Grafik funkcije direktne proporcionalnosti

Grafik funkcije direktne proporcionalnosti — od tabele do savršene linije (7. razred)

U prošloj lekciji smo naučili šta je direktna proporcionalnost i upoznali smo našu glavnu formulu $y = k \cdot x$ . Videli smo da je to pravilo po kom računamo "koliko para, toliko muzike". Sada je vreme da tu matematičku formulu pretvorimo u sliku!

Lekcija grafik funkcije direktne proporcionalnosti 7. razred je zapravo samo crtanje na koordinatnom sistemu. Zašto crtamo? Zato što nam slika na papiru omogućava da jednim pogledom vidimo kako se naša funkcija ponaša, da li raste ili opada, i koliko brzo to radi.

Spremi lenjir, jer ovde nema krivih linija! Za celokupan pregled pogledaj matematiku za sedmi razred.

Grafik funkcije direktne proporcionalnosti — matematika 7. razred

Zlatno pravilo grafika (Prolazak kroz centar)

Svaka funkcija ima svoj oblik kada se nacrta. Neke su krive (kao parabola), neke su talasaste... Ali grafik direktne proporcionalnosti je ubedljivo najjednostavniji:

Grafik direktne proporcionalnosti je uvek savršeno prava linija koja MORA da prođe kroz koordinatni početak $(0, 0)$ !

Zašto prolazi baš kroz nulu? Zato što u formuli $y = k \cdot x$ , ako umesto $x$ staviš nulu, bilo koji broj $k$ pomnožen nulom daje nulu ( $y = 0$ ).

Logika iz života

0 kupljenih čokolada = 0 dinara za plaćanje. Zato grafik uvek prolazi kroz $(0, 0)$ !

Grafik direktne proporcionalnosti prolazi kroz koordinatni početak

Kako nacrtati grafik? (Zlatna 3 koraka)

Pošto iz geometrije znamo da kroz dve tačke može da prođe samo jedna prava linija, da bismo nacrtali naš grafik, potrebno je da izračunamo samo dve ili tri tačke. Treću računamo čisto radi provere.

Korak 1: Napravi tabelu

Crtamo malu tabelu za $x$ i $y$ . Mi smo "gazde" za $x$ i biramo koje ćemo brojeve da ubacimo u mašinu. Najpametnije je izabrati: 0, 1 i 2.

Korak 2: Izračunaj y

Ubacuješ izabrane brojeve u formulu i računaš vrednost $y$ za svaki.

Korak 3: Spoji tačke lenjirom

Pronađi tačke na koordinatnom sistemu, stavi tufnice i provuci lenjir. Proveri da li linija pogađa $(0, 0)$ !

Zapamti

Dve tačke su dovoljne za pravu liniju. Treća je SAMO za proveru!

Primer 1: Crtamo $y = 2x$ — Korak 1 i 2 (tabela)

Biramo $x = 0, 1, 2$ i ubacujemo u formulu $y = 2x$ :

Računanje

Za $x = 0$ : $y = 2 \cdot 0 = 0$ → tačka $A(0, 0)$

Za $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 = 2$ → tačka $B(1, 2)$

Za $x = 2$ : $y = 2 \cdot 2 = 4$ → tačka $C(2, 4)$

$x$	0	1	2
$y$	0	2	4

Primer 1: Korak 3 — Spajanje tačaka na papiru

Nacrtaj ose

Nacrtaj $x$ -osu (vodoravnu) i $y$ -osu (uspravnu). Obeleži koordinatni sistem.

Postavi tačke

Pronađi $A(0, 0)$ , $B(1, 2)$ i $C(2, 4)$ i stavi tufnice.

Spoji lenjirom

Povuci dugačku pravu liniju kroz te tačke. Dobićeš liniju koja ide uzbrdo (jer je $k = 2 > 0$ )!

Proveri: da li ti linija udara tačno u centar $(0, 0)$ ? Ako da — svaka čast, grafik je tačan!

Primer 2: Trik sa razlomcima — Crtamo $y = -\frac{1}{2}x$

Šta ako ti nastavnik da razlomak? Da li ćeš za $x$ izabrati broj 1 i mučiti se da nađeš $-\frac{1}{2}$ na koordinatnom sistemu? Naravno da ne!

Pametno biranje

Ako u formuli imaš razlomak, za $x$ UVEK biraj brojeve koji mogu da se skrate sa imeniocem (donjim brojem). Pošto ovde imamo dvojku dole, biramo parne brojeve: 0, 2 i 4.

Ako imaš razlomak sa imeniocem 3, biraj množioce trojke: 0, 3, 6. Ako je imenilac 5, biraj: 0, 5, 10. Uvek prilagodi imeniocu!

Primer 2: Tabela i crtanje za $y = -\frac{1}{2}x$

Računanje

Za $x = 0$ : $y = 0$ → tačka $A(0, 0)$

Za $x = 2$ : $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$ → tačka $B(2, -1)$

Za $x = 4$ : $y = -\frac{1}{2} \cdot 4 = -2$ → tačka $C(4, -2)$

$x$	0	2	4
$y$	0	−1	−2

Kada nacrtaš ove tačke, videćeš da linija sada ide nizbrdo (jer je $k = -\frac{1}{2} < 0$ ).

Grafik funkcije y = -1/2 x — opadajuća funkcija

Bratova caka: Pravilo kvadranata

Koordinatni sistem ima četiri sobe (kvadranta):

I kvadrant

Gore desno ( $x > 0, y > 0$ )

II kvadrant

Gore levo ( $x < 0, y > 0$ )

III kvadrant

Dole levo ( $x < 0, y < 0$ )

IV kvadrant

Dole desno ( $x > 0, y < 0$ )

Možeš unapred da znaš kroz koje sobe će tvoja linija proći samo gledajući znak broja $k$ !

Rastuća ili opadajuća? Gledaj samo znak k!

$k > 0$ — Rastuća

Npr. $y = 3x$ : Linija ide uzbrdo i prolazi isključivo kroz I i III kvadrant.

$k < 0$ — Opadajuća

Npr. $y = -5x$ : Linija ide nizbrdo i prolazi isključivo kroz II i IV kvadrant.

Ovo pitanje je obavezno na kontrolnom! Samo ti daju formulu i pitaju kroz koje kvadrante grafik prolazi.

Sažetak

$k > 0$ → I i III kvadrant (uzbrdo)
$k < 0$ → II i IV kvadrant (nizbrdo)

Vizuelno pravilo

Pozitivan k = ide od donjeg levog ka gornjem desnom uglu (uzbrdo).
Negativan k = ide od gornjeg levog ka donjem desnom uglu (nizbrdo).

Strmina linije — koliko je $|k|$ veliki?

Pored smera (uzbrdo/nizbrdo), koeficijent $k$ ti govori i koliko je linija strma:

Veliko $|k|$

Npr. $y = 10x$ : linija je skoro uspravna (vrlo strma)

Malo $|k|$

Npr. $y = 0{,}5x$ : linija je skoro položena (blaga)

Poređenje

Funkcija $y = 5x$ je strmija od $y = 2x$ , jer je $|5| > |2|$ . Isto važi i za negativne: $y = -5x$ je strmija od $y = -2x$ .

Strmina linije — uticaj veličine koeficijenta k

Najčešća greška 1: Crtanje "izlomljene" linije

Ako izračunaš tri tačke, postaviš lenjir i vidiš da jedna tačka "beži" i da lenjir ne može da prekrije sve tri istovremeno — stani! Nisi dobro izračunao $y$ za tu tačku.

Grafik direktne proporcionalnosti mora biti jedna savršeno prava linija bez ikakvih preloma. Ako tačke nisu u liniji, odmah se vrati na tabelu i proveri račun.

Upravo zato računamo TRI tačke umesto dve — treća tačka služi kao provera! Ako sve tri leže na ivici lenjira, računica je tačna.

Pravilo provere

Lenjir + 3 tačke = sigurnost. Ako jedna beži → greška u računu!

Najčešća greška 2: Obrtanje $x$ i $y$ koordinata

Kada postavljaš tačku npr. $(1, 3)$ , zapamti:

Prvi broj = vodoravno (levo-desno po $x$ -osi)

Drugi broj = uspravno (gore-dole po $y$ -osi, poput lifta)

Đaci u brzini odu 1 gore i 3 desno, što je zapravo tačka $(3, 1)$ — i skroz promaše zadatak!

Pravilo za pamćenje

Prvo idi levo-desno (po podu), pa onda gore-dole (liftom). Kao kad ulaziš u zgradu: prvo nađeš ulaz, pa se popneš liftom!

Zapamti redosled

$(x, y)$ = (vodoravno, uspravno)

Prvo po podu → pa liftom!

Zaključak

To je cela filozofija oko grafika! Lekcija grafik funkcije direktne proporcionalnosti 7. razred od tebe samo traži da budeš precizan sa lenjirom i da pametno biraš brojeve za svoju tabelu (uvek uzmi nulu, a ostale brojeve prilagodi razlomku ako postoji).

Sada znaš: grafik $y = kx$ je uvek prava kroz $(0,0)$ , $k > 0$ → I i III kvadrant (raste), $k < 0$ → II i IV kvadrant (opada), i što je $|k|$ veći — linija je strmija!

Za nastavak pogledaj pojam linearne funkcije, grafik linearne funkcije, obrnuto proporcionalne veličine, primenu proporcija i rastojanje između dve tačke.

Prava linija + prolaz kroz (0,0) + pravilo kvadranata = 10/10 na testu!

Kvizovi25otvorizatvori