Rastojanje između dve tačke u koordinatnom sistemu

Rastojanje između dve tačke u koordinatnom sistemu — formula, primeri i cake

Gde si! Znam, čim vidiš koordinatni sistem i tačke, deluje kao da treba da postaneš navigator. U stvari, ova lekcija je direktna primena gradiva iz lekcije Pitagorina teorema i spada među najkorisnije delove iz matematike za 7. razred.

U ovoj lekciji ćeš naučiti kako da tačno izračunaš rastojanje između tačaka $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$ , čak i kada imaš negativne koordinate i dvostruke minuse.

Kako nastaje formula iz Pitagorine teoreme
Kako da računaš kada su koordinate pozitivne
Kako da računaš kada su koordinate negativne
Najčešće greške i brza provera rezultata

Ako želiš da obnoviš osnovu koordinatnog sistema, pogledaj i lekciju grafik linearne funkcije. Ako želiš još primena Pitagore u figurama, tu su pravougaonik i kvadrat.

Koordinatni sistem sa tačkama i rastojanjem između njih

Gde se ovde krije Pitagorina teorema?

Uzmi dve tačke: $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$ . Rastojanje između njih je dužina duži $AB$ , koju obeležavamo sa $d$ .

Ako povučeš horizontalu kroz jednu tačku i vertikalu kroz drugu, dobiješ pravougli trougao:

Hipotenuza

Rastojanje između tačaka

Δx

Horizontalna kateta

$x_2-x_1$

Δy

Vertikalna kateta

$y_2-y_1$

Suština: računanje rastojanja je isto što i računanje hipotenuze pravouglog trougla.

Pravougli trougao u koordinatnom sistemu

Izvođenje zvanične formule

Krećemo od Pitagorine teoreme:

$d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$

Pošto nam treba $d$ , izvučemo koren:

Glavna formula

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Ovo je formula koju koristiš u svim zadacima sa rastojanjem dve tačke. Ista logika će ti kasnije trebati i kada učiš vektore i analitičku geometriju.

U prvoj zagradi su samo x koordinate, u drugoj samo y koordinate. Nikada ih ne mešaj.

Brza veza sa ranijim lekcijama

Ako ti je korisno da proveriš računanje sa korenima, obnovi i lekcije kvadratni koren i operacije s korenima.

Koraci koje pratiš u svakom zadatku

Prepiši tačke i obeleži:

x_1,y_1,x_2,y_2

Ubaci brojeve u formulu sa zagradama.

Prvo reši oduzimanja u zagradama (posebno pazi na minuse).

Kvadriraj rezultate i saberi.

Izvuci koren i napiši konačno rastojanje.

Ako radiš ove korake redom, izbegavaš skoro sve greške. Sličan redosled koristiš i kod lekcije primena Pitagorine teoreme na pravougli trapez.

Koraci rešavanja matematičkog zadatka u koordinatnom sistemu

Primer 1 — kada su koordinate pozitivne

Zadatak: Izračunaj rastojanje između tačaka $A(1,2)$ i $B(4,6)$ .

d=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}

d=\sqrt{3^2+4^2}

d=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}

Rešenje:

d=5

Ovo je klasična Pitagorina trojka 3-4-5, zato je rezultat odmah ceo broj.

Brza provera

Ako iz zagrada dobiješ brojeve 3 i 4, rastojanje mora biti 5. To je najpoznatija Pitagorina trojka koju koristiš i u lekciji pravougaonik.

Primer 2 — šta kada imamo minuse?

Zadatak: Izračunaj rastojanje između tačaka $C(-2,3)$ i $D(4,-5)$ .

d=\sqrt{(4-(-2))^2+(-5-3)^2}

Dvostruki minus daje plus:

4-(-2)=6

; a

-5-3=-8

d=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}

d=\sqrt{100}=10

Minus na kvadrat daje plus, ali minus u zagradi pri oduzimanju može da promeni znak. Zato uvek prvo reši zagrade, pa tek onda kvadriraj.

Računanje rastojanja sa negativnim koordinatama

Specijalni slučajevi kada možeš kraće

Nekad ne moraš ni da koristiš celu formulu:

1) Iste y koordinate

Ako su tačke paralelne x-osi, rastojanje je samo $|x_2-x_1|$ .

Primer: $A(-1,2),\,B(3,2)\Rightarrow d=|3-(-1)|=4$ .

2) Iste x koordinate

Ako su tačke paralelne y-osi, rastojanje je $|y_2-y_1|$ .

3) Rastojanje od koordinatnog početka

Za tačku $A(x,y)$ i početak $O(0,0)$ važi: $d=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Primer iz materijala

$A(-3,4),\,O(0,0)$

$d=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$

Bratova caka — napiši tačke jednu ispod druge

Kad se zbuniš oko $x_1,x_2,y_1,y_2$ , uradi ovo:

A(1, 2)
B(4, 6)

Oduzimaš prvi broj od prvog, drugi od drugog. Tako skoro nema šanse da pomešaš x i y koordinate.

Ovu tehniku koristi i kada radiš zadatke u lekciji pravougli trouglovi 30° i 60°, jer i tamo sve kreće od jasnog prepoznavanja stranica i podataka.

Uvek radi redom: zagrade → kvadrati → sabiranje → koren.

Metoda zapisivanja koordinata jednu ispod druge

Najčešće greške

Greška 1: Mešanje x i y koordinata

U prvoj zagradi smeju samo x brojevi, u drugoj samo y brojevi. Ne oduzimaj „babe i žabe“.

Greška 2: Pogrešno računanje dvostrukog minusa

$4-(-2)=6$ , ne 2. Ovaj korak pravi najveći broj grešaka.

Greška 3: Zaboravljen koren na kraju

Mnogi stanu na $d^2=100$ . Konačan odgovor je $d=10$ .

Greška 4: Minus na kvadrat tretiran kao minus

$(-8)^2=64$ . Kvadrat negativnog broja je pozitivan.

Pre predaje testa proveri:

1) Da li su x i y dobro raspoređeni? 2) Da li su minusi pravilno sređeni? 3) Da li si izvukao koren?

5 zadataka za vežbu

Zadatak 1: A(-1,2), B(3,2)

Iste y koordinate, pa je $d=|3-(-1)|=4$ .

Zadatak 2: A(1,2), B(4,6)

$d=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{25}=5$ .

Zadatak 3: C(-2,3), D(4,-5)

$d=\sqrt{(4-(-2))^2+(-5-3)^2}=\sqrt{36+64}=10$ .

Zadatak 4: A(-3,4), O(0,0)

$d=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ .

Zadatak 5: A(3,6), B(-1,3)

$d=\sqrt{(-1-3)^2+(3-6)^2}=\sqrt{16+9}=5$ .

Zadaci za vežbu rastojanja između tačaka

Česta pitanja (FAQ)

Da li je rastojanje između (0,0) i (3,4) zaista 5?

Da. To je klasičan primer: $d=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .

Šta ako pod korenom dobijem broj koji nije savršen kvadrat?

Rezultat ostaje u obliku korena, npr. $\sqrt{13}$ , ili približno decimalno ako zadatak to traži.

Kako da najbrže prepoznam grešku?

Ako je rezultat „prevelik“ u odnosu na razlike koordinata ili ako si dobio negativno rastojanje, negde je greška. Rastojanje je uvek nenegativno.

Da li redosled tačaka menja rezultat?

Ne menja. $AB=BA$ jer se razlike kvadriraju.

Dodatno vežbanje

Za dodatnu praksu sa koordinatama pogledaj i lekcije pojam linearne funkcije i osobine linearne funkcije.

Mini izazovi (samoprovera)

Izračunaj rastojanje između $(2,1)$ i $(2,9)$ .
Izračunaj rastojanje između $(-4,-1)$ i $(2,7)$ .
Proveri da li je rastojanje između $(1,1)$ i $(4,5)$ jednako 5.

✍ Rešenja: 1) 8, 2) 10, 3) da, jer

\sqrt{3^2+4^2}=5

Samostalna provera zadataka sa koordinatama

Zaključak

Rastojanje između dve tačke u koordinatnom sistemu je direktna primena Pitagorine teoreme na trougao koji nacrtaš u mreži koordinata. Sve se svodi na četiri stvari: