Proizvod dva polinoma

Proizvod dva polinoma — pravilo "svaki sa svakim" (7. razred)

Znam šta misliš. Taman si preživeo množenje polinoma običnim monomom (ono kad "poštar" deli pisma ispred zagrade), a sada te u zadatku čekaju dve cele zagrade prepune slova, brojeva i minusa. Izgleda kao potpuni haos i prosto moli da negde pogrešiš.

Ali, stani na loptu! Proizvod dva polinoma za 7. razred je zapravo samo ponavljanje onog istog pravila koje već znaš, samo što sada imamo dva "poštara". Ako si pažljiv i pratiš jednu prostu foru, nema šanse da se zbuniš.

  • Svaki član iz prve zagrade množi sve iz druge zagrade
  • Na kraju obavezno sredi izraz — spoji slične monome
  • Prebroj članove pre sređivanja da nisi nekog preskočio
Pre ove lekcije podseti se kako radi množenje polinoma monomom i množenje monoma monomom.
Proizvod dva polinoma — pravilo svaki sa svakim, matematika 7. razred

Kako množimo dva polinoma?

Glavno i jedino pravilo koje ovde vlada zove se "svaki sa svakim".

Analogija sa rukovanjem

Zamisli da ekipa iz prve zagrade dođe u goste kod ekipe iz druge zagrade. Pristojnost nalaže da se svaki član prve ekipe rukuje sa svakim članom druge ekipe. Niko ne sme da bude preskočen!

U matematici to znači da prvi član iz prve zagrade množi sve iz druge zagrade, a onda to isto uradi i drugi član iz prve zagrade. Ovo je zapravo distributivnost množenja primenjena dva (ili više) puta.

Svaki sa svakim!

$(A + B) \cdot (C + D)$

$= AC + AD + BC + BD$

Svaki član iz prve zagrade množi sve iz druge!

Primer 1: Množenje dva obična binoma

Imamo zadatak da pomnožimo $(x + 2) \cdot (x + 3)$.

  1. Korak 1: Prvi iz prve zagrade ($x$) množi redom sve iz druge zagrade:
    $x \cdot x = x^2$ i $x \cdot 3 = 3x$
  2. Korak 2: Drugi iz prve zagrade ($2$) množi redom sve:
    $2 \cdot x = 2x$ i $2 \cdot 3 = 6$
  3. Korak 3: Spojimo: $x^2 + 3x + 2x + 6$
  4. Korak 4: Sredimo ($3x + 2x = 5x$)

Rešenje: $x^2 + 5x + 6$

Binom puta binom = 4 člana pre sređivanja ($2 \cdot 2 = 4$). Prebroj ih!
Množenje dva binoma — (x+2)(x+3) korak po korak

Primer 2: Množenje sa minusima (ovde pazi!)

Računamo $(2a - 3) \cdot (a + 4)$.

Krećemo od $2a$:

$2a \cdot a = 2a^2$ i $2a \cdot 4 = 8a$

Sada na scenu stupa $-3$ (pazi, minus putuje sa trojkom!):

$-3 \cdot a = -3a$ i $-3 \cdot 4 = -12$

Spajamo: $2a^2 + 8a - 3a - 12$

Sređujemo ($8a - 3a = 5a$):

Rešenje: $2a^2 + 5a - 12$

Minus UVEK putuje sa brojem! Kad pišeš $(2a - 3)$, drugi član je $-3$, ne samo $3$!
Množenje binoma sa minusom — (2a-3)(a+4)

Bratova caka: Prebroj članove!

Pre nego što kreneš da sabiraš i sređuješ onaj dugački izraz, prebroj članove!

🧮
Binom × Binom

$2 \cdot 2 = 4$ člana pre sređivanja

🧮
Binom × Trinom

$2 \cdot 3 = 6$ članova pre sređivanja

🧮
Trinom × Trinom

$3 \cdot 3 = 9$ članova pre sređivanja

🎯
Opšte pravilo

Broj članova = broj u prvoj × broj u drugoj zagradi

Ako ti fali neki član, znači da si nekog zaboravio da pomnožiš! I obavezno crtaj lukove (strelice) olovkom dok množiš.
Brza provera
Prebroj članove pre sređivanja — ako ih ima manje nego što treba, nekog si preskočio!

Primer 3: Množenje binoma i trinoma

Pomnožimo $(x + 2) \cdot (x^2 + 3x - 4)$.

Član $x$ množi sve:

$x \cdot x^2 = x^3$, $x \cdot 3x = 3x^2$, $x \cdot (-4) = -4x$

Član $2$ množi sve:

$2 \cdot x^2 = 2x^2$, $2 \cdot 3x = 6x$, $2 \cdot (-4) = -8$

Spajamo (tačno 6 članova!): $x^3 + 3x^2 - 4x + 2x^2 + 6x - 8$

Sređujemo: $x^3 + 5x^2 + 2x - 8$

Množenje binoma i trinoma — 6 članova pre sređivanja

Primer 4: Dva negativna člana na kraju

Pomnožimo $(x - 4) \cdot (x - 5)$.

  1. $x \cdot x = x^2$
  2. $x \cdot (-5) = -5x$
  3. $(-4) \cdot x = -4x$
  4. $(-4) \cdot (-5) = +20$ (dva minusa daju PLUS!)

Spajamo: $x^2 - 5x - 4x + 20$

Rešenje: $x^2 - 9x + 20$

Poslednje množenje je zamka! $(-4) \cdot (-5) = +20$, a NE $-20$! Dva minusa kod množenja UVEK daju plus.
Pravilo za znakove

$(+) \cdot (+) = +$

$(-) \cdot (-) = +$

$(+) \cdot (-) = -$

$(-) \cdot (+) = -$

Primer 5: Kad je broj prvi u zagradi

Pomnožimo $(5 - x) \cdot (2x + 3)$.

  1. $5 \cdot 2x = 10x$
  2. $5 \cdot 3 = 15$
  3. $(-x) \cdot 2x = -2x^2$
  4. $(-x) \cdot 3 = -3x$

Spajamo: $10x + 15 - 2x^2 - 3x$

Sređujemo po opadajućim stepenima: $-2x^2 + 7x + 15$

Na kraju uvek zapiši sređen oblik polinoma — od najvećeg do najmanjeg stepena!
✍ Napomena: Nije bitno da li je slovo ili broj prvi u zagradi. Pravilo "svaki sa svakim" radi isto u oba slučaja.

Primer 6: Trinom puta trinom (9 članova!)

Pomnožimo $(2x^2 + 5x + 1) \cdot (x^2 - 4x - 7)$.

Član $2x^2$:

$2x^4 - 8x^3 - 14x^2$

Član $5x$:

$5x^3 - 20x^2 - 35x$

Član $1$:

$x^2 - 4x - 7$

Sređujemo slične: $2x^4 + (-8 + 5)x^3 + (-14 - 20 + 1)x^2 + (-35 - 4)x - 7$

Rešenje: $2x^4 - 3x^3 - 33x^2 - 39x - 7$

Trinom puta trinom — 9 članova pre sređivanja

Poseban slučaj: $(a - b) \cdot (a + b)$

Pomnožimo $(a - b) \cdot (a + b)$ po pravilu svaki sa svakim:

$a^2 + ab - ba - b^2$

Pošto je $ab = ba$, srednji članovi se poništavaju!

Ostaje: $a^2 - b^2$

Zato se proizvod zbira i razlike dva monoma još naziva i "razlika kvadrata"! Ovu formulu ćeš detaljnije učiti u sledećoj lekciji.

Formula: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Srednji članovi se uvek potiru!

Razlika kvadrata

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Ovo je najčuvenija formula u algebri 7. razreda!

Nauči više →

Kako srediti izraz nakon množenja?

Zadatak NIKADA nije gotov samo kad se završi množenje! Uvek, ali uvek moraš da potražiš slične članove na kraju i da ih spojiš.

📈
Korak 1

Ispiši sve članove koje si dobio množenjem

✍
Korak 2

Pronađi slične monome (isto slovo, isti stepen)

💡
Korak 3

Saberi ili oduzmi koeficijente sličnih

🏆
Korak 4

Zapiši sređen oblik — od najvećeg do najmanjeg stepena

Pogledaj i lekciju o sabiranju polinoma za pravila spajanja sličnih monoma.

Sređivanje polinoma — spajanje sličnih monoma

Primer 7: Polinom sa 4 člana puta binom

Pomnožimo $(6x^3 + x^2 - 2x + 4) \cdot (3x - 2)$.

Član $3x$ množi sve:

$18x^4 + 3x^3 - 6x^2 + 12x$

Član $-2$ množi sve:

$-12x^3 - 2x^2 + 4x - 8$

Spajamo (8 članova, jer $4 \cdot 2 = 8$):

$18x^4 + 3x^3 - 6x^2 + 12x - 12x^3 - 2x^2 + 4x - 8$

Sređeno: $18x^4 - 9x^3 - 8x^2 + 16x - 8$

Množenje polinoma sa 4 člana binomom

10 zadataka sa postupkom rešenja (1–5)

1. $(x + 2) \cdot (x + 3)$

$x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

2. $(2a - 3) \cdot (a + 4)$

$2a^2 + 8a - 3a - 12 = 2a^2 + 5a - 12$

3. $(x + 5) \cdot (x + 4)$

$x^2 + 4x + 5x + 20 = x^2 + 9x + 20$

4. $(2x + 3) \cdot (3x + 1)$

$6x^2 + 2x + 9x + 3 = 6x^2 + 11x + 3$

5. $(5 - x) \cdot (2x + 3)$

$10x + 15 - 2x^2 - 3x = -2x^2 + 7x + 15$

Zadaci 1–5 — proizvod dva polinoma

10 zadataka sa postupkom rešenja (6–10)

6. $(3x - 2) \cdot (4x + 7)$

$12x^2 + 21x - 8x - 14 = 12x^2 + 13x - 14$

7. $(x - 4) \cdot (x - 5)$

$x^2 - 5x - 4x + 20 = x^2 - 9x + 20$. Pazi: $(-4)(-5) = +20$!

8. $(a - b) \cdot (a + b)$

$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$. Razlika kvadrata!

9. $(6x^3 + x^2 - 2x + 4) \cdot (3x - 2)$

$18x^4 + 3x^3 - 6x^2 + 12x - 12x^3 - 2x^2 + 4x - 8$

Sređeno: $18x^4 - 9x^3 - 8x^2 + 16x - 8$

10. $(2x^2 + 5x + 1) \cdot (x^2 - 4x - 7)$

9 članova: $2x^4 - 8x^3 - 14x^2 + 5x^3 - 20x^2 - 35x + x^2 - 4x - 7$

Sređeno: $2x^4 - 3x^3 - 33x^2 - 39x - 7$

Zadaci 6–10 — složeniji primeri množenja polinoma

Najčešće greške

Skoro svi gube poene na kontrolnom na ove dve stvari. Ne budi jedan od njih:

Greška 1: Zaboraviš da središ izraz na kraju

Učenik pomnoži sve savršeno, dobije $x^2 + 5x - 2x - 10$ i tu stane. Zadatak nije gotov! Uvek moraš da potražiš slične članove i da ih spojiš.

Ispravno je: $x^2 + 3x - 10$.

Greška 2: Zezneš znak kod poslednjeg množenja

Imamo $(x - 4) \cdot (x - 5)$. Kad dođu do kraja, učenici često pomnože brojeve i napišu $-20$. Katastrofa! Množiš $-4$ i $-5$, a dva minusa kod množenja uvek daju plus.

Ispravno je: $+20$.

Crtaj strelice, prebroj članove, pazi na znakove i OBAVEZNO sredi izraz na kraju!

Zaključak

Da sumiramo: proizvod dva polinoma za 7. razred traži samo malo više strpljenja. Crtaj strelice, pusti svakog da se "rukuje" sa svakim, pažljivo prati pluseve i minuse, i na kraju obavezno sredi taj dugački izraz koji dobiješ.

Ova lekcija je savršena priprema za kvadrat binoma, razliku kvadrata i rastavljanje polinoma na činioce. Za celokupan pregled pogledaj matematiku za sedmi razred.

Provera znanja

Koliko ćemo ukupno članova dobiti (pre sređivanja) ako pomnožimo binom i trinom, npr. $(x + 2) \cdot (x^2 + 3x - 4)$?

Odgovor: Tačno 6 članova! ($2 \cdot 3 = 6$)

✍ Bratov savet: Kad ti zatreba ponavljanje osnova, vrati se na množenje polinoma monomom i monome.