rezimiramo: kad čuješ reč paralelogram, odmah vizualizuj figuru sa dva para paralelnih stranica, jednakim naspramnim stranicama, jednakim naspramnim uglovima i dijagonalama koje se polove.

Uzmi olovku, nacrtaj skicu i već pola zadatka je rešeno.