Osnovni stavovi o podudarnosti trouglova – stav SSS

Podudarnost trouglova: Stav SSS — šta je, kako radi i primeri (6. razred)

Gde si! Znam da ti geometrija ponekad deluje kao gomila nasumičnih linija i nepoznatih slova na tabli. Ali veruj mi, podudarnost trouglova — stav SSS za 6. razred je jedna od onih lekcija koja je toliko logična, da ćeš se oduševiti kad shvatiš foru.

Ajde da zajedno prođemo kroz ovo pravilo. Videćeš da je rešavanje ovih zadataka zapravo kao sklapanje slagalice. Kad jednom naučiš šta tačno treba da tražiš, sve se samo složi.

Pre ove lekcije podseti se uvoda u podudarnost trouglova, osnovnih konstrukcija trougla i elemenata trougla.
Stav SSS podudarnost trouglova 6. razred

Šta uopšte znači stav SSS?

Skraćenica SSS jednostavno znači Stranica – Stranica – Stranica.

Stav SSS
Ako jedan trougao ima sve tri stranice potpuno iste dužine kao neki drugi trougao, onda su ta dva trougla podudarna (potpuno ista).

Zamisli da ih isečeš iz papira i staviš jedan preko drugog — preklopili bi se savršeno, tako da ništa ne viri sa strane.

Najbolja stvar kod ovog pravila je što nam skraćuje posao! Uopšte ne moraš da proveravaš da li su im uglovi isti. Ako se sve tri stranice poklapaju, matematika nam garantuje da su i svi uglovi automatski isti.

SSS u jednoj rečenici

Tri stranice jednog = tri stranice drugog

→ Trouglovi su podudarni

→ Uglovi se NE proveravaju!

Zašto ovo pravilo važi?

Zamisli da ti dam tri drvena štapa: jedan dužine $3 \, \text{cm}$, drugi od $4 \, \text{cm}$ i treći od $5 \, \text{cm}$. Zamislimo sada da od njih na stolu sklopiš trougao.

Koji god oblik da pokušaš da napraviš od ta tri ista štapa, on će uvek izgledati potpuno identično.

Ne možeš da napraviš dva različita oblika ako su ti dužine ivica fiksirane!

Zato, čim nađeš dva trougla koja imaju tri iste stranice, znaš da su oni blizanci!

Ovo je najintuitivniji stav podudarnosti — tri fiksirana štapa daju samo jedan jedini oblik trougla. Uglovi se „zaključaju" automatski!
Zašto važi stav SSS — tri štapa

Primer 1: Dva odvojena trougla

Imaš $\triangle ABC$ i $\triangle MNP$. U tekstu zadatka ti piše:

$AB = 6 \, \text{cm}$, $BC = 8 \, \text{cm}$, $AC = 10 \, \text{cm}$

$MN = 6 \, \text{cm}$, $NP = 8 \, \text{cm}$, $MP = 10 \, \text{cm}$

Korak 1:  $AB = MN$ (jer su obe po $6 \, \text{cm}$)

Korak 2:  $BC = NP$ (obe su po $8 \, \text{cm}$)

Korak 3:  $AC = MP$ (obe su po $10 \, \text{cm}$)

Zaključak: Po stavu SSS → $\triangle ABC \cong \triangle MNP$

Primer 1 stav SSS dva odvojena trougla

Primer 2: Trouglovi koji se dodiruju (najčešći tip zadatka!)

Zamisli četvorougao $ABCD$ koji je presecen dijagonalom $AC$. Ta linija ga deli na dva trougla: $\triangle ABC$ i $\triangle ADC$. U zadatku piše: $AB = AD$ i $BC = DC$.

Korak 1:  $AB = AD$ (dato u zadatku)

Korak 2:  $BC = DC$ (dato u zadatku)

Korak 3:  $AC = AC$ (zajednička stranica!)

Zaključak: Po stavu SSS → $\triangle ABC \cong \triangle ADC$

Stranica $AC$ je ugrađena u oba trougla — oni je dele! Naravno da je jedna duž jednaka samoj sebi. To ti je „poklonjen poen" u zadatku!
Zajednička stranica

Dva trougla „zalepljena" jedan za drugi

→ traži liniju na kojoj se spajaju

→ ta linija je jednaka samoj sebi!

Bratov savet — traži zajedničku stranicu!

✍ Bratov savet: Kada dobiješ zadatak gde su dva trougla zalepljena jedan za drugi, odmah potraži tu liniju na kojoj se spajaju! Ta zajednička stranica je bukvalno poklonjen poen, jer uvek možeš da zapišeš da je jednaka samoj sebi (na primer $AC = AC$). To ti je jedna od one tri stvari koje moraš da pronađeš da bi dokazao podudarnost!

Zajedničku stranicu prepoznaćeš tako što ćeš obratiti pažnju na crtež i potražiti liniju na kojoj se dva trougla spajaju. Često se dešava da dužina ove stranice nije zadata u samom tekstu zadatka u obliku broja.

Kada je uočiš, u postupku rešavanja jednostavno zapišeš da je ta stranica jednaka samoj sebi. Ovo je najčešći razlog zašto učenici „ostanu bez treće stranice" — jednostavno zaborave da pogledaju crtež!

Bratov savet zajednička stranica SSS

Redosled slova — pazi kako pišeš!

Kada na kraju zapisuješ rešenje, redosled slova mora strogo da prati redosled stranica koje se poklapaju.

Primer: Dokazao si da se $AB$ poklapa sa $MN$, $BC$ sa $NP$ i $AC$ sa $MP$.

Teme $A \leftrightarrow M$, teme $B \leftrightarrow N$, teme $C \leftrightarrow P$

Tačno:  $\triangle ABC \cong \triangle MNP$ ✓

Netačno:  $\triangle ABC \cong \triangle PNM$ ✗

Mešanje redosleda slova je česta greška! Svako teme prvog trougla mora tačno da odgovara odgovarajućem temenu drugog trougla.
Trik
Napiši slova u kolonu:
$A \leftrightarrow M$
$B \leftrightarrow N$
$C \leftrightarrow P$
Odatle čitaš sve!

Primer 3: Pravougaonik i dijagonala

Dat je pravougaonik $ABCD$ i povučena dijagonala $BD$. Dokaži da su $\triangle ABD$ i $\triangle BCD$ podudarni.

Korak 1:  $AB = CD$ (naspramne stranice pravougaonika)

Korak 2:  $AD = BC$ (naspramne stranice pravougaonika)

Korak 3:  $BD = BD$ (zajednička dijagonala)

Zaključak: Po stavu SSS → $\triangle ABD \cong \triangle BCD$

Primer 3 pravougaonik dijagonala SSS

Primer 4: Tetive u krugu i poluprečnici

Dat je krug $K(O, r)$ i u njemu dve tetive jednakih dužina $AB$ i $MN$. Dokaži da su $\triangle AOB \cong \triangle MON$.

Korak 1:  $AB = MN$ (tetive jednakih dužina — dato)

Korak 2:  $OA = OM = r$ (poluprečnici istog kruga)

Korak 3:  $OB = ON = r$ (poluprečnici istog kruga)

Zaključak: Po stavu SSS → $\triangle AOB \cong \triangle MON$

Poluprečnici istog kruga su uvek jednaki — to je još jedan tip „poklonjenog poena", isto kao zajednička stranica!
Krug i SSS

Tetive jednake dužine → 1. par

Poluprečnici → 2. i 3. par

Tri para = SSS!

Primer 5: Duži koje se seku i međusobno polove

Duži $AB$ i $CD$ seku se u tački $S$ tako da je ta tačka središte za obe duži: $AS = BS$ i $CS = DS$. Dokaži da su $\triangle ASC \cong \triangle BSD$.

Korak 1:  $AS = BS$ (dato — $S$ je središte $AB$)

Korak 2:  $CS = DS$ (dato — $S$ je središte $CD$)

Korak 3:  $\angle ASC = \angle BSD$ (unakrsni uglovi)

Zaključak: Po stavu SUS → $\triangle ASC \cong \triangle BSD$

Ovaj zadatak koristi stav SUS, ne SSS! Prepoznaj da dve stranice i ugao između njih daju SUS. Ponekad zadaci mešaju stavove — uvek proveri šta imaš.
Primer 5 duži koje se polove SUS

Najčešće greške

Greška 1: Zaboravljanje zajedničke stranice

Dete često vidi da su samo dve stranice zadate u tekstu, i tu stane, jer ne piše broj za treću. Uvek dobro pogledaj crtež! Ako trouglovi dele zajednički „zid", taj zid je treća stranica koja ti rešava zadatak.

Greška 2: Mešanje redosleda slova

Ako si dokazao da se $AB$ poklapa sa $MN$, $BC$ sa $NP$ i $AC$ sa $MP$, onda moraš da napišeš $\triangle ABC \cong \triangle MNP$. Ako slučajno obrneš pa napišeš $\triangle ABC \cong \triangle PNM$, to je netačno!

Greška 3: Pokušaj primene SSS sa uglovima

SSS koristi samo stranice. Ako u dokazu pominješ uglove, to nije SSS — verovatno ti treba SUS ili USU. Proveri koje podatke imaš!

Greška 4: Ne proveriti nejednakost trougla

Pre konstrukcije sa tri stranice, proveri da zbir dve kraće stranice bude veći od najduže. Ako nije — trougao ne postoji!

Najčešće greške stav SSS

Rezime — šta treba da zapamtiš

1. SSS = Stranica – Stranica – Stranica. Ako su tri stranice jednog trougla jednake trima stranicama drugog → trouglovi su podudarni.

2. Uglove NE trebaš proveravati — oni su automatski jednaki.

3. Zajednička stranica je „poklonjen poen" — linija koja pripada oba trougla je jednaka samoj sebi.

4. Redosled slova u zapisu mora strogo da prati uparivanje temena.

5. SSS koristi SAMO stranice. Ako imaš uglove → koristi SUS ili USU.

SSS
Tri stranice jednog = tri stranice drugog
→ podudarni su!
Uglovi? Automatski isti.
Zajednička stranica? Poklonjen poen!

Zadaci 1–5

1. $\triangle ABC$: $AB = 6$, $BC = 8$, $AC = 10$ cm. $\triangle MNP$: $MN = 6$, $NP = 8$, $MP = 10$ cm. Podudarni?

$AB = MN = 6$, $BC = NP = 8$, $AC = MP = 10$ → po SSS: $\triangle ABC \cong \triangle MNP$.

2. Četvorougao $ABCD$, dijagonala $AC$, dato $AB = AD$, $BC = DC$. Dokaži podudarnost.

$AB = AD$ (dato), $BC = DC$ (dato), $AC = AC$ (zajednička) → SSS: $\triangle ABC \cong \triangle ADC$.

3. Pravougaonik $ABCD$, dijagonala $BD$. Dokaži $\triangle ABD \cong \triangle BCD$.

$AB = CD$ (naspramne strane), $AD = BC$ (naspramne strane), $BD = BD$ (zajednička) → SSS.

4. Krug $K(O,r)$, tetive $AB = MN$. Dokaži $\triangle AOB \cong \triangle MON$.

$AB = MN$ (dato), $OA = OM = r$, $OB = ON = r$ (poluprečnici) → SSS.

5. Jednakostranični $\triangle ABC$ ($a = 5$ cm) i $\triangle DEF$ ($d = 5$ cm). Podudarni?

Svi: $AB = BC = AC = DE = EF = DF = 5$ cm → SSS: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

Tipovi zadataka

Zad. 1: dva odvojena trougla

Zad. 2: zajednička stranica

Zad. 3: pravougaonik

Zad. 4: krug i poluprečnici

Zad. 5: jednakostranični

Zadaci 6–10

6. Kvadrat $ABCD$, $S$ središte stranice $CD$. Dokaži da je $\triangle ABS$ jednakokraki.

$AD = BC$ (stranice kvadrata), $DS = CS$ ($S$ je središte), $\angle D = \angle C = 90^\circ$ → po SUS: $\triangle ASD \cong \triangle BSC$ → $AS = BS$ → jednakokraki!

7. Jednakokraki $\triangle ABC$ ($AC = BC$), tačke $M$ na $AC$ i $N$ na $BC$, $MC = NC$. Dokaži $\triangle ACN \cong \triangle BCM$.

$AC = BC$ (kraci), $NC = MC$ (dato), $\angle C = \angle C$ (zajednički ugao) → po SUS: $\triangle ACN \cong \triangle BCM$.

8. Jednakokraki $\triangle ABC$ ($AC = BC$), $K$ i $L$ središta kraka. Dokaži $\triangle ABL \cong \triangle BAK$.

$AL = BK$ (polovine jednakih krakova), $AB = AB$ (zajednička), $\angle A = \angle B$ (uglovi na osnovici) → po SUS: $\triangle ABL \cong \triangle BAK$.

9. Duž $AB$, tačka $M$ na njenoj simetrali, $S$ presek simetrale i $AB$. Dokaži $MA = MB$.

$AS = BS$ ($S$ je središte), $\angle ASM = \angle BSM = 90^\circ$ (simetrala pada pod pravim uglom), $MS = MS$ (zajednička) → SUS: $\triangle ASM \cong \triangle BSM$ → $MA = MB$.

10. Ugao $\angle pOq$, $M$ na simetrali, $OC = OD$ na kracima. Dokaži $CM = DM$.

$OC = OD$ (dato), $\angle COM = \angle DOM$ (simetrala polovi ugao), $OM = OM$ (zajednička) → SUS: $\triangle COM \cong \triangle DOM$ → $CM = DM$.

Tipovi zadataka

Zad. 6: kvadrat + središte

Zad. 7: jednakokraki, tačke na kracima

Zad. 8: središta bočnih stranica

Zad. 9: simetrala duži

Zad. 10: simetrala ugla

Zaključak

Kao što vidiš, podudarnost trouglova — stav SSS za 6. razred je samo igra zapažanja u kojoj tražiš tri ista para stranica. Pronađi ih u tekstu ili na crtežu, zapiši ih jedno ispod drugog, pravilno poređaj slova na kraju i rešio si zadatak bez problema.

SSS formula uspeha
1. Pronađi tri para jednakih stranica
2. Zapiši ih (ne zaboravi zajedničku stranicu!)
3. Napiši zaključak sa pravilnim redosledom slova
Nema komplikovanih formula ni teškog računanja!

Kad primeniš ove fore, siguran sam da ćeš razbiti na sledećem testu!

Nastavi sa lekcijama: uvod u podudarnost, osnovne konstrukcije trougla, odnos stranica i uglova i spoljašnji uglovi trougla.

✍ Bratov savet: Kad dobiješ zadatak sa dva trougla, odmah zapiši šta su ti zadate stranice, pa traži zajedničku stranicu ili poluprečnike — to su „poklonjena" podudarnost!