Rešenje kvadratne jednačine x² = a, a ≥ 0. Pojam kvadratnog korena

Jednačina x² = a i pojam kvadratnog korena (7. razred)

U prethodnoj lekciji si naučio kako da kvadriraš racionalne brojeve. Sada idemo u suprotnom smeru: ako znaš rezultat kvadriranja, koji je to broj bio? Drugim rečima, rešavamo jednačinu oblika $x^2 = a$.

Ova lekcija ti otkriva dva ključna pojma: kako jednačina $x^2 = a$ ima dva rešenja, i zašto matematičari koriste poseban simbol $\sqrt{a}$ (kvadratni koren) koji uvek daje samo pozitivan rezultat.

Za celokupan pregled pogledaj matematiku za sedmi razred.

Jednačina x² = a — pojam kvadratnog korena, matematika 7. razred

Šta je jednačina x² = a?

Kada napišemo $x^2 = a$, pitamo se: koji broj, pomnožen samim sobom, daje rezultat $a$?

Definicija

Jednačina $x^2 = a$ traži broj $x$ čiji je kvadrat jednak datom broju $a$.

Primer

$x^2 = 25$ — koji broj, pomnožen samim sobom, daje 25?

Odgovor: $x = 5$ jer $5 \cdot 5 = 25$, ali i $x = -5$ jer $(-5) \cdot (-5) = 25$.

Šta je jednačina x² = a

Dva rešenja: uvek ± (plus-minus)

Evo ključne stvari koju moraš da zapamtiš za ceo školski život:

Jednačina x² = a (gde je a > 0) uvek ima TAČNO DVA rešenja: jedno pozitivno i jedno negativno!

Zašto? Zato što i pozitivan i negativan broj, kada se kvadriraju, daju isti pozitivan rezultat. Minus puta minus daje plus!

Primer: $x^2 = 9$

$x_1 = 3$ jer $3^2 = 9$

$x_2 = -3$ jer $(-3)^2 = 9$

Primer: $x^2 = 100$

$x_1 = 10$ i $x_2 = -10$

Zapisujemo skraćeno: $x = \pm 3$ ili $x = \pm 10$. Znak $\pm$ se čita "plus-minus".

Dva rešenja jednačine x² = a

Zašto a mora biti ≥ 0?

Hajde da razmislimo: da li postoji broj čiji je kvadrat negativan? Na primer, da li jednačina $x^2 = -4$ ima rešenje?

NE! Nijedan realan broj, pomnožen samim sobom, ne može dati negativan rezultat. Pozitivan × pozitivan = pozitivan. Negativan × negativan = pozitivan. Nula × nula = nula. Nikada negativan!

Zato u matematici pišemo $a \geq 0$. Uslov da jednačina $x^2 = a$ uopšte ima rešenje jeste da $a$ bude nenegativan broj (nula ili pozitivan).

$a > 0$

Dva rešenja: $x = \pm\sqrt{a}$

$a = 0$

Jedno rešenje: $x = 0$

$a < 0$

Nema rešenja u skupu realnih brojeva!

Zašto a mora biti veće ili jednako 0

Pojam kvadratnog korena — simbol √

Znamo da jednačina $x^2 = a$ ima dva rešenja. Ali matematičarima je trebao simbol koji uvek daje samo JEDNO od ta dva rešenja — ono pozitivno. Tako je nastao kvadratni koren.

Definicija kvadratnog korena

Kvadratni koren broja $a \geq 0$, u oznaci $\sqrt{a}$, jeste nenegativno rešenje jednačine $x^2 = a$.

Dakle, $\sqrt{25} = 5$ (a ne ±5!). Simbol $\sqrt{\phantom{x}}$ uvek daje samo pozitivan broj (ili nulu).

Zapamti

$\sqrt{a} \geq 0$ — kvadratni koren je uvek nenegativan!

Osnovni primeri

$\sqrt{4} = 2$

$\sqrt{9} = 3$

$\sqrt{16} = 4$

$\sqrt{0} = 0$

Razlika između ±√a i √a — najčešća zabuna!

Ovo je mesto gde se većina đaka zbuni na kontrolnom! Hajde da jednom zauvek razjasnimo:

Jednačina $x^2 = a$

Ima DVA rešenja: $x = \pm\sqrt{a}$

Piši oba: $x_1 = \sqrt{a}$ i $x_2 = -\sqrt{a}$

Izraz $\sqrt{a}$

Daje SAMO nenegativan rezultat!

$\sqrt{49} = 7$, a nikako ±7!

Kada rešavaš jednačinu $x^2 = a$, pišeš $x = \pm\sqrt{a}$. Ali kada te pitaju "koliko je $\sqrt{49}$", odgovor je samo 7!

Razlika između ±√a i √a

Kvadratni koreni koje moraš znati napamet

Ako si naučio tabelu kvadrata od 1 do 20, onda znaš i korene! Samo obrni logiku: ako je $7^2 = 49$, onda je $\sqrt{49} = 7$.

$a$$\sqrt{a}$$a$$\sqrt{a}$
11497
42648
93819
16410010
25512111
36614412

Ovu tabelu MORAŠ da naučiš napamet! Bez nje ćeš gubiti vreme na svim zadacima sa korenima.

Tabela kvadratnih korena

Kvadratni koren razlomaka i decimalnih brojeva

Koren razlomka računaš tako što posebno korenuješ brojilac i imenilac:

Pravilo

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Primer sa razlomkom

$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$

Primer sa decimalnim brojem

$\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ jer $0{,}7^2 = 0{,}49$

Provera: ako znaš pravilo duplih mesta iz kvadrata racionalnog broja, onda u obrnutom smeru: dva decimalna mesta se prepolove na jedno!

Prečica za decimale

Koren prepolovi broj decimalnih mesta. Dva mesta → jedno. Četiri mesta → dva.

5 rešenih primera korak po korak

Primer 1: $x^2 = 36$

Korak 1

Prepoznaj oblik: jednačina $x^2 = a$ gde je $a = 36 > 0$.

Korak 2

Dva rešenja: $x = \pm\sqrt{36} = \pm 6$

Provera: $6^2 = 36 \checkmark$ i $(-6)^2 = 36 \checkmark$

Primer 2: $x^2 = \frac{4}{9}$

$x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}} = \pm\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{2}{3}$

Provera: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \checkmark$

Primer 3: $x^2 = 0{,}16$

$x = \pm\sqrt{0{,}16} = \pm 0{,}4$

Dva decimalna mesta se prepolove na jedno. Provera: $0{,}4^2 = 0{,}16 \checkmark$

Primer 4: $x^2 = 0$

Jedino $x = 0$. Nula ima samo jedno rešenje, jer $-0 = 0$.

Primer 5: $x^2 = -9$

Nema rešenja! Ne postoji realan broj čiji je kvadrat negativan. Jednačina nema rešenje u skupu realnih brojeva.

Rešeni primeri za jednačinu x² = a

Najčešće greške na kontrolnom

Zaboravljanje drugog rešenja: Jednačina $x^2 = 16$ ima DVA rešenja: $x = 4$ i $x = -4$. Ako napišeš samo $x = 4$, dobijaš pola poena!

Pisanje √25 = ±5: Simbol $\sqrt{25}$ sam po sebi daje samo 5 (pozitivan broj). Plus-minus pišeš samo kod jednačine!

Koren negativnog broja:  $\sqrt{-4}$ NE postoji u skupu realnih brojeva. Nikada ne piši $\sqrt{-4} = -2$!

3 zamke na testu

1. Uvek piši oba rešenja kod jednačine!
2. √ sam po sebi daje samo + rezultat!
3. Koren negativnog broja ne postoji!

Zaključak

Jednačina $x^2 = a$ je osnova za sve dalje učenje o korenima. Zapamti tri stvari: kad je $a > 0$ imaš dva rešenja ($\pm\sqrt{a}$), kad je $a = 0$ jedno rešenje, a kad je $a < 0$ — nema rešenja.

Kvadratni koren $\sqrt{a}$ je uvek nenegativan. Jednačina $x^2 = a$ daje dva rešenja: $x = \pm\sqrt{a}$. Nauči korene napamet i nikada ne zaboravi minus!

Za nastavak pogledaj pojam iracionalnog broja √2, operacije s korenima, iracionalne brojeve, množenje i deljenje stepena i stepen čiji je izložilac prirodan broj.

x² = a → x = ±√a. Koren je uvek ≥ 0!