Kvadrat binoma

Kvadrat binoma — formula koja spašava život na kontrolnom (7. razred)

Znaš onaj trenutak kad vidiš zagradu na kvadrat i samo želiš da zalepiš taj mali broj dva na svaki deo unutra, pa da završiš zadatak i ideš napolje? Zvuči logično, zar ne? E, baš tu pada najviše kečeva iz matematike!

Kvadrat binoma za 7. razred je ubedljivo najvažnija formula koju ćeš učiti ove godine. Pratiće te kroz celu osnovnu i srednju školu. Zato je vrh stvar da je sada ukapiraš, jer kad jednom uhvatiš ritam, rešavaćeš ove zadatke za deset sekundi.

  • Naučićeš formulu za kvadrat zbira i kvadrat razlike
  • Razumećeš zašto postoji "srednji član"
  • Zapamtićeš "pesmicu" koja te nikad neće izdati
Pre ove lekcije podseti se kako radi proizvod dva polinoma i kvadriranje monoma.
Kvadrat binoma — najvažnija formula za 7. razred

Zašto ne možemo "samo da kvadriramo"?

Kada dobiješ izraz $(a + b)^2$, tvoj mozak ti govori da je to $a^2 + b^2$. Ovo je najveća zamka u matematici!

Seti se šta znači kvadrat. Kvadrat znači da nešto množiš samim sobom:

$(a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b)$

Kad to pomnožimo detaljno po pravilu "svaki sa svakim":

$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Eto ga! Pojavio se onaj srednji deo ($2ab$) na koji svi zaborave. $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$!
Najveća zamka

$(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Srednji član $2ab$ je ono što svi zaborave!

Kvadrat zbira (Kada je u zagradi plus)

Formula za kvadrat zbira izgleda ovako:

$(I + II)^2 = I^2 + 2 \cdot I \cdot II + II^2$

Pesmica za pamćenje
"Prvi na kvadrat, plus dvostruki prvi puta drugi, plus drugi na kvadrat."
🧮
$I^2$

Prvi na kvadrat (kvadriraj i broj i slovo!)

⚡
$+2 \cdot I \cdot II$

Dvostruki prvi puta drugi — onaj čuveni srednji član!

🏆
$+II^2$

Drugi na kvadrat — uvek pozitivan!

Formula za kvadrat zbira — pesmica za pamćenje

Primer 1: $(x + 5)^2$

  1. Prvi na kvadrat: $x^2$
  2. Dvostruki prvi puta drugi: $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$
  3. Drugi na kvadrat: $5^2 = 25$

Rešenje: $x^2 + 10x + 25$

Tri člana, uvek tri člana! Ako si dobio samo dva, zaboravio si srednji.
✍ Provera: Možeš da proveriš množeći $(x+5)(x+5)$ po pravilu svaki sa svakim — dobićeš isti rezultat!

Primer 2: $(3a + 2b)^2$

  1. Prvi na kvadrat (pazi, kvadriraš i broj i slovo!): $(3a)^2 = 9a^2$
  2. Dvostruki prvi puta drugi: $2 \cdot (3a) \cdot (2b) = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot a \cdot b = 12ab$
  3. Drugi na kvadrat: $(2b)^2 = 4b^2$

Rešenje: $9a^2 + 12ab + 4b^2$

Najčešća greška: napisati $3a^2$ umesto $9a^2$. Pravilo kaže "CEO prvi član na kvadrat" — i broj i slovo!
Kvadrat zbira sa koeficijentima — (3a+2b)²

Kvadrat razlike (Kada je u zagradi minus)

Šta se dešava ako u zagradi imamo minus? Formula je skoro potpuno ista, menja se samo jedan jedini znak — onaj ispred dvostrukog prvog i drugog!

$(I - II)^2 = I^2 - 2 \cdot I \cdot II + II^2$

Šta se menja, a šta ostaje isto?

  • Menja se: Znak ispred srednjeg člana — sada je minus
  • Ostaje isto: Treći član je i dalje plus ($+II^2$), jer kvadrat bilo kog broja je uvek pozitivan
Pesmica za razliku: "Prvi na kvadrat, minus dvostruki prvi puta drugi, plus drugi na kvadrat."

Kvadrat razlike

$(I - II)^2 = I^2 - 2 \cdot I \cdot II + II^2$

Srednji član je negativan, treći je uvek pozitivan!

Primer 3: $(y - 4)^2$

  1. Prvi na kvadrat: $y^2$
  2. Minus dvostruki prvi puta drugi: $-2 \cdot y \cdot 4 = -8y$
  3. Drugi na kvadrat: $4^2 = 16$

Rešenje: $y^2 - 8y + 16$

Primetio si? Treći član je $+16$, a NE $-16$! Treći član je UVEK pozitivan.
Kvadrat razlike — (y-4)² korak po korak

Primer 4: $(5x - 3)^2$

  1. Prvi na kvadrat: $(5x)^2 = 25x^2$
  2. Minus dvostruki prvi puta drugi: $-2 \cdot 5x \cdot 3 = -30x$
  3. Drugi na kvadrat: $(-3)^2 = 9$

Rešenje: $25x^2 - 30x + 9$

Bratov savet za minus

Kad pišeš srednji član kod razlike, minus iz zagrade samo "izvuci" i stavi ga skroz napred. Onda mirno pomnoži $2 \cdot \text{prvi} \cdot \text{drugi}$ bez razmišljanja o znakovima.

A treći član je uvek pozitivan, šta god da se desi!

Primer 5: Sa razlomcima — $\left(\frac{1}{2}m - n\right)^2$

  1. Prvi na kvadrat: $\left(\frac{1}{2}m\right)^2 = \frac{1}{4}m^2$
  2. Minus dvostruki prvi puta drugi: $-2 \cdot \frac{1}{2}m \cdot n = -mn$ (dvojka i polovina se skrate!)
  3. Drugi na kvadrat: $n^2$

Rešenje: $\frac{1}{4}m^2 - mn + n^2$

Razlomci se rešavaju potpuno istom formulom — samo pazi na skraćivanje kad množiš srednji član!
Kvadrat binoma sa razlomcima — primer korak po korak

Primer 6: Sa decimalnim brojevima — $(2x + 0{,}2)^2$

  1. Prvi na kvadrat: $(2x)^2 = 4x^2$
  2. Plus dvostruki prvi puta drugi: $2 \cdot 2x \cdot 0{,}2 = 0{,}8x$
  3. Drugi na kvadrat: $(0{,}2)^2 = 0{,}04$

Rešenje: $4x^2 + 0{,}8x + 0{,}04$

Česta greška: $(0{,}2)^2 = 0{,}4$. Netačno! Moraš da pomnožiš $0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04$!
✍ Napomena: Kod decimalnih brojeva posebno pazi na kvadriranje — broji decimalna mesta!

Bonus: Brzo računanje brojeva!

Formula za kvadrat binoma se može koristiti za brzo računanje kvadrata brojeva koji su bliski dekadnim jedinicama.

Primer: $397^2$

Zapišemo kao: $(400 - 3)^2$

  1. $400^2 = 160000$
  2. $-2 \cdot 400 \cdot 3 = -2400$
  3. $3^2 = 9$

$160000 - 2400 + 9 = 157609$

Ovo možeš da koristiš i za $102^2 = (100+2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$!

Trik za kontrolni

Ako te pitaju da brzo izračunaš $99^2$:

$(100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$

Primer 7: Kad je broj na prvom mestu — $(7 - 4x)^2$

Bez obzira na to što se broj nalazi na prvom mestu, pravilo se primenjuje na isti način:

  1. Prvi na kvadrat: $7^2 = 49$
  2. Minus dvostruki prvi puta drugi: $-2 \cdot 7 \cdot 4x = -56x$
  3. Drugi na kvadrat: $(4x)^2 = 16x^2$

Rešenje: $49 - 56x + 16x^2$

Pogledaj i kako se formule koriste za rastavljanje polinoma na činioce.
Kvadrat binoma kad je broj na prvom mestu

10 zadataka sa postupkom rešenja (1–5)

1. $(x + 5)^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 25 = x^2 + 10x + 25$

2. $(x + 3)^2$

$x^2 + 6x + 9$

3. $(y - 4)^2$

$y^2 - 8y + 16$. Treći član je +16, NE -16!

4. $(5x - 3)^2$

$25x^2 - 30x + 9$. Pazi: $(5x)^2 = 25x^2$, ne $5x^2$!

5. $(2x - 3)^2$

$4x^2 - 12x + 9$

Zadaci 1–5 — kvadrat binoma

10 zadataka sa postupkom rešenja (6–10)

6. $(5x + 2)^2$

$25x^2 + 20x + 4$

7. $(2x - 5)^2$

$4x^2 - 20x + 25$

8. $(3x + 5)^2$

$9x^2 + 30x + 25$

9. $(7 - 4x)^2$

$49 - 56x + 16x^2$

10. $397^2$ (brzo računanje)

$(400-3)^2 = 160000 - 2400 + 9 = 157609$

Zadaci 6–10 — kvadrat binoma sa koeficijentima i brzo računanje

Najčešće greške

Ne dozvoli sebi da izgubiš poene na ovim glupostima:

Greška 1: "Fantomsko" brisanje srednjeg člana

Učenik vidi $(x + 7)^2$ i brzinski napiše $x^2 + 49$. Ovo je matematički zločin! Gde ti je nestao srednji deo?

Ispravno je: $x^2 + 14x + 49$.

Greška 2: Zaboraviš da kvadriraš koeficijent

Izraz je $(4a - 1)^2$. Učenik za prvi član napiše $4a^2$. Netačno! Zaboravio si da i četvorka mora na kvadrat.

Ispravno je: $16a^2$.

Ako se ikada na kontrolnom blokiraš i zaboraviš formulu, uvek možeš da se izvučeš tako što ćeš napisati dve zagrade i pomnožiti ih metodom "svaki sa svakim"!

Zaključak

Formula za kvadrat binoma za 7. razred traži samo malo pevanja u sebi: "Prvi na kvadrat, (plus/minus) dvostruki prvi puta drugi, plus drugi na kvadrat". Ova formula ti otvara vrata za razliku kvadrata, rastavljanje polinoma i sve ostalo što te čeka.

Provera znanja

Kako bi raspisao $(2x + 1)^2$?

Koji broj stoji u srednjem delu?

Odgovor:  $4x^2 + 4x + 1$. Srednji član je $4x$!

✍ Bratov savet: Za ponavljanje osnova vrati se na polinome i oduzimanje polinoma.