Osnovne konstrukcije trougla

Osnovne konstrukcije trougla — pravila SSS, SUS i USU (6. razred)

Gde si! Znam da ti se možda diže kosa na glavi kad nastavnik kaže da izvadite šestar i lenjir. Crtanje ume da bude haos, papir se probuši od igle, a linije beže na sve strane.

Ali, osnovne konstrukcije trougla za 6. razred zapravo su kao slaganje lego kockica. Nema tu slobodne umetnosti, već imaš tačno tri načina po kojima se trougao sklapa.

  • SSS — tri stranice
  • SUS — dve stranice i ugao između njih
  • USU — dva ugla i stranica između njih
Pre ove lekcije podseti se konstrukcije uglova, elemenata trougla i nejednakosti trougla.
Osnovne konstrukcije trougla — SSS, SUS, USU za 6. razred

1. Pravilo SSS (Stranica – Stranica – Stranica)

Ovo je ubedljivo najlakša situacija. Dobiješ sve tri dužine stranica i tvoj posao je samo da ih spojiš.

SSS
Zadate su ti sve tri stranice: $a$, $b$ i $c$. Postoji samo jedan jedini trougao sa tim dužinama!

Zašto ovo radi? Ako imaš tri čvrsta štapa određenih dužina, postoji samo jedan jedini način da im spojiš krajeve i napraviš trougao.

Pre SSS konstrukcije proveri nejednakost trougla: zbir dve kraće stranice mora biti veći od najduže! Ako nije — trougao ne postoji.
Kad koristiti SSS?

Zadatak ti daje tri broja za dužine stranica.

Nema uglova u zadatku.

Primer: $a = 5$, $b = 4$, $c = 6$ cm

SSS — korak po korak

Primer: Konstruiši trougao sa $a = 5$ cm, $b = 4$ cm, $c = 6$ cm.

Korak 1: Nacrtaj polupravu, obeleži početak sa $A$.

Korak 2: Izmeri $c = 6$ cm šestarom, zabodi u $A$ i preseci polupravu → tačka $B$. Imaš donju stranicu!

Korak 3: Uzmi $b = 4$ cm u šestar, zabodi u $A$ i opali kružni luk gore.

Korak 4: Uzmi $a = 5$ cm u šestar, zabodi u $B$ i preseci onaj prvi luk.

Korak 5: Presek lukova = teme $C$. Spoji $AC$ i $BC$. Gotovo!

Konstrukcija trougla SSS — koraci

2. Pravilo SUS (Stranica – Ugao – Stranica)

Ovde su ti zadate dve stranice i ugao koji se nalazi tačno između njih. Zato se i zove Stranica-Ugao-Stranica, jer taj ugao spaja te dve linije.

SUS
Zadate su ti dve stranice i ugao IZMEĐU njih. Ugao mora biti baš onaj koji spaja te dve stranice!
Ugao $\alpha$ je kod temena $A$, između stranica $b$ i $c$. Pazi da ga ne staviš između pogrešnih stranica!
Kad koristiti SUS?

Imaš dve stranice + jedan ugao.

Ugao se nalazi IZMEĐU tih stranica.

Primer: $b = 4$, $c = 6$ cm, $\alpha = 60^\circ$

SUS — korak po korak

Primer:  $c = 6$ cm, $b = 4$ cm, $\alpha = 60^\circ$ (ugao $\alpha$ je između $b$ i $c$).

Korak 1: Poluprava iz $A$, šestarom nanesi $c = 6$ cm → teme $B$. To ti je osnova.

Korak 2: U tački $A$  konstruiši ugao od $60^\circ$ (jedno presecanje luka istim otvorom).

Korak 3: Povuci drugi krak ugla iz $A$ ukoso nagore.

Korak 4: Na tom kraku nanesi $b = 4$ cm šestarom → presek = teme $C$.

Korak 5: Spoji $C$ i $B$. Gotovo!

Konstrukcija trougla SUS — koraci

3. Pravilo USU (Ugao – Stranica – Ugao)

Treća sreća! Ovde imaš samo jednu jedinu stranicu, ali znaš oba ugla koja se nalaze na njenim krajevima. Znači, imaš osnovu i znaš pod kojim uglom polaze „krovovi" sa obe strane.

USU
Zadata je jedna stranica i dva ugla na njenim krajevima. Kraci uglova se preseku i daju treće teme!
Kad koristiti USU?

Imaš jednu stranicu + dva ugla.

Uglovi su na krajevima te stranice.

Primer: $c = 7$ cm, $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 60^\circ$

USU — korak po korak

Primer:  $c = 7$ cm, $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 60^\circ$.

Korak 1: Poluprava iz $A$, nanesi $c = 7$ cm → teme $B$.

Korak 2: U tački $A$ konstruiši ugao $\alpha = 45^\circ$. Krak ide nagore.

Korak 3: U tački $B$ konstruiši ugao $\beta = 60^\circ$. Pazi: ovaj ugao mora da gleda „unutra", ka prvom kraku!

Korak 4: Produži krake oba ugla dok se ne preseku → presek = teme $C$. Gotovo!

Konstrukcija trougla USU — koraci

Kako prepoznati koje pravilo koristiti?

3 stranice, 0 uglova

→ SSS

2 stranice + 1 ugao između

→ SUS

1 stranica + 2 ugla na krajevima

→ USU

Nacrtaj skicu, podebljaj šta ti je dato, i odmah ćeš videti koje pravilo imaš!

Brza provera

SSS = samo brojevi za dužine

SUS = ugao „zatvoren" između stranica

USU = stranica „zatvorena" između uglova

Bratov savet: Skica je pola posla!

Bratov savet
Pre nego što uopšte pipneš šestar, nacrtaj jedan mali, ružan trougao slobodnom rukom u ćošku papira!

Kako?

1. Nacrtaj mali trougao slobodnom rukom.

2. Obeleži temena sa $A, B, C$, stranice sa $a, b, c$, uglove sa $\alpha, \beta, \gamma$.

3. Debljom olovkom podebljaj ono što ti je dato u zadatku.

4. Na prvi pogled vidiš koje je pravilo — i tačno znaš gde šta ide!

Bratov savet — skica pre konstrukcije trougla

Zamka: Ugao na pogrešnom mestu!

Zamisli da dobiješ: stranice $a$ i $b$, i ugao $\alpha$. Izgleda kao SUS, zar ne?

PAZI! Ugao $\alpha$ je kod temena $A$, što znači da je on između stranica $b$ i $c$, a NE između $a$ i $b$!

Ovo je klasičan trik zadatak. Mnogi učenici zbrzaju i konstruišu ugao između pogrešnih stranica. Zato je skica apsolutno obavezna — ona će ti odmah pokazati gde se ugao zaista nalazi!

Zapamti parove

$\alpha$ kod $A$ → između $b$ i $c$

$\beta$ kod $B$ → između $a$ i $c$

$\gamma$ kod $C$ → između $a$ i $b$

Najčešće greške

Greška 1: SUS na pogrešnom mestu

Učenik dobije $a$, $b$ i ugao $\alpha$, pa konstruiše ugao između $a$ i $b$. Pogrešno! Ugao $\alpha$ je između $b$ i $c$.

Greška 2: Nejednakost trougla kod SSS

Nastavnik zada $a = 2$, $b = 3$, $c = 10$ cm. Učenik crta, a lukovi lebde u vazduhu! $2 + 3 = 5 < 10$ → ne postoji!

Uvek nacrtaj skicu i proveri nejednakost trougla pre nego što počneš da crtaš šestarom!
Najčešće greške kod konstrukcije trougla

Rezime: Tri pravila na jednom mestu

SSS

3 stranice → 2 kružna luka se seku

Proveri nejednakost!

SUS

2 stranice + ugao između → konstruiši ugao, nanesi dužinu

Proveri gde je ugao!

USU

1 stranica + 2 ugla na krajevima → kraci se seku

Uglovi gledaju „unutra"!

Uvek isto!

1. Nacrtaj skicu

2. Podebljaj podatke

3. Prepoznaj pravilo

4. Konstruiši korak po korak

Zadaci za vežbu sa rešenjima (1–5)

Klikni na zadatak da vidiš rešenje:

1. $a = 5$, $b = 4$, $c = 6$ cm. Koje pravilo?

Tri stranice, nema uglova → SSS. Provera: $4 + 5 = 9 > 6$ ✓

2. $b = 5$, $c = 7$ cm, $\alpha = 50^\circ$. Koje pravilo?

Ugao $\alpha$ je između $b$ i $c$ → SUS.

3. $c = 7$ cm, $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 60^\circ$. Koje pravilo?

Jedna stranica $c$ + dva ugla na njenim krajevima → USU.

4. $a = 2$, $b = 3$, $c = 10$ cm. Može li se konstruisati?

$2 + 3 = 5 < 10$ → NE može. Trougao ne postoji!

5. $a = 4$, $b = 5$ cm, $\alpha = 60^\circ$. Da li je ovo SUS?

Ne! Ugao $\alpha$ je između $b$ i $c$, a ne između $a$ i $b$. Ovo NIJE SUS jer nemamo $c$.

Zadaci za vežbu — konstrukcije trougla 1-5

Zadaci za vežbu sa rešenjima (6–10)

6. Konstruiši trougao $a = 7$, $b = 5$, $c = 8$ cm. Koji korak je prvi?

SSS. Provera: $5 + 7 = 12 > 8$ ✓. Prvi korak: nacrtaj $c = 8$ cm (najduža).

7. $a = 6$, $c = 5$ cm, $\beta = 45^\circ$. Koje pravilo?

$\beta$ kod $B$ → između $a$ i $c$. Imamo obe stranice → SUS!

8. $a = 6$ cm, $\beta = 40^\circ$, $\gamma = 70^\circ$. Koje pravilo?

Stranica $a$ leži između temena $B$ i $C$. Uglovi $\beta$ i $\gamma$ su na krajevima $a$ → USU!

9. $a = 3$, $b = 4$, $c = 7$ cm. Može li se konstruisati?

$3 + 4 = 7$ — jednako, ne veće! → NE može (leži na pravoj liniji).

10. Konstruiši jednakostranični trougao stranice $5$ cm. Koje pravilo?

$a = b = c = 5$ cm → SSS. Otvor šestara = 5 cm, iz oba temena lukovi se seku → teme $C$.

Tipovi zadataka

Zad. 6: SSS sa najdužom stranicom

Zad. 7: SUS prepoznavanje

Zad. 8: USU sa stranicom $a$

Zad. 9: nejednakost — jednako

Zad. 10: jednakostranični

Zaključak

Kao što vidiš, osnovne konstrukcije trougla za 6. razred nisu nikakva teška nauka. Uvek počinješ od jedne stranice koja ti služi kao temelj, a onda pomoću uglova i preostalih dužina nalaziš gde će se tačke sudariti.

Tri pravila
SSS = tri stranice → lukovi se seku
SUS = dve stranice + ugao između → konstruiši ugao, nanesi dužinu
USU = dva ugla + stranica između → kraci se seku

Da proverim da li smo na istoj talasnoj dužini: ako u zadatku dobiješ podatke da su stranice $b = 5$ cm, $c = 7$ cm i ugao $\alpha = 50^\circ$, koje pravilo ćeš iskoristiti?

Nastavi sa lekcijama: konstrukcija uglova, odnos stranica i uglova i elementi trougla.

✍ Bratov savet: Skica je pola posla! Nacrtaj mali trougao, podebljaj podatke i odmah ćeš znati koje pravilo koristiš.