Pojam valjka

Pojam valjka — izlazak iz ćoškastog sveta (8. razred)

Do sada smo u geometriji pravili samo zgrade i kutije — tela koja imaju oštre ivice, ćoškove i ravne zidove (poliedre). Sada je vreme da zaoblimo stvari! Lekcija pojam valjka 8. razred nas uvodi u svet takozvanih obrtnih tela.

Šta je valjak u stvarnom životu? Pogledaj limenku soka, bateriju za daljinski, oklagiju ili cev za vodu. Sve su to valjci! Ajde da vidimo od kojih se to delova sastoji ovaj savršeno okrugli oblik.

Za celokupan pregled pogledaj matematiku za osmi razred, a ako želiš da se podsetiš ćoškastih tela, vrati se na pojam prizme.

Pojam valjka — limenke, baterije i drugi valjci u svakodnevnom životu

Šta je obrtno telo i kako nastaje valjak?

Zašto valjak zovemo "obrtno" telo? Zamisli jedna obična pravougaona vrata. Ako staneš pored njih i zavrtiš ih jako oko njihovih šarki u krug, ona će u vazduhu "opisati" (nacrtati) jedan savršen valjak.

Valjak nastaje rotacijom (obrtanjem) pravougaonika oko jedne njegove stranice.

Tokom ove rotacije u prostoru, različiti delovi pravougaonika formiraju osnovne elemente (anatomiju) valjka:

Osa i visina ($H$)

Stranica pravougaonika koja miruje (oko koje se vrši rotacija, poput šarki na vratima) predstavlja osu, i ona određuje visinu valjka.

Izvodnica ($s$)

Suprotna stranica pravougaonika koja se kreće kroz prostor. Njenim obrtanjem u krug nastaje čitav zakrivljeni zid (omotač).

Osnove i poluprečnik ($r$)

Gornja i donja stranica pravougaonika prilikom rotacije opisuju dva podudarna i paralelna kruga — osnove valjka.

Valjak nastaje rotacijom pravougaonika oko jedne stranice

Anatomija valjka (Od čega je napravljen?)

Iako nema ćoškove, valjak i dalje ima "pod", "plafon" i "zidove", samo što se oni u matematici zovu malo drugačije.

Osnove ili baze ($B$)

Pod i plafon valjka. Kod prizmi su to bili trouglovi i kvadrati, ali kod valjka osnove su uvek dva potpuno ista (podudarna) i paralelna kruga.

Poluprečnik valjka ($r$)

Pošto je na podu krug, taj krug ima svoj poluprečnik. To je rastojanje od centra poda do njegove ivice.

Omotač ($M$)

To je onaj zakrivljeni "zid" koji spaja donji i gornji krug (na primer, onaj deo limenke na kojem je odštampan logo soka).

Visina ($H$)

Udaljenost između gornje i donje osnove. Najkraći put od poda do plafona.

Anatomija valjka — osnove, omotač, visina, poluprečnik

Izvodnica ($s$) — nova reč u tvom rečniku

Zamisli da na limenku prisloniš savršeno prav lenjir od vrha do dna. Ta linija na samoj ivici omotača koja spaja krugove zove se izvodnica.

Zašto se tako zove?

Zato što, kada bi nju zavrteo u krug, ona bi "izvela" (napravila) ceo taj omotač. Ime je dobila po tome što bi, rotacijom u krug, iscrtala čitav zakrivljeni zid valjka.

Kod pravog valjka, koji stoji savršeno uspravno pod uglom od $90^\circ$, visina i izvodnica su jednake dužine:

$H = s$

U svim računanjima i formulama vezanim za pravi valjak, vrednost izvodnice se može koristiti na potpuno isti način kao i visina, jer obe predstavljaju najkraći put od donje do gornje osnove.

Izvodnica valjka — linija koja izvodi omotač rotacijom

Pravi valjak (Ono što ti treba za kontrolni)

U osmom razredu se bavimo isključivo pravim valjkom.

Šta znači da je "pravi"?

Znači da stoji savršeno uspravno, pod uglom od tačno $90^\circ$ u odnosu na pod. Zbog toga kod pravog valjka važi jedno savršeno pravilo:

Visina valjka je potpuno ista kao i njegova izvodnica! $H = s$

Postoji i kosi valjak koji izgleda kao da ga je oduvao vetar, ali njega nećeš računati na pismenom. Kod kosog valjka izvodnica stoji pod uglom, pa je duža od visine.

Slično razlici između prave i kose prizme, i ovde je suština u tome da li telo stoji uspravno ili ne.

Pravi valjak — stoji uspravno pod 90 stepeni

Mreža valjka — šta se desi kad ga isečemo?

Ovo je ubedljivo najvažniji deo lekcije jer će ti trebati za računanje površine. Zamisli da uzmeš limenku i makaze za lim. Isečeš gornji poklopac, isečeš donje dno, a onda presečeš onaj srednji deo uspravno i otvoriš ga. Šta ćeš dobiti na stolu?

Dva ista kruga (baze)

Gornji poklopac i donje dno — dva podudarna kruga sa poluprečnikom $r$.

Jedan pravougaonik (omotač)

Da, zakrivljeni omotač je zapravo samo jedan običan, smotani pravougaonik!

Dimenzije tog pravougaonika:

  • Njegova visina je tvoje $H$.
  • Ali pazi sad — dužina tog pravougaonika mora savršeno da se obmota oko celog donjeg kruga!

Zato je dužina tog pravougaonika zapravo obim kruga: $O = 2r\pi$

Mreža valjka — dva kruga i jedan pravougaonik

Bratova caka: Prečnik vs poluprečnik

Gde se najviše gube poeni na kontrolnom kod valjka? Kada ti nastavnik u tekstu zadatka kaže "Prečnik valjka je 10 cm". Đak se zaleti, vidi broj 10, i odmah u sve formule ubaci da je $r = 10$. Netačno!

Prečnik (celo dno) se obeležava sa $2r$ (ili $d$). Poluprečnik je uvek POLOVINA prečnika! Znači, tvoje $r$ za formule će biti $5 \text{ cm}$.

Korak 1

Čim vidiš reč "prečnik", odmah ga podeli sa 2 na margini papira!

Korak 2

Dobijeni broj je tvoj poluprečnik $r$ koji ide u formule.

Za ponavljanje formula za krug pogledaj lekcije obim kruga i površina kruga.

Bratova caka — prečnik vs poluprečnik, podeli sa 2

Koja je razlika između visine i izvodnice kod valjka?

Visina ($H$)

Udaljenost između gornje i donje osnove (baze) valjka. Predstavlja najkraći put od "poda do plafona".

Izvodnica ($s$)

Linija na samoj ivici omotača koja spaja gornji i donji krug. Zamisli je kao savršeno prav lenjir prislonjen uz limenku od vrha do dna.

Koja je onda razlika između njih?

U okviru gradiva za osmi razred, gde se izučava isključivo pravi valjak, nema nikakve razlike u njihovoj dužini. Pravi valjak stoji savršeno uspravno pod uglom od $90^\circ$ u odnosu na pod, zbog čega važi $H = s$.

Razlika postoji samo kod kosog valjka (koji izgleda kao da ga je "oduvao vetar"), jer kod njega izvodnica stoji pod uglom, pa je duža od visine, ali se on ne radi na pismenim zadacima u osmom razredu.

Razlika visine i izvodnice — kod pravog valjka H = s

Delovi mreže valjka i uloga broja $\pi$

Mreža valjka predstavlja oblik koji se dobija kada valjak (na primer, limenku) "isečemo" i razvijemo na ravnoj površini. Ona se sastoji od:

  • Dva potpuno ista kruga — osnove ili baze valjka (njegov "pod" i "plafon").
  • Jednog pravougaonika — omotač valjka. Iako je na valjku zakrivljen, kada se otvori, on je zapravo samo jedan običan pravougaonik.

Ovde ključnu ulogu igra broj $\pi$ (Pi), čija je vrednost približno $3{,}14$. Njegova uloga je nezaobilazna jer se on koristi za sve što ima veze sa krugovima.

Dimenzije pravougaonika u mreži

Visina pravougaonika = $H$ (visina valjka)

Dužina pravougaonika = $O = 2r\pi$ (obim kruga osnove)

Kada shvatite da je omotač valjka samo pravougaonik dužine $2r\pi$, svaka formula će vam biti jasnija!

Mreža valjka — uloga broja Pi u dimenzijama omotača

Mešanje prizme i valjka — uoči razliku

Iako jako liče (imaju dve baze i omotač), valjak nije prizma!

Prizma

Poliedar — ima oštre ivice i ravne zidove. Osnove su mnogouglovi (trougao, kvadrat, šestougao).

Valjak

Obrtno telo — nema oštre ivice (osim onih kružnih linija gore i dole). Osnove su krugovi, a omotač je zakrivljen.

Možeš da zamisliš da valjak nastaje od prizme sa sve više i više stranica na osnovi. Kad bi prizma imala beskonačno mnogo stranica, postala bi valjak!

Nastavi sa lekcijama površina valjka i zapremina valjka, a zatim upoznaj i druga obrtna tela: kupa i lopta.

Razlika između prizme i valjka — poliedar vs obrtno telo

Najčešće greške

Mešanje prizme i valjka

Iako jako liče (imaju dve baze i omotač), valjak nije prizma! Prizma je poliedar i ima oštre ivice. Valjak je obrtno telo i nema ivice (osim onih kružnih linija gore i dole).

Zaboravljanje broja $\pi$ (Pi)

Čim uđemo u svet valjaka, na scenu stupa onaj čuveni broj $\pi$ (približno $3{,}14$). Sve što ima veze sa krugovima mora da ima $\pi$ pored sebe. Nemoj ga gubiti u računici!

Prečnik umesto poluprečnika

Čim vidiš reč "prečnik" u zadatku, odmah ga podeli sa 2 da dobiješ poluprečnik $r$ za formule!

Najčešće greške kod valjka — Pi, prečnik, prizma

Zaključak

To ti je uvod u valjak! Lekcija pojam valjka 8. razred je samo rasklapanje limenke. Gore i dole su krugovi (sa poluprečnikom $r$), sa strane je smotani pravougaonik, a kroz sredinu udara visina ($H$).

Kad shvatiš da je taj omotač samo pravougaonik dužine $2r\pi$, svaka formula će ti biti logična.

Nastavi sa površinom valjka i zapreminom valjka!

Zaključak — pojam valjka, rasklapanje limenke