Spoljašnji uglovi trougla

Spoljašnji uglovi trougla — računanje, pravila i primeri (6. razred)

Gde si! Prošli put smo se bavili onim što se dešava unutar trougla, a sada izlazimo napolje. Ako ti crtež sa onim produženim linijama koje štrče na sve strane izgleda kao totalna zbrka, opusti se.

Spoljašnji uglovi trougla za 6. razred su zapravo jedna od najlakših lekcija kada provališ osnovnu foru. Nema tu mnogo filozofije, sve se vrti oko dva-tri jednostavna pravila.

  • Naučićeš šta je spoljašnji ugao i kako nastaje
  • Zapamtićeš tri zlatna pravila za računanje
  • Dobićeš prečicu koja štedi vreme na kontrolnom
Pre ove lekcije podseti se elemenata i obeležavanja trougla i odnosa stranica trougla.
Spoljašnji uglovi trougla — uvod za 6. razred

Šta je spoljašnji ugao i kako nastaje?

Zamisli da crtaš trougao, povučeš jednu stranicu lenjirom, ali se zaneseš i produžiš tu liniju malo više van trougla. E, taj prostor između te tvoje produžene linije i susedne stranice trougla jeste spoljašnji ugao.

Svaki unutrašnji ugao ima svog „komšiju" spolja. Jedan unutrašnji + jedan spoljašnji = par koji leži na istoj pravoj liniji.

Dakle, spoljašnji ugao nastaje jednostavnim produžetkom jedne stranice trougla. Nije nikakav misteriozni ugao — samo ono što ostane sa spoljašnje strane kad produžiš liniju.

Kako nastaje spoljašnji ugao trougla — produžetak stranice

Kako se obeležavaju spoljašnji uglovi?

Obeležavamo ih istim grčkim slovima kao unutrašnje uglove, samo dodajemo broj $1$ (indeks) pored:

Ugao $\alpha$

Unutrašnji: $\alpha$
Spoljašnji: $\alpha_1$

Ugao $\beta$

Unutrašnji: $\beta$
Spoljašnji: $\beta_1$

Ugao $\gamma$

Unutrašnji: $\gamma$
Spoljašnji: $\gamma_1$

✍ Zapamti: Indeks $_1$ uvek označava spoljašnji ugao. Vidiš ga u zadatku — odmah znaš da se radi o uglu van trougla.

Pravilo 1: Komšije zajedno daju pravu liniju

Ovo je najvažnija stvar koju moraš da zapamtiš: unutrašnji ugao i njegov spoljašnji komšija uvek, ali uvek, leže na istoj pravoj liniji. To znači da oni zajedno prave takozvani opružen ugao, što je tačno $180^\circ$.

Zlatno pravilo
Unutrašnji + spoljašnji = $180^\circ$

Matematički to pišemo ovako:

$\alpha + \alpha_1 = 180^\circ$

$\beta + \beta_1 = 180^\circ$

$\gamma + \gamma_1 = 180^\circ$

Zašto baš 180°?

Stranica i njen produžetak čine pravu liniju. Prava linija = opružen ugao = $180^\circ$.

Unutrašnji i spoljašnji „dele" taj opružen ugao između sebe.

Primer 1: Računanje spoljašnjeg ugla

U zadatku ti piše da je unutrašnji ugao $\beta = 75^\circ$. Koliki je njegov spoljašnji ugao $\beta_1$?

Korak 1: Postavimo formulu: $\beta + \beta_1 = 180^\circ$

Korak 2: Ubacimo broj koji imamo: $75^\circ + \beta_1 = 180^\circ$

Korak 3: Prebacimo poznato na drugu stranu: $\beta_1 = 180^\circ - 75^\circ$

Rešenje:  $\beta_1 = 105^\circ$

Primer 1 — računanje spoljašnjeg ugla trougla

Zbir svih spoljašnjih uglova

Dok je zbir onih unutrašnjih uglova bio $180^\circ$, sa spoljašnjima je priča malo veća. Ako bi krenuo da šetaš po onim produženim linijama oko celog trougla, na svakom ćošku bi morao da skreneš da bi nastavio put.

Kad obiđeš ceo trougao i vratiš se na početak, ti si zapravo napravio pun krug! Pun krug ima $360^\circ$.

Pravilo 2
$\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 360^\circ$
Učenici često prave grešku i pišu $\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 180^\circ$. Pogrešno! Unutrašnji zbir je $180^\circ$, a spoljašnji je duplo veći: $360^\circ$.

Dva zbira

Unutrašnji: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Spoljašnji: $\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 360^\circ$

Primer 2: Tražimo treći spoljašnji ugao

Poznata su ti dva spoljašnja ugla: $\alpha_1 = 110^\circ$ i $\beta_1 = 130^\circ$. Traži se treći, $\gamma_1$.

Korak 1: Pravilo kaže: $\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 360^\circ$

Korak 2: Ubacimo brojeve: $110^\circ + 130^\circ + \gamma_1 = 360^\circ$

Korak 3: Saberemo šta imamo: $240^\circ + \gamma_1 = 360^\circ$

Korak 4: Oduzmemo od ukupnog: $\gamma_1 = 360^\circ - 240^\circ$

Rešenje:  $\gamma_1 = 120^\circ$

Primer 2 — računanje trećeg spoljašnjeg ugla

Skraćeni put (Pravilo nesusednih uglova)

Ovo je jedno genijalno pravilo koje često zaborave da ti lepo objasne, a štedi gomilu vremena.

Pravilo 3 — prečica
Spoljašnji ugao = zbir dva unutrašnja ugla koja mu NISU susedna

Zašto to važi? Zato što svi zajedno beže od broja $180^\circ$. Zato $\alpha_1$ mora biti tačno onoliko koliko zajedno vrede $\beta$ i $\gamma$.

Formule su:

$\alpha_1 = \beta + \gamma$

$\beta_1 = \alpha + \gamma$

$\gamma_1 = \alpha + \beta$

Zašto važi?

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

$\alpha + \alpha_1 = 180^\circ$

Oba izraza = $180^\circ$, pa:

$\alpha_1 = \beta + \gamma$

Primer 3: Prečica u akciji

Imaš unutrašnje uglove $\alpha = 40^\circ$ i $\beta = 60^\circ$. Koliki je spoljašnji ugao $\gamma_1$?

Možeš da ideš dužim putem (da tražiš $\gamma$, pa da onda od $180^\circ$ oduzimaš), ALI mi koristimo prečicu.

Korak 1: Znamo da je $\gamma_1$ jednak zbiru ona dva koja mu nisu komšije: $\gamma_1 = \alpha + \beta$

Korak 2: Ubacimo brojeve: $\gamma_1 = 40^\circ + 60^\circ$

Rešenje:  $\gamma_1 = 100^\circ$

Isto rešenje bi dobio i dužim putem, ali ovo je brže i sa manje šanse za grešku!

Duži put:

$\gamma = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$

$\gamma_1 = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

Isti rezultat, ali dva koraka više!

Bratov savet: Kad koristiti prečicu?

Bratov savet
Kad god na kontrolnom dobiješ dva unutrašnja ugla i traži ti se onaj treći SPOLJAŠNJI, nemoj da računaš unutrašnji uopšte! Samo saberi ta dva koja imaš.

Uštedećeš dva minuta vremena i smanjićeš šansu da negde usput pogrešiš u sabiranju i oduzimanju.

Duži put

1. Nađi $\gamma$ iz zbira

2. Oduzmi od $180^\circ$

= 2 koraka, 2 šanse za grešku

Prečica

1. Saberi dva poznata

= 1 korak, manja šansa za grešku

Bratov savet za spoljašnje uglove trougla

Najčešće greške

Greška 1: Mešanje zbira

Često se desi da učenik u brzini napiše $\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 180^\circ$. Pogrešno!

Unutrašnji zbir je $180^\circ$, a spoljašnji je duplo veći: $360^\circ$.

Greška 2: Pogrešno crtanje

Neki nacrtaju unakrsni ugao (produže obe linije iz temena unazad) i kažu da je to spoljašnji.

Spoljašnji nastaje kada produžiš samo jednu stranicu. Uvek posmatraj pravu liniju koju čine stranica i njen produžetak.

Spoljašnji ugao dobijaš tako što produžiš samo JEDNU stranicu iz temena, ne obe! Ako produžiš obe — dobijaš unakrsni ugao, a to je nešto potpuno drugo.
Najčešće greške kod spoljašnjih uglova trougla

Rezime: Sva tri pravila na jednom mestu

Pravilo 1

Unutrašnji + spoljašnji komšija = $180^\circ$

$\alpha + \alpha_1 = 180^\circ$

Pravilo 2

Zbir svih spoljašnjih = $360^\circ$

$\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 360^\circ$

Pravilo 3

Spoljašnji = zbir dva nesusedna unutrašnja

$\alpha_1 = \beta + \gamma$

Brzi podsetnik

Unutrašnji: zbir = $180^\circ$

Spoljašnji: zbir = $360^\circ$

Par (komšije): zbir = $180^\circ$

Zadaci za vežbu sa rešenjima (1–5)

Klikni na zadatak da vidiš rešenje:

1. Unutrašnji ugao $\beta = 75^\circ$. Koliki je spoljašnji ugao $\beta_1$?

Pravilo: $\beta + \beta_1 = 180^\circ$

$\beta_1 = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

2. Dva spoljašnja ugla: $\alpha_1 = 110^\circ$, $\beta_1 = 130^\circ$. Nađi $\gamma_1$.

$\gamma_1 = 360^\circ - 110^\circ - 130^\circ = 120^\circ$

3. Unutrašnji uglovi $\alpha = 40^\circ$ i $\beta = 60^\circ$. Koliki je $\gamma_1$?

Prečica: $\gamma_1 = \alpha + \beta = 40^\circ + 60^\circ = 100^\circ$

4. Unutrašnji uglovi $\beta = 50^\circ$ i $\gamma = 80^\circ$. Koliki je $\alpha_1$?

Prečica: $\alpha_1 = \beta + \gamma = 50^\circ + 80^\circ = 130^\circ$

5. Poznato je $\alpha = 37^\circ$ i $\beta_1 = 128^\circ$. Odredi sve uglove.

$\alpha_1 = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$

$\beta = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$

$\gamma = 180^\circ - 37^\circ - 52^\circ = 91^\circ$

$\gamma_1 = 180^\circ - 91^\circ = 89^\circ$

Zadaci za vežbu — spoljašnji uglovi trougla 1-5

Zadaci za vežbu sa rešenjima (6–10)

6. Dato je $\alpha = 102^\circ$ i $\gamma_1 = 150^\circ$. Odredi sve uglove.

$\alpha_1 = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$

$\gamma = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

$\beta = 180^\circ - 102^\circ - 30^\circ = 48^\circ$

$\beta_1 = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$

7. Poznato je $\gamma = 71^\circ$ i $\alpha_1 = 90^\circ$. Odredi sve uglove.

$\alpha = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

$\beta = 180^\circ - 90^\circ - 71^\circ = 19^\circ$

$\beta_1 = 180^\circ - 19^\circ = 161^\circ$

$\gamma_1 = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$

8. Uglovi jednakokrakog trougla: ugao naspram kraka je četiri puta veći od ugla naspram osnovice. Odredi uglove.

Neka je $\beta$ ugao naspram osnovice, $\alpha = 4\beta$.

$2\alpha + \beta = 180^\circ \Rightarrow 8\beta + \beta = 180^\circ \Rightarrow 9\beta = 180^\circ$

$\beta = 20^\circ$, $\alpha = 80^\circ$. Uglovi: $80^\circ, 80^\circ, 20^\circ$.

9. Jednakokraki trougao: ugao naspram osnovice je tri puta veći od ugla naspram kraka. Odredi uglove.

Neka je $\alpha$ ugao naspram kraka, $\beta = 3\alpha$.

$2\alpha + \beta = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha + 3\alpha = 180^\circ \Rightarrow 5\alpha = 180^\circ$

$\alpha = 36^\circ$, $\beta = 108^\circ$. Uglovi: $36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$.

10. Simetrale uglova $\alpha$ i $\beta$ obrazuju ugao od $108^\circ$. Koliki je $\gamma$?

U trouglu koji čine simetrale: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + 108^\circ = 180^\circ$

$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 72^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 144^\circ$

$\gamma = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$

Tipovi zadataka

Zad. 6-7: kombinovani (unutr. + spolj.)

Zad. 8-9: jednakokraki trougao

Zad. 10: simetrale uglova

Zaključak

Sada imaš celu sliku o tome kako funkcionišu spoljašnji uglovi trougla za 6. razred. Zapamti da svaki unutrašnji i njegov spoljašnji brat blizanac moraju zajedno da imaju $180^\circ$, i da zbir svih spoljašnjih iznosi $360^\circ$.

Tri pravila
1. Unutr. + spolj. = $180^\circ$
2. Zbir spoljašnjih = $360^\circ$
3. Spolj. = zbir dva nesusedna unutr.

Drži se onog mog skraćenog puta i nema šanse da omaneš na zadatku. Da vidimo da li si uhvatio caku: ako su ti poznati unutrašnji uglovi $\beta = 50^\circ$ i $\gamma = 80^\circ$, možeš li, koristeći onu prečicu, iz glave da mi kažeš koliki je spoljašnji ugao $\alpha_1$?

Nastavi sa lekcijama iz oblasti trougao — elementi i obeležavanje i odnos stranica i vrste trouglova.

✍ Bratov savet: Na kontrolnom prvo pogledaj šta ti se traži. Ako imaš dva unutrašnja i treba ti spoljašnji — samo saberi i gotovo!