Jednačina x² = a, a ≥ 0. Kvadratni koren

Jednačina x² = a i Kvadratni koren — kako se vratiti unazad (7. razred)

Zamisli da znaš da je površina nekog kvadrata $121\text{ cm}^2$, ali ne znaš kolika mu je stranica ($a$). Znaš formulu $P = a^2$, što znači da moraš da rešiš jednačinu $a^2 = 121$. Tvoj zadatak je da pronađeš koji to broj, kada se pomnoži samim sobom, daje 121. U ovom slučaju, to je 11 (jer je $11 \cdot 11 = 121$).

Ovaj proces "vraćanja unazad" od kvadrata do osnovnog broja je tema današnje lekcije. Lekcija jednačina $x^2 = a$ i kvadratni koren 7. razred ti otkriva kako da sistematski rešavaš ovakve jednačine i zašto se tu uvek krije jedan matematički brat blizanac kog ne smeš da zaboraviš!

Za celokupan pregled pogledaj matematiku za sedmi razred.

Jednačina x² = a i kvadratni koren — matematika 7. razred

Kvadratna jednačina $x^2 = a$ — Pazi na dva rešenja!

Kada rešavamo jednačinu oblika $x^2 = a$, tražimo sve brojeve koji kvadriranjem daju broj $a$.

Primer: $x^2 = 169$

Prvo što ti padne na pamet je sigurno broj 13, jer je $13^2 = 169$.

Ali, seti se pravila da "kvadrat guta minuse"! Šta se dešava ako kvadriramo $-13$?

$(-13)^2 = (-13) \cdot (-13) = 169$

Jednačina x² = 169 ima DVA tačna rešenja: x₁ = 13 i x₂ = −13

Dva rešenja jednačine x² = a

Specijalan slučaj: $x^2 = 0$

Ako je jednačina $x^2 = 0$, onda ona ima samo jedno rešenje, a to je $x = 0$ (jer nula nema svoj plus i minus).

$a > 0$

Dva rešenja: $x = \pm\sqrt{a}$

$a = 0$

Jedno rešenje: $x = 0$

$a < 0$

Nema rešenja u skupu realnih brojeva!

Zapamti

Broj rešenja zavisi od znaka broja a: pozitivan → 2, nula → 1, negativan → 0

Upoznavanje sa Kvadratnim korenom ($\sqrt{\phantom{x}}$)

Da bismo lakše zapisivali ovo "vraćanje unazad", matematičari su uveli poseban simbol — kvadratni koren.

Definicija

Pozitivno rešenje jednačine $x^2 = a$ nazivamo kvadratni koren iz $a$, i obeležavamo ga sa $\sqrt{a}$.

Broj $a$ ispod krova se zove potkorena veličina.

Pošto je koren po definiciji samo ono pozitivno rešenje, rešenja jednačine $x^2 = a$ elegantno zapisujemo:

Pozitivno rešenje

$x_1 = \sqrt{a}$

Negativno rešenje

$x_2 = -\sqrt{a}$

Zato za jednačinu $x^2 = 169$ pišemo: $x = \pm\sqrt{169} = \pm 13$.

Simbol kvadratnog korena — definicija

Zlatno pravilo korena: Nema minusa ispod krova!

Primetio si u naslovu lekcije uslov $a \geq 0$. Šta to znači?

Pokušaj da rešiš jednačinu $x^2 = -16$. Koji to broj pomnožen samim sobom daje minus? Nijedan! I pozitivan i negativan broj kada se kvadriraju daju plus.

Ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat negativan. Zato jednačina $x^2 = -16$  nema rešenja, a kvadratni koren iz negativnog broja (npr. $\sqrt{-16}$) ne postoji u 7. razredu!

Potkorena veličina (a) UVEK mora biti veća ili jednaka nuli: a ≥ 0!

Zlatno pravilo — nema negativnog broja ispod korena

Bratova caka: Rastavljanje na činioce

Trik za ogromne brojeve

Šta ako dobiješ zadatak da izračunaš koren iz ogromnog broja, npr. $\sqrt{2916}$? Nemaš digitron na testu. Trik je da broj rastaviš na proste činioce!

Korak 1: Rastavi na činioce

$2916 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 9^2$

Korak 2: Stavi pod zajednički kvadrat

$2916 = (2 \cdot 3 \cdot 9)^2 = 54^2$

Korak 3: Izvuci koren

$\sqrt{2916} = 54$

Ovo te spašava nagađanja! Rastavi broj na proste činioce, grupiši ih u parove, i izvuci koren.

Rastavljanje na činioce — trik za koren velikog broja

Uslovi postojanja korena (Zadaci za napredne)

Ponekad ćeš na kontrolnom dobiti izraz ispod korena i pitanje: "Za koje vrednosti broja $x$ ovaj izraz ima smisla?"

Tvoj jedini posao je da primeniš zlatno pravilo: sve što je ispod korena mora biti $\geq 0$.

Primer 1: $\sqrt{x - 2}$

Postavljamo nejednačinu:

$x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2$

Odgovor: Za sve brojeve $x$ koji su veći ili jednaki 2.

Pravilo

Potkorena veličina ≥ 0. Postavi nejednačinu i reši je!

Primer 2: Koren u imeniocu — pazi na nulu!

Za koje $x$ ima smisla izraz $\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$?

Ovde imamo dva pravila:

Pravilo 1: Koren

Izraz ispod korena mora biti $\geq 0$.

Pravilo 2: Imenilac

Pošto je koren u imeniocu, on ne sme biti nula (ne smemo deliti nulom!).

Zato postavljamo strogu nejednačinu (samo veće, bez jednako):

Korak 1

$1 - x > 0$

Korak 2

$-x > -1$

Korak 3: Deljenje sa minusom — znak se okreće!

$x < 1$

Kada deliš nejednačinu sa negativnim brojem, znak nejednakosti se OKREĆE! Ovo je česta zamka na testu.

Tekstualni zadaci: Postavljanje jednačine

Zadatak

Petostruka vrednost kvadrata nekog broja umanjena za 25 iznosi 100. Koji je to broj?

Korak 1: Prevedi u matematiku

$5 \cdot x^2 - 25 = 100$

Korak 2: Prebaci 25

$5x^2 = 125$

Korak 3: Podeli sa 5

$x^2 = 25$

Korak 4: Dva rešenja!

$x_1 = \sqrt{25} = 5$

$x_2 = -\sqrt{25} = -5$

Tekstualni zadatak — postavljanje jednačine sa korenom

Razlika između korena i rešenja jednačine

Ovo je jedna od najčešćih zabuna kod učenika! Ne mešaj alat (koren) sa rešenjem jednačine!

Sam koren $\sqrt{16}$

Rezultat je isključivo 4 (pozitivan broj). Nikako ±4!

Jednačina $x^2 = 16$

Rešenja su $x = \pm 4$ (i pozitivno i negativno).

Ključna razlika

Koren je alat koji daje samo pozitivni put. Jednačina traži SVE brojeve čiji je kvadrat jednak a — a to su uvek dva broja (pozitivan i negativan).

Zapamti

$\sqrt{16} = 4$ ✓

$\sqrt{16} = \pm 4$ ✗

$x^2 = 16 \implies x = \pm 4$ ✓

Najčešće greške na kontrolnom

Smatranje da je $\sqrt{16} = \pm 4$: Ovo je najčešća zabuna. Sam simbol korena ($\sqrt{\phantom{x}}$) je po definiciji SAMO pozitivan broj. Dakle, $\sqrt{16}$ je isključivo 4. Ali, kada rešavaš jednačinu $x^2 = 16$, tada pišeš da su rešenja $x = \pm 4$.

Ignorisanje minusa ispod kvadrata: Zaboraviš da je $(-5)^2$ zapravo pozitivno 25, pa napišeš da nema rešenja. Kvadrat uvek proguta minus pre nego što koren uopšte stupi na scenu.

Zaboravljanje drugog rešenja: Kod jednačine $x^2 = 49$ napišeš samo $x = 7$ i zaboraviš $x = -7$. Uvek piši $x = \pm 7$!

3 zamke

1. √16 = 4, ne ±4!
2. (-5)² = 25, ne -25!
3. Uvek piši OBA rešenja!

Zaključak

To je kompletna slika! Tema jednačina $x^2 = a$ i kvadratni koren 7. razred nas uči da je rešavanje kvadrata putovanje u dva smera (u plus i u minus), dok je sam kvadratni koren alat koji nam daje samo onaj glavni, pozitivni put.

Zapamti: ispod korena nikada ne sme da bude minus, koren sam po sebi je uvek pozitivan, a jednačina $x^2 = a$ uvek ima dva rešenja ($x = \pm\sqrt{a}$) kada je $a > 0$. Uvek proveri oba rešenja!

Za nastavak pogledaj pojam kvadratnog korena, pojam iracionalnog broja √2, operacije s korenima, iracionalne brojeve i skup realnih brojeva.

x² = a → x = ±√a. Koren je uvek ≥ 0. Ispod krova nema minusa!