Odnos stranica i uglova u jednakokrakom trouglu

Odnos stranica i uglova u jednakokrakom trouglu (6. razred)

Upadaj! Danas rešavamo odnos stranica i uglova u jednakokrakom trouglu za 6. razred. Znam da ti ovo možda zvuči kao još jedna dosadna definicija koju moraš da učiš napamet, ali veruj mi, ovo je bukvalno najzahvalniji trougao za računanje čim shvatiš njegovu glavnu tajnu.

On ti je kao slika u ogledalu — leva i desna strana su mu potpuno iste.

  • Naučićeš šta su krakovi, a šta osnovica
  • Zapamtićeš zlatno pravilo za uglove
  • Dobićeš caku za brzo računanje iz glave
Pre ove lekcije podseti se elemenata i obeležavanja trougla i vrsta trouglova prema stranicama.
Jednakokraki trougao — odnos stranica i uglova za 6. razred

Šta je jednakokraki trougao i ko je tu ko?

Da bismo razumeli odnos stranica i uglova u jednakokrakom trouglu, prvo moramo da mu damo imena. Ovaj trougao ima dve stranice koje su potpuno jednake dužine.

Krakovi ($b$)

Te dve iste stranice zovemo krakovi. Najčešće ih obeležavamo slovom $b$.

Osnovica ($a$)

Ona treća stranica, na kojoj trougao „sedi" i koja je drugačija od krakova, zove se osnovica.

Krakovi i osnovica jednakokrakog trougla

Uglovi jednakokrakog trougla

Isto kao stranice, delimo i njegove unutrašnje uglove:

Ugao pri vrhu ($\alpha$)

Nalazi se tačno na vrhu, tamo gde se spajaju dva kraka. Samo je jedan.

Uglovi na osnovici ($\beta$)

Dva ugla koja leže dole, na krajevima osnovice. Uvek su jednaki!

Zapamti: Ugao pri vrhu ($\alpha$) je samo jedan i nikada se ne množi. Uglovi na osnovici ($\beta$) su „blizanci" — uvek ih ima dva ista.

Ko je ko?

Vrh: $\alpha$ (1 ugao)

Osnovica: $\beta$ (2 ista ugla)

Krakovi: $b = b$

Osnovica: $a$

Zlatno pravilo: Isti krakovi traže iste uglove

Evo zašto je jednakokraki trougao toliko lak! Glavno pravilo geometrije kaže: naspram jednakih stranica uvek se nalaze jednaki uglovi.

Pošto naš trougao ima dva ista kraka ($b = b$), to znači da uglovi koji gledaju u te krakove moraju biti potpuno isti. A to su upravo naši uglovi na osnovici!

Zlatno pravilo
Uglovi na osnovici su uvek jednaki!

Pošto već znamo da je ukupan zbir unutrašnjih uglova u svakom trouglu tačno $180^\circ$, formula za jednakokraki trougao izgleda ovako:

$\alpha + 2 \cdot \beta = 180^\circ$

Zašto baš tako?

Trougao kao ogledalo: leva i desna strana su iste.

Isti krakovi → isti uglovi na osnovici.

Da nisu isti — trougao bi se „prevrnuo"!

Primer 1: Kad znaš ugao pri vrhu

U zadatku ti piše da je ugao pri vrhu jednakokrakog trougla $\alpha = 40^\circ$. Koliki su uglovi na osnovici ($\beta$)?

Korak 1: Znamo formulu: $\alpha + 2 \cdot \beta = 180^\circ$

Korak 2: Ubacimo naš broj: $40^\circ + 2 \cdot \beta = 180^\circ$

Korak 3: Prebacimo: $2 \cdot \beta = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

Korak 4: Podelimo sa 2: $\beta = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$

Rešenje: Oba ugla na osnovici su po $70^\circ$!

Primer 1 — ugao pri vrhu jednakokrakog trougla

Primer 2: Kad znaš ugao na osnovici

Zadato je da ugao na osnovici iznosi $\beta = 55^\circ$. Koliki je ugao pri vrhu ($\alpha$)?

Korak 1: Koristimo istu formulu: $\alpha + 2 \cdot \beta = 180^\circ$

Korak 2: Ubacimo $\beta$: $\alpha + 2 \cdot 55^\circ = 180^\circ$

Korak 3: Pomnožimo: $\alpha + 110^\circ = 180^\circ$

Korak 4: Oduzmemo: $\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Rešenje:  $\alpha = 70^\circ$

✍ Provera:  $70^\circ + 55^\circ + 55^\circ = 180^\circ$ ✓ Tačno!

Bratov savet: Caka za računanje iz glave

Bratov savet
Ako hoćeš da rešavaš ovo iz glave kao mašina, zapamti ovu caku!

Dat gornji ugao ($\alpha$)

Oduzmi ga od $180^\circ$ i ono što ostane preseci napola.

$\beta = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$

Dat donji ugao ($\beta$)

Pomnoži ga sa $2$ i to oduzmi od $180^\circ$. Rešeno!

$\alpha = 180^\circ - 2 \cdot \beta$

Bratov savet — caka za jednakokraki trougao

Spoljašnji ugao kod jednakokrakog trougla

Već si naučio da je spoljašnji ugao trougla jednak zbiru dva unutrašnja ugla koja mu nisu susedna. Kod jednakokrakog trougla ovo postaje još lakše!

Primer: Spoljašnji ugao na osnovici je $150^\circ$. Odredi unutrašnje uglove.

Unutrašnji na osnovici: $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Oba ugla na osnovici: po $30^\circ$ (jednaki su!)

Ugao pri vrhu: $180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$

Spoljašnji uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su takođe jednaki — jer su im susedni unutrašnji uglovi jednaki!
Veza sa spoljašnjim

Unutrašnji + spoljašnji = $180^\circ$

Spoljašnji na osnovici su jednaki

Spoljašnji pri vrhu = $2\beta$

Šta kad je jedan ugao tup?

Ako ti zadatak kaže da je jedan unutrašnji ugao jednakokrakog trougla veći od $90^\circ$, odmah znaš gde se nalazi!

Pravilo za tup ugao
Tup ugao u jednakokrakom trouglu može biti SAMO ugao pri vrhu. Uglovi na osnovici su uvek oštri.

Primer: Jedan ugao je $104^\circ$. To mora biti ugao pri vrhu!

$\beta = \frac{180^\circ - 104^\circ}{2} = \frac{76^\circ}{2} = 38^\circ$

Uglovi: $104^\circ, 38^\circ, 38^\circ$

Zašto uglovi na osnovici ne mogu biti tupi? Zato što ih ima dva — i da su oba veća od $90^\circ$, zbir bi bio veći od $180^\circ$, a to je nemoguće!

Pazi zamku: Dva moguća rešenja!

Ako zadatak kaže „Dva unutrašnja ugla trougla su jednaka, a treći iznosi $52^\circ$" — postoje dva moguća odgovora!

Opcija 1: $52^\circ$ je pri vrhu

$\beta = \frac{180^\circ - 52^\circ}{2} = 64^\circ$

Uglovi: $52^\circ, 64^\circ, 64^\circ$

Opcija 2: $52^\circ$ je na osnovici

$\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 52^\circ = 76^\circ$

Uglovi: $76^\circ, 52^\circ, 52^\circ$

Kad zadatak ne kaže precizno koji je ugao, uvek proveri obe opcije! Ako je dati ugao tup ($> 90^\circ$), postoji samo jedno rešenje — to mora biti ugao pri vrhu.
Dva moguća rešenja za jednakokraki trougao

Najčešće greške

Greška 1: Množenje pogrešnog ugla sa 2

Učenici u brzini napišu $2 \cdot \alpha + \beta = 180^\circ$. Pogrešno!

Ugao pri vrhu ($\alpha$) je samo jedan. Uvek množiš $\beta$ sa 2!

Greška 2: Jednakostranični umesto jednakokrakog

Neki pomisle „ima jednake uglove, znači svi su po $60^\circ$". Ne!

To važi samo za jednakostranični trougao. Kod jednakokrakog su jednaka samo dva donja ugla.

Zapamti: $\alpha$ se NIKADA ne množi sa 2. Samo $\beta$ se množi jer ih ima dva!
Najčešće greške kod jednakokrakog trougla

Rezime: Sva pravila na jednom mestu

Stranice

Krakovi: $b = b$ (iste)

Osnovica: $a$ (drugačija)

Uglovi

Pri vrhu: $\alpha$ (samo jedan)

Na osnovici: $\beta = \beta$ (isti)

Formula

$\alpha + 2\beta = 180^\circ$

Naspram jednakih stranica → jednaki uglovi

Brza caka

Dat $\alpha$? → $\beta = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$

Dat $\beta$? → $\alpha = 180^\circ - 2\beta$

Zadaci za vežbu sa rešenjima (1–5)

Klikni na zadatak da vidiš rešenje:

1. Ugao pri vrhu $\alpha = 40^\circ$. Izračunaj $\beta$.

$\beta = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$

2. Ugao na osnovici $\beta = 55^\circ$. Izračunaj $\alpha$.

$\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 55^\circ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

3. Spoljašnji ugao na osnovici je $150^\circ$. Odredi sve unutrašnje uglove.

$\beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$

Uglovi: $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$

4. Uglovi $12^\circ$ i $156^\circ$. Da li je jednakokraki?

Treći ugao: $180^\circ - 12^\circ - 156^\circ = 12^\circ$

Dva ugla su ista ($12^\circ$) → Da, jednakokraki!

5. Ugao na osnovici je 4 puta veći od ugla pri vrhu. Odredi uglove.

$\beta = 4\alpha$, pa $\alpha + 2 \cdot 4\alpha = 180^\circ$

$9\alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 20^\circ$, $\beta = 80^\circ$

Uglovi: $20^\circ, 80^\circ, 80^\circ$

Zadaci za vežbu — jednakokraki trougao 1-5

Zadaci za vežbu sa rešenjima (6–10)

6. Ugao pri vrhu je 3 puta veći od ugla na osnovici. Odredi uglove.

$\alpha = 3\beta$, pa $3\beta + 2\beta = 180^\circ$

$5\beta = 180^\circ \Rightarrow \beta = 36^\circ$, $\alpha = 108^\circ$

Uglovi: $108^\circ, 36^\circ, 36^\circ$

7. Jedan ugao je $104^\circ$. Odredi ostale uglove.

$104^\circ > 90^\circ$ → tup, mora biti pri vrhu.

$\beta = \frac{180^\circ - 104^\circ}{2} = 38^\circ$

Uglovi: $104^\circ, 38^\circ, 38^\circ$

8. Dva jednaka ugla, treći je $52^\circ$. Oba rešenja?

Opcija 1:  $52^\circ$ pri vrhu → $\beta = 64^\circ$. Uglovi: $52^\circ, 64^\circ, 64^\circ$

Opcija 2:  $52^\circ$ na osnovici → $\alpha = 76^\circ$. Uglovi: $76^\circ, 52^\circ, 52^\circ$

9. Jedan ugao je $96^\circ$. Odredi preostale uglove.

Tup ugao → pri vrhu. $\beta = \frac{180^\circ - 96^\circ}{2} = 42^\circ$

Uglovi: $96^\circ, 42^\circ, 42^\circ$

10. Simetrale uglova na osnovici se seku pod uglom $140^\circ$. Koliki je $\alpha$?

Mali trougao: $\frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} + 140^\circ = 180^\circ$

$\beta = 40^\circ$, pa $\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 40^\circ = 100^\circ$

Tipovi zadataka

Zad. 6: odnos uglova

Zad. 7, 9: tup ugao

Zad. 8: dva rešenja

Zad. 10: simetrale

Zaključak

To je cela priča kada je u pitanju odnos stranica i uglova u jednakokrakom trouglu. Samo zapamti da su mu „noge" (krakovi) iste dužine, pa zato i uglovi na kojima stoji (na osnovici) moraju biti potpuno isti, inače bi se prevrnuo!

Zapamti
$b = b \Rightarrow \beta = \beta$ — isti krakovi = isti uglovi na osnovici

Da proverimo da li smo se dobro razumeli: ako ti kažem da je ugao na osnovici jednakokrakog trougla $\beta = 50^\circ$, možeš li, koristeći onu moju caku, na brzinu da izračunaš koliki je ugao pri vrhu $\alpha$?

Nastavi sa lekcijama: spoljašnji uglovi trougla i elementi i obeležavanje trougla.

✍ Bratov savet: Jednakokraki je „trougao u ogledalu" — sve što važi za levu stranu, važi i za desnu. To ti je jedino pravilo koje moraš da zapamtiš!