Zbir uglova četvorougla

Zbir uglova četvorougla nije misterija

Ćao! Ako ti se čini da je zbir uglova četvorougla za 6. razred neka teška misterija i da opet moraš da učiš napamet gomilu formula, odmah da ti kažem: opusti se. Ovo je zapravo jedna od najlakših lekcija iz geometrije.

Nema komplikovanih pravila. Potrebno je da zapamtiš samo jedan magičan broj i moći ćeš da rešiš svaki zadatak. Cela priča se nadovezuje na lekcije četvorougao. elementi četvorougla, pojam trougla. elementi trougla i uglovi trougla.

  • Naučićeš zbir unutrašnjih uglova
  • Videćeš da i spoljašnji uglovi imaju isto ukupan zbir
  • Vežbaćeš računanje četvrtog ugla
  • Savladaćeš oduzimanje sa stepenima i minutima
Ceo trik ove lekcije vrti se oko jednog broja: $360^\circ$.
Zbir uglova četvorougla i osnovno pravilo 360 stepeni

Unutrašnji uglovi i glavno pravilo

Svaki četvorougao ima tačno $4$ unutrašnja ugla i njih obično obeležavamo grčkim slovima $\\alpha, \\beta, \\gamma, \\delta$.

Glavno pravilo
Zbir svih unutrašnjih uglova u svakom četvorouglu je uvek tačno $360^\circ$.

To zapisujemo formulom $\\alpha + \\beta + \\gamma + \\delta = 360^\circ$. Ako hoćeš da obnoviš same elemente figure, vrati se i na četvorougao. elementi četvorougla.

Zapamti

$4$ unutrašnja ugla

$360^\circ$ ukupan zbir

Zašto je zbir baš 360°

Najlakši dokaz je da nacrtaš jedan četvorougao i povučeš mu jednu dijagonalu. Ta dijagonala ga podeli na tačno dva trougla.

Logika iza pravila

Pošto znaš da je zbir uglova u jednom trouglu $180^\circ$, onda dva trougla daju:

$2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

To znači da pravilo ne moraš da učiš napamet. Dovoljno je da se setiš dijagonale i dva trougla. Ova ideja se direktno naslanja na lekcije pojam trougla. elementi trougla i uglovi trougla.

Četvorougao + jedna dijagonala = dva trougla = $360^\circ$.
Dijagonala deli četvorougao na dva trougla

Primer 1: Traženje četvrtog ugla

U zadatku su data tri ugla četvorougla: $\\alpha = 70^\circ$, $\\beta = 100^\circ$ i $\\gamma = 80^\circ$. Treba izračunati četvrti ugao $\\delta$.

1. Pišemo formulu: $\\alpha+\\beta+\\gamma+\\delta=360^\circ$
2. Ubacujemo brojeve: $70^\circ+100^\circ+80^\circ+\\delta=360^\circ$
3. Sabiramo poznate uglove: $250^\circ+\\delta=360^\circ$
4. Oduzimamo: $\\delta=360^\circ-250^\circ$
Konačno rešenje je $\\delta=110^\circ$.
Brzi obrazac

Saberi tri poznata ugla

Oduzmi od $360^\circ$

Dobićeš četvrti ugao

Spoljašnji uglovi: potpuno ista priča

Kao što postoje unutrašnji, tako postoje i spoljašnji uglovi. Njih obeležavamo dodavanjem broja jedan: $\\alpha_1, \\beta_1, \\gamma_1, \\delta_1$.

360
Zbir spoljašnjih

$\\alpha_1+\\beta_1+\\gamma_1+\\delta_1=360^\circ$

180
Par unutrašnji-spoljašnji

$\\alpha+\\alpha_1=180^\circ$

To znači da je zbir svih spoljašnjih uglova opet $360^\circ$. Ako želiš dodatnu priču o spoljašnjim uglovima, korisna je i lekcija spoljašnji uglovi trougla, jer tu isti princip dopune do $180^\circ$ lepo legne.

Spoljašnji uglovi četvorougla i pravila 360 i 180 stepeni

Kako se računaju unutrašnji i spoljašnji zajedno

Unutrašnji i njegov susedni, komšijski spoljašnji ugao zajedno uvek čine opružen ugao. To znači da je njihov zbir tačno $180^\circ$.

Formule koje važe za svaki ugao

$\\alpha+\\alpha_1=180^\circ$

$\\beta+\\beta_1=180^\circ$

$\\gamma+\\gamma_1=180^\circ$

$\\delta+\\delta_1=180^\circ$

Na primer, ako je $\\beta=65^\circ$, onda je njegov spoljašnji ugao $\\beta_1=180^\circ-65^\circ=115^\circ$.

Pravilo važi samo za komšijski spoljašnji ugao. Unutrašnji ugao $\\alpha$ ne sabiraš sa naspramnim spoljašnjim uglom $\\gamma_1$.

Mini podsetnik

$65^\circ+115^\circ=180^\circ$

Unutrašnji + komšijski spoljašnji

Primer 2: Spoljašnji ugao

Ako je u zadatku dat unutrašnji ugao $\\beta=65^\circ$, njegov spoljašnji ugao dobijaš dopunom do $180^\circ$.

1. Pišemo pravilo: $\\beta+\\beta_1=180^\circ$
2. Ubacujemo broj: $65^\circ+\\beta_1=180^\circ$
3. Oduzimamo: $\\beta_1=180^\circ-65^\circ$
Rešenje je $\\beta_1=115^\circ$.

Isti princip ćeš kasnije koristiti i kod vrsta četvorouglova. paralelogram i trapeza, samo uz dodatna pravila za te figure.

Računanje spoljašnjeg ugla četvorougla iz unutrašnjeg

Bratov savet: Stepeni i minuti bez panike

Najveći problem na kontrolnom nastane kada u zadatku dobiješ uglove u stepenima i minutima. Recimo, zbir tri ugla ispadne $240^\circ 20'$ i sada to treba da oduzmeš od $360^\circ$.

Caka sa pozajmljivanjem

Pošto $360^\circ$ nema minute, napišeš ga kao $359^\circ 60'$.

Onda oduzimaš normalno: $359^\circ 60' - 240^\circ 20' = 119^\circ 40'$.

Ista fora radi i kada oduzimaš od $180^\circ$, samo tada pišeš $179^\circ 60'$.

Jedan stepen ima $60'$. To je cela tajna.
Primer

$360^\circ=359^\circ60'$

$359^\circ60'-240^\circ20'=119^\circ40'$

Pitanja koja se najčešće javljaju

Kako se računaju uglovi kod paralelograma?

Kod paralelograma naspramni uglovi su jednaki, a susedni zajedno daju $180^\circ$. Zato se tema prirodno nastavlja kroz lekciju vrste četvorouglova. paralelogram.

Kako se računaju uglovi kod trapeza?

Kod trapeza uglovi na istom kraku daju $180^\circ$. Tu priču dalje razrađuje lekcija trapez. svojstva trapeza i vrste trapeza. jednakokraki trapez.

Objasni razliku između susednih i naspramnih uglova

Susedni uglovi dele zajedničku stranicu, a naspramni se nalaze preko puta. Ovo je važno da ne bi pomešao koje uglove sabiraš do $180^\circ$.

Da li je zbir uglova isti i kod petougla?

Ne. Svaki mnogougao ima svoj zbir unutrašnjih uglova. Za četvorougao je to $360^\circ$, a za druge mnogouglove važe druga pravila.

Poređenje uglova kod četvorougla, paralelograma i trapeza

Zadaci 1 do 5

Zadatak 1

Ako tri unutrašnja ugla četvorougla iznose $80^\circ, 65^\circ, 85^\circ$, četvrti ugao je $130^\circ$, jer od $360^\circ$ oduzimaš zbir poznatih uglova.

Zadatak 2

Ako su uglovi dati kao $x, 4x, 3x, 2x$, onda važi $10x=360^\circ$, pa je $x=36^\circ$.

Zadatak 3

Kada računaš i unutrašnje i spoljašnje uglove zajedno, prvo nađeš sve unutrašnje, a zatim svaki spoljašnji kao dopunu do $180^\circ$.

Zadatak 4

Ako su poznata dva unutrašnja ugla i jedan spoljašnji, prvo taj spoljašnji pretvoriš u odgovarajući unutrašnji, pa tek onda koristiš zbir $360^\circ$.

Zadatak 5

U paralelogramu, ako je $\\alpha=72^\circ$, onda je $\\gamma=72^\circ$, a $\\beta=108^\circ$.

Ovi zadaci te pripremaju za lekcije vrste četvorouglova. paralelogram i vrste paralelograma.

Šta se vežba

Četvrti ugao

Dopuna do 180°

Jednačine sa x

Veza sa paralelogramom

Zadaci 6 do 10 i najčešće greške

Zadaci 6 do 10

U nastavku sirovog teksta dolaze zadaci sa trapezom, pravouglim trapezom, obimom paralelograma, upisanom kružnicom u rombu i srednjom linijom trapeza. Tu više ne radiš samo sa opštim pravilom od $360^\circ$, već ulaze i posebna svojstva pojedinih četvorouglova.

Greška 1: Mešanje trougla i četvorougla

Učenici nekad saberu uglove četvorougla, a onda oduzimaju od $180^\circ$ umesto od $360^\circ$. To je klasična greška. Trougao ide na $180^\circ$, četvorougao na $360^\circ$.

Greška 2: Pogrešno uparivanje unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla

Neko pokuša da sabere unutrašnji ugao $\\alpha$ i naspramni spoljašnji ugao $\\gamma_1$ i misli da daju $180^\circ$. To nije tačno. Pravilo važi samo za susedni par, na primer $\\alpha+\\alpha_1=180^\circ$.

Za sledeće korake u ovoj oblasti možeš da nastaviš na trapez. svojstva trapeza, vrste trapeza. jednakokraki trapez, srednja linija trougla. srednja linija trapeza i deltoid.

Kad god zapneš, vrati se na dva broja: $360^\circ$ i $180^\circ$.
Najčešće greške kod zbira uglova četvorougla

Zaključak

Da sumiramo: cela lekcija se vrti oko jednog broja, a to je $360^\circ$. Bilo da tražiš zbir unutrašnjih ili zbir spoljašnjih uglova četvorougla, to je broj sa kojim radiš.

Zbir uglova četvorougla je prosta igra sabiranja i oduzimanja. Sve dok paziš koje uglove sabiraš i ne zaboraviš da unutrašnji i komšijski spoljašnji ugao zajedno daju $180^\circ$, nema zadatka koji ne možeš da rešiš.

  • Unutrašnji uglovi četvorougla daju $360^\circ$
  • Spoljašnji uglovi četvorougla takođe daju $360^\circ$
  • Unutrašnji i susedni spoljašnji ugao daju $180^\circ$
  • Kod stepeni i minuta koristiš pozajmljivanje jednog stepena u $60'$
Samo polako na kontrolnom: saberi ono što znaš, oduzmi od pravog zbira i ne mešaj trougao sa četvorouglom.
Poslednji podsetnik

$360^\circ$ za ukupan zbir uglova četvorougla

$180^\circ$ za unutrašnji + komšijski spoljašnji