Suprotni polinom. Oduzimanje polinoma

Suprotni polinom i oduzimanje polinoma — pazi na minus! (7. razred)

U matematici „mina” je mali znak minus ispred zagrade. Ako ga preskočiš, ceo zadatak ode u pogrešnom smeru. Ovde učiš jednu ključnu caku kako da taj minus deaktiviraš svaki put.

Lekcija je nastavak tema Polinomi, Polinom. Sređen oblik polinoma i Sabiranje polinoma.

Cilj: bez greške menjaš znak svakom članu u zagradi kada je ispred nje minus, pa zadatak svodiš na sabiranje sličnih monoma.
Suprotni polinom i oduzimanje polinoma

Šta je zapravo suprotni polinom?

Suprotni polinom je isti izraz sa potpuno obrnutim znakovima. Sve što je bilo plus postaje minus, a minus postaje plus.

$P=3x+5\ \Rightarrow\ -P=-3x-5$

$P=-2x^2+4x-7\ \Rightarrow\ -P=2x^2-4x+7$

Možeš da ga pamtiš kao „zlog blizanca” originalnog polinoma.
Ključ

$-(\cdots)$ znači: promeni znak svakom članu u zagradi.

Zašto se znakovi menjaju?

Minus ispred zagrade znači množenje celog izraza sa $-1$. A množenje sa $-1$ samo preokrene znak.

Pravilo

$-(a-b+c)=-a+b-c$

Greška

Ne menjaš samo prvi član, menjaš sve.

Minus ispred zagrade menja znakove

Kako se radi oduzimanje polinoma?

Pravilo: oduzeti polinom je isto što i dodati njegov suprotni polinom.

$P-Q=P+(-Q)$

Minus ispred zagrade menja znak svakom članu unutra, bez izuzetka.

Posle toga radiš isto kao kod sabiranja polinoma: grupišeš i sabiraš slične članove.

Formula za pamćenje
Minus ispred zagrade = promena svih znakova u toj zagradi.

Primer 1: jednostavni binomi

Zadatak: $(4x+7)-(2x+3)$

Skidanje zagrada:

$4x+7-2x-3$

Spajanje sličnih članova:

$4x-2x=2x$, $7-3=4$

Rešenje: $2x+4$

Prva zagrada se samo prepisuje; menja se samo druga (ona sa minusom ispred).
Primer oduzimanja binoma

Primer 2: više minusa u drugoj zagradi

Zadatak: $(5x^2-2x+1)-(3x^2-4x-2)$

Skidanje zagrada uz promenu svih znakova u drugoj:

$5x^2-2x+1-3x^2+4x+2$

Spajanje:

  • $5x^2-3x^2=2x^2$
  • $-2x+4x=2x$
  • $1+2=3$

Rešenje: $2x^2+2x+3$

Minus ispred zagrade je „kiša” — svi članovi pokisnu (promene znak).

Primer klasične greške: promeni se samo prvi član

Izraz: $-(5x+2)$

Greška: $-5x+2$

Tačno: $-5x-2$

Ako promeniš znak samo prvom članu, rezultat je netačan.

Za proveru: $-(x^2-3x+4)=-x^2+3x-4$ (tvoje rešenje je tačno).

Najcesca greska u oduzimanju polinoma

Najčešće greške pri oduzimanju

Greška 1: menja se samo prvi član

Minus se odnosi na celu zagradu, ne samo na prvi član.

Greška 2: menjaju se znaci i u prvoj zagradi

Prva zagrada ostaje ista (ako ispred nje nema minusa).

Trik: prstom pređi član po član i izgovori „menjam, menjam, menjam”.
Najcesce greske u oduzimanju polinoma

Napravi 10 primera za Suprotni polinom. Oduzimanje polinoma

Suprotni polinom (1–5)

1) $3x-3\ \Rightarrow\ -3x+3$

2) $5x^2-7\ \Rightarrow\ -5x^2+7$

3) $-7y^2+10y-1\ \Rightarrow\ 7y^2-10y+1$

4) $4x^3-x^2+5x\ \Rightarrow\ -4x^3+x^2-5x$

5) $-25-9x+11x^2-2x^3\ \Rightarrow\ 25+9x-11x^2+2x^3$

Oduzimanje polinoma (6–10)

6) $(4x+7)-(2x+3)=2x+4$

7) $(3x^3-4x^2+6x-7)-(4x^3-2x^2+12x+3)=-x^3-2x^2-6x-10$

8) $(5x^2-2x+1)-(3x^2-4x-2)=2x^2+2x+3$

9) $(x^6-x^5+x^4-x^3)-(-x^6+2x^5-x^4+x^3)=2x^6-3x^5+2x^4-2x^3$

10) $(7x^4+4x^2y-5xy-2x+7)-(2y^3-4x^2y+3xy+y-6)=7x^4-2y^3+8x^2y-8xy-2x-y+13$

Naredno gradivo: Množenje polinoma monomom i Proizvod dva polinoma.

Svaki zadatak sa minusom ispred zagrade svodiš na sabiranje nakon promene znakova.

Zaključak i brza provera

Suprotni polinom i oduzimanje polinoma nisu teški računski zadaci, već test pažnje na znake.

Provera
$-(x^2-3x+4)=-x^2+3x-4$

Kada ovo radiš bez greške, spreman si za složenije operacije sa polinomima.

Zakljucak suprotni polinom i oduzimanje

Šta kada je ispred zagrade plus?

Kada ispred zagrade stoji plus, znakovi unutra ostaju isti. Zagrada se samo skloni.

$+(3x^2-2x+1)=3x^2-2x+1$

$(4x+2)+(-x-5)=4x+2-x-5$

Menjaš znakove samo u zagradi ispred koje je minus.

Ovo je direktna veza sa lekcijom Sabiranje polinoma.

Brzo pravilo

$+(\cdots)\Rightarrow$ bez promene znakova

$-(\cdots)\Rightarrow$ promena svih znakova

Procedura u 4 koraka (za svaki zadatak)

  1. Prepiši prvu zagradu bez promene.
  2. U drugoj zagradi promeni znak svakom članu ako je ispred nje minus.
  3. Skini zagrade i grupiši slične monome.
  4. Sredi rezultat po opadajućim stepenima.

Za pripremu za naredne lekcije pogledaj Množenje polinoma monomom i Proizvod dva polinoma.

Ako svaki put pratiš ova 4 koraka, greške sa minusom nestaju.
Koraci za oduzimanje polinoma