Zapremina kupe

Zapremina kupe — magija "pravila trećine" se vraća! (8. razred)

Sećaš se lekcije o piramidama i kako smo zaključili da u piramidu staje tačno tri puta manje vode nego u kutiju (prizmu) sa istim dnom? Ista ta matematička magija važi i u svetu obrtnih tela!

Ako uzmeš jedan valjak (limenku) i jednu kupu (kornet) koji imaju potpuno isti krug na podu i potpuno istu visinu, moraćeš tačno tri puta da napuniš kupu vodom i prespeš u limenku da bi je napunio do vrha.

Lekcija zapremina kupe 8. razred je zato jedna od najlakših — samo uzmeš formulu za valjak i isečeš je na trećinu! Za celokupan pregled pogledaj matematiku za osmi razred.

Zapremina kupe — kornet i limenka, pravilo trećine

Zlatna formula: $V = \frac{B \cdot H}{3}$

Pošto je kupa na neki način "okrugla piramida", glavna formula je apsolutno ista:

$V = \frac{B \cdot H}{3}$

Ajde da je raspakujemo za naš kornet:

Baza ( $B$ )

Kupa na podu ima krug, pa je površina poda $B = r^2\pi$ .

Visina ( $H$ )

Uspravni stub koji ide pravo kroz sredinu kupe, od poda do vrha.

Kada bazu ubacimo u formulu, dobijamo glavnu jednačinu za zapreminu kupe:

$V = \frac{r^2\pi \cdot H}{3}$

Zapamti: Zapremina kupe je tačno tri puta manja od zapremine valjka sa istom bazom i visinom!

Zlatna formula za zapreminu kupe V = r²πH/3

Primer 1: Direktan zadatak (Laganica)

Zadatak: Izračunaj zapreminu kupe ako je poluprečnik njene osnove $r = 6 \text{ cm}$ , a visina $H = 10 \text{ cm}$ .

Pišemo formulu

$V = \frac{r^2\pi \cdot H}{3}$

Ubacujemo brojeve

$V = \frac{6^2\pi \cdot 10}{3} = \frac{36\pi \cdot 10}{3}$

Skraćivanje!

Pre nego što pomnožiš $36$ i $10$ , skrati $36$ i donju trojku. Od $36$ ostaje $12$ .

$V = 12\pi \cdot 10 = 120\pi \text{ cm}^3$

Odgovor: Zapremina kupe je $120\pi \text{ cm}^3$ .

Primer 2: Uleće Pitagora! (Kad ti sakriju visinu)

Zadatak: Izračunaj zapreminu kupe ako je njen poluprečnik $r = 5 \text{ cm}$ , a njena izvodnica $s = 13 \text{ cm}$ .

Ne smeš da ubaciš izvodnicu ( $s$ ) u formulu za zapreminu! Zapremina "pije" samo unutrašnju visinu ( $H$ ). Zato prvo zovemo Pitagoru!

Nalazimo visinu ( $H$ ) — Pitagorina teorema

$H^2 = s^2 - r^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

Sada računamo zapreminu

$V = \frac{5^2\pi \cdot 12}{3} = \frac{25\pi \cdot 12}{3}$

Skraćujemo 12 i 3

$V = 25\pi \cdot 4 = 100\pi \text{ cm}^3$

Odgovor: Zapremina kupe je $100\pi \text{ cm}^3$ .

Primer 2 — Pitagorina teorema i zapremina kupe 100π cm³

Bratova caka: Ne paniči kad ne može da se skrati!

Razlomak je sasvim OK rezultat

Znaš onaj osećaj kada dobiješ razlomak poput $\frac{49\pi \cdot 10}{3}$ i shvatiš da ni $49$ ni $10$ ne mogu da se podele sa $3$ ?

Đaci tada obično pomisle da su pogrešili zadatak i krenu da brišu. Ne paniči!

Ako ne može da se skrati, to nije greška. Samo izmnoži gornje brojeve ( $490\pi$ ) i ostavi sve kroz tri:

$V = \frac{490\pi}{3} \text{ cm}^3$

To je savršeno legitiman i tačan matematički rezultat. Ne mora svaki zadatak da ima okrugao broj na kraju!

Šta ako u zadatku dobiješ zapreminu, a traži se poluprečnik?

Koristiš osnovnu formulu kao jednačinu iz koje "čupaš" nepoznati poluprečnik $r$ .

Primer: $V = 16\pi$ , $H = 3$

$16\pi = \frac{r^2\pi \cdot 3}{3}$

Skratiš trojke: $16\pi = r^2\pi$

Podeliš sa $\pi$ : $r^2 = 16$

Korenujemo: $r = 4 \text{ cm}$

Teži tip: razmera $r : H = 3 : 4$ , $V = 96\pi$

Iz razmere: $H = \frac{4r}{3}$

Ubacimo u formulu: $96\pi = \frac{1}{3} \cdot r^2\pi \cdot \frac{4r}{3} = \frac{4r^3\pi}{9}$

Podelimo sa $\pi$ i rešimo: $r^3 = \frac{96 \cdot 9}{4} = 216$

Treći koren: $r = 6 \text{ cm}$ (jer $6^3 = 216$ )

Za ponavljanje korena pogledaj lekciju kvadratni koren.

Obrnuti proces — nalaženje poluprečnika iz zapremine kupe

Zadaci za vežbu (1–3)

Zadatak 1: Direktan račun (r = 6, H = 11)

Zadatak: Poluprečnik osnove prave kupe je $r = 6 \text{ cm}$ , a visina $H = 11 \text{ cm}$ . Izračunati zapreminu.

Rešenje:

$V = \frac{6^2\pi \cdot 11}{3} = \frac{36\pi \cdot 11}{3} = 12\pi \cdot 11 = 132\pi \text{ cm}^3$

Zadatak 2: Obim baze dat (O = 8π, H = 3)

Zadatak: Gomila peska ima oblik kupe čiji je obim osnove $O = 8\pi \text{ m}$ , a visina $H = 3 \text{ m}$ . Koliko kubnih metara peska ima?

Rešenje:

Iz obima: $8\pi = 2r\pi \Rightarrow r = 4 \text{ m}$

$V = \frac{4^2\pi \cdot 3}{3} = \frac{16\pi \cdot 3}{3} = 16\pi \text{ m}^3$

Zadatak 3: Pitagorina teorema (r = 5, s = 13)

Zadatak: Izračunati zapreminu kupe ako je $r = 5 \text{ cm}$ , a izvodnica $s = 13 \text{ cm}$ .

Rešenje:

Visina: $H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

$V = \frac{25\pi \cdot 12}{3} = 25\pi \cdot 4 = 100\pi \text{ cm}^3$

Zadaci za vežbu (4–5)

Zadatak 4: Iz površine i baze u zapreminu

Zadatak: Površina prave kupe je $P = 90\pi \text{ cm}^2$ , a površina njene osnove je $B = 25\pi \text{ cm}^2$ . Izračunati zapreminu kupe.

Rešenje:

Omotač: $M = P - B = 90\pi - 25\pi = 65\pi$

Poluprečnik: $25\pi = r^2\pi \Rightarrow r = 5 \text{ cm}$

Izvodnica: $65\pi = 5 \cdot s \cdot \pi \Rightarrow s = 13 \text{ cm}$

Visina: $H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

$V = \frac{25\pi \cdot 12}{3} = 100\pi \text{ cm}^3$

Zadatak 5: Obrnuti proces (V = 16π, H = 3)

Zadatak: Zapremina prave kupe je $V = 16\pi \text{ cm}^3$ , a visina $H = 3 \text{ cm}$ . Izračunati površinu baze, poluprečnik i izvodnicu.

Rešenje:

Iz zapremine: $16\pi = \frac{B \cdot 3}{3} \Rightarrow B = 16\pi \text{ cm}^2$

Poluprečnik: $16\pi = r^2\pi \Rightarrow r = 4 \text{ cm}$

Izvodnica: $s = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

Najčešće greške

Korišćenje s umesto H

Izvodnica ( $s$ ) služi za računanje OMOTAČA (površine). Uspravna visina ( $H$ ) služi za računanje ZAPREMINE. Pomešaj ih na kontrolnom i ode ceo zadatak.

Zaboravljanje deljenja sa 3

Učenik se zanese, kvadrira poluprečnik, pomnoži ga sa visinom i uokviri rezultat. Čestitam, izračunao si zapreminu valjka! Ali kupa je špicasta, moraš da isporučiš njenu trećinu. Uvek vuci onaj razlomak do samog kraja.

Prečnik umesto poluprečnika

Ako u zadatku piše "prečnik $10 \text{ cm}$ ", odmah podeli sa 2. U formulu ide $r = 5$ , ne $r = 10$ !

Gubljenje broja π

Broj $\pi$ mora da ostane zalepljen za rezultat do samog kraja. Zapremina $100 \text{ cm}^3$ bez $\pi$ je pogrešan odgovor!