Pojam linearne funkcije

Pojam linearne funkcije — matematička mašina koja predviđa stvari (8. razred)

Funkcija je alat kojim možeš da predvidiš šta će se desiti: račun za telefon, cenu vožnje taksijem, vreme puta i slične situacije iz života.

U ovoj lekciji važno je da razumeš uloge promenljivih $x$ i $y$, formulu $y=kx+n$ i kako da računaš vrednost funkcije za zadato $x$.

Povezano gradivo: Grafik linearne funkcije, Osobine linearne funkcije, Funkcija direktne proporcionalnosti, Grafik funkcije direktne proporcionalnosti.

Uvod u pojam linearne funkcije i predviđanje iz stvarnog života

Šta je uopšte funkcija? (mašina za mlevenje brojeva)

  1. U mašinu ubaciš broj $x$.
  2. Mašina uradi operaciju po pravilu.
  3. Dobiješ rezultat $y$.

Ključna ideja

Nezavisna promenljiva $x$ je ulaz, a zavisna promenljiva $y$ je izlaz koji zavisi od ulaza.

Matematički rečnik

$f(x)$ se čita „ef od iks“ i znači isto što i $y$.

Definicije koje moraš da znaš

  • $x$: nezavisna promenljiva (argument) — biraš je slobodno.
  • $y$: zavisna promenljiva (vrednost funkcije) — zavisi od $x$.
  • $f(x)$: isto što i $y$.
Kad vidiš $f(x)$, tretiraj to kao rezultat funkcije, isto kao $y$.
Definicije promenljivih x i y i oznaka f(x)

Glavna formula: $y=kx+n$

Svaka linearna funkcija može da se zapiše ovim oblikom.

$k$

Koeficijent pravca: govori koliko brzo funkcija raste ili pada.

$n$

Slobodni član: početna vrednost priče (start).

Negativni znaci

U $y=-2x-4$ važi $k=-2$ i $n=-4$.

Nule

$y=5x$ znači $n=0$, a $y=7$ znači $k=0$.

Formula linearne funkcije y jednako kx plus n sa objašnjenjem koeficijenata

Primer iz stvarnog života: vožnja taksijem

Start je 200 dinara, a svaki kilometar je 80 dinara.

Zato je funkcija:

$y=80x+200$

1. Za $x=5$: $y=80\cdot5+200=600$ din.
2. Za $x=10$: $y=80\cdot10+200=1000$ din.
Funkcija omogućava predviđanje računa pre vožnje.
Primer linearne funkcije kroz cenu vožnje taksijem

Kako da izračunaš $f(x)$ za dato $x$?

Bratova caka: zameniš $x$ zadatim brojem i izračunaš.

Primer: $f(x)=3x-5$ za $x=2$.

$f(2)=3\cdot2-5=6-5=1$

Ne preskači množenje: $3x$ znači $3\cdot x$.
Pravilo
Ubaci broj umesto x i izračunaj redom.

Kako znak i nula menjaju funkciju

Šta kada je $k>0$, a šta kada je $k<0$?

Ako je $k>0$, funkcija raste. Ako je $k<0$, funkcija pada.

Šta znači $y=5x$?

To znači da je $n=0$ (nema startne cene).

Šta znači $y=7$?

To znači da je $k=0$, pa se $x$ ne vidi u zapisu.

Uticaj koeficijenta k i slobodnog člana n na linearnu funkciju

Primer: račun za telefon

U materijalu je istaknuto da se linearna funkcija može primeniti i na račun za telefon.

Model iz objašnjenja: mesečna pretplata plus dodatni minuti.

$y=15x+1500$

  • $x=0$ → $y=1500$ din.
  • $x=10$ → $y=1650$ din.
Isti princip kao kod taksija: fiksni start + cena po jedinici.
Primer linearne funkcije kroz mesečni račun za telefon

Mini zadaci i primeri za vežbu

  1. Nađi $k$ i $n$ za $y=-2x-4$.
  2. Izračunaj $f(2)$ ako je $f(x)=3x-5$.
  3. Ako je funkcija taksija $y=80x+200$, koliki je račun za $x=7$ km?
  4. Prepoznaj nulu: šta znači zapis $y=5x$?
  5. Prepoznaj nulu: šta znači zapis $y=7$?
Rešenja pratiš po istom pravilu: zamena, račun, zaključak.
Zadaci za vežbu pojma linearne funkcije

Zaključak

Tema pojam linearne funkcije je postavljanje pravila: $y$ i $x$ komuniciraju preko $k$ i $n$ u formuli $y=kx+n$.

  • $f(x)$ i $y$ su ista stvar.
  • Za zadato $x$ samo ubaciš broj i izračunaš.
  • Minus znakovi i nule su česte zamke — čitaj ih pažljivo.

Sledeći korak: grafički prikaz ovih funkcija i uticaj promena $k$ i $n$.

Zaključak lekcije pojam linearne funkcije i prelaz na grafik