Odnos stranica trougla. Vrste trouglova prema stranicama

Odnos stranica trougla i vrste prema stranicama (6. razred)

Gde si! Misliš da je pravljenje trougla prosta stvar — uzmeš bilo koja tri štapa, spojiš im krajeve i eto ga? E, pa matematika kaže da to baš i ne ide tako.

Ne možeš od bilo koje tri duži da napraviš trougao, a kada učimo odnos stranica trougla za 6. razred, zapravo učimo pravila igre koja nam govore šta može da se spoji, a šta ne.

  • Naučićeš nejednakost trougla — pravilo koje odlučuje da li trougao uopšte postoji
  • Upoznaćeš tri vrste trouglova prema stranicama
  • Dobićeš caku za brzu proveru i 10 zadataka
Pre ove lekcije podseti se elemenata i obeležavanja trougla — temena, stranica i uglova.
Odnos stranica trougla — uvod za 6. razred

Nejednakost trougla — da li se stranice uopšte dodiruju?

Da bi tri duži uopšte mogle da formiraju trougao, mora da važi jedno strogo pravilo:

Nejednakost trougla
Zbir bilo koje dve stranice trougla mora uvek biti STROGO veći od treće stranice.

Zamisli jednu baš dugačku dasku i dve jako kratke. Ako te dve kratke staviš na krajeve dugačke i pokušaš da im spojiš vrhove — neće da se dohvate! Zato one zajedno moraju biti duže od najveće daske.

Matematički, za trougao sa stranicama $a$, $b$ i $c$:

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

Zapamti!

Zbir dve kraće > najduža

Ako nije → trougao NE postoji!

Ako je jednako → prava linija!

Primer 1: Možemo li da nacrtamo ovaj trougao?

Duži:  $a = 3$ cm, $b = 4$ cm, $c = 6$ cm.

$3 + 4 = 7 > 6$ ✓

$4 + 6 = 10 > 3$ ✓

$3 + 6 = 9 > 4$ ✓

Sve tri nejednakosti važe — trougao može da se napravi!

Dovoljno je bilo proveriti samo dve najkraće: $3 + 4 = 7 > 6$ ✓ — ostale sigurno važe!
Primer — trougao sa stranicama 3, 4 i 6 cm

Primer 2: A šta je sa ovim društvom?

Duži:  $a = 2$ cm, $b = 3$ cm, $c = 8$ cm.

Da li je $2 + 3 > 8$?

$5 < 8$ ✗ — NIJE!

Rešenje: Ove tri duži ne mogu da naprave trougao! Kratke stranice neće moći da se dodirnu.

Čim zbir dve najkraće stranice NIJE veći od najduže, trougao ne postoji. Ne treba dalje proveravati!
Pažnja!

Zbir = treća → prava linija

Zbir < treća → ne postoji

Zbir > treća → trougao postoji!

Bratov savet: Caka za kontrolni!

Kad dobiješ zadatak da proveriš da li od tri duži može da se napravi trougao, ne moraš da proveravaš sve tri formule!

Brza caka
Pronađi dve NAJKRAĆE stranice i saberi ih. Ako je njihov zbir veći od najduže — trougao postoji!

Primer: Stranice $4$ cm, $5$ cm i $10$ cm.

Dve najkraće: $4 + 5 = 9$. Pošto je $9 < 10$, odmah znaš da trougao nije moguć!

Ova caka štedi vreme na kontrolnom — umesto tri provere, radiš samo jednu!
Bratov savet — brza caka za nejednakost trougla

Vrste trouglova prema stranicama

Kada smo sigurni da trougao može da postoji, možemo da mu damo ime na osnovu toga kakve su mu dužine stranica. Postoje tačno tri vrste.

1. Raznostranični trougao

Kao što mu ime kaže, sve stranice su mu različite dužine. Nema istih!

Pravilo:  $a \neq b \neq c$

Primer:  $a = 4$ cm, $b = 5$ cm, $c = 7$ cm

Raznostranični = sve tri različite. Ni dve stranice nisu jednake.
Raznostranični

$a \neq b \neq c$

Sve tri stranice različite

Svi uglovi različiti

2. Jednakokraki trougao

Ima tačno dve stranice koje su potpuno jednake dužine. Te dve jednake zovemo krakovi, a onu treću (koja je drugačija) zovemo osnovica.

Pravilo:  $a = b \neq c$ (ako su $a$ i $b$ krakovi)

Primer:  $a = 5$ cm, $b = 5$ cm, $c = 3$ cm

☝
Krakovi

Dve jednake stranice — kao tvoje dve ruke (iste dužine)!

╯
Osnovica

Treća stranica — kao pod na kom stojiš!

Uglovi na osnovici (pri krajevima krakova) su uvek međusobno jednaki!
Jednakokraki trougao — krakovi i osnovica

3. Jednakostranični trougao

Ovo je savršen trougao! Sve tri stranice su mu potpuno iste dužine.

Pravilo:  $a = b = c$

Primer:  $a = 6$ cm, $b = 6$ cm, $c = 6$ cm

Bonus: Pošto su sve stranice jednake, svi uglovi su takođe jednaki!

$\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$

Jednakostranični je zapravo i jednakokraki (jer ima 2 iste stranice), samo još i treća je ista!

Savršen trougao

$a = b = c$

$\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$

Sve jednako!

Sve tri vrste na jednom mestu

△
Raznostranični

$a \neq b \neq c$
Sve tri različite

△
Jednakokraki

$a = b \neq c$
Dva kraka + osnovica

△
Jednakostranični

$a = b = c$
Sve tri iste, uglovi $60^\circ$

Pogledaj stranice — ako su sve različite, raznostranični; ako su dve iste, jednakokraki; ako su sve iste, jednakostranični!
Tri vrste trouglova prema stranicama uporedo

Pažnja: Kad je zbir JEDNAK trećoj stranici

Primer: Stranice $3$ cm, $4$ cm, $7$ cm.

$3 + 4 = 7$

Zbir je jednak, a ne veći — trougao NE postoji!

Ako je zbir tačno jednak trećoj stranici, te dve kratke stranice će samo „leći" na dugačku i dobićeš običnu pravu liniju, a ne trougao.

Zbir mora biti STROGO veći (znak >), a ne veći ili jednak (≥). Ovo je česta zamka na kontrolnom!
Česta zamka!

$3 + 4 = 7$

Jednako → prava linija

Trougao NE postoji!

Najčešće greške

Greška 1: Zbir jednak trećoj stranici

Neko dobije stranice $3, 4, 7$. Vidi da je $3 + 4 = 7$ i pomisli „super, to je to". Greška!

Zbir mora biti strogo veći. Ako je jednak, to je prava linija, ne trougao.

Greška 2: Mešanje kraka i osnovice

Kod jednakokrakog trougla deca često zaborave ko je ko.

Krakovi = dve jednake stranice (kao tvoje ruke). Osnovica = treća, drugačija (kao pod).

Greška 3: Ne proveravaju nejednakost

Učenik odmah krene da crta trougao bez provere da li može da postoji.

Uvek prvo proveri: zbir dve najkraće > najduža!

Prvo proveri da li trougao postoji, pa tek onda odredi vrstu!
Najčešće greške — odnos stranica trougla

Kako odrediti moguću treću stranicu?

Ako znaš dve stranice, treća mora biti u određenom rasponu:

Formula za raspon
$|a - b| < c < a + b$

Primer:  $a = 6{,}2$ cm, $b = 3{,}8$ cm. Kolika može biti $c$?

$6{,}2 - 3{,}8 = 2{,}4 < c < 6{,}2 + 3{,}8 = 10$

Ako $c$ mora biti ceo broj: $c \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

✍ Podsetnik: Razlika dvaju stranica < treća < zbir dvaju stranica. Uvek strogo!

Zadaci za vežbu sa rešenjima (1–5)

Klikni na zadatak da vidiš rešenje:

1. Da li od duži $3, 6, 9$ cm može trougao?

$3 + 6 = 9$. Zbir je jednak, ne veći → NE može (prava linija).

2. Da li od duži $3, 4, 6$ cm može trougao?

$3 + 4 = 7 > 6$ ✓ → MOŽE. Vrsta: raznostranični.

3. Odredi vrstu: $6, 5, 4$ cm.

Sve tri različite ($4 \neq 5 \neq 6$) → raznostranični.

4. Odredi vrstu: $8, 4, 8$ cm.

Dve jednake ($8 = 8$) → jednakokraki. Krakovi: $8$ cm, osnovica: $4$ cm.

5. Da li od $7, 7, 7$ cm postoji trougao? Koje je vrste?

$7 + 7 = 14 > 7$ ✓ → postoji. Sve tri jednake → jednakostranični.

Zadaci za vežbu — odnos stranica trougla 1-5

Zadaci za vežbu sa rešenjima (6–10)

6. Jednakokraki sa stranicama $5$ i $2$ cm. Treća stranica?

Opcija $2$ cm: stranice $2, 2, 5$. Provera: $2 + 2 = 4 < 5$ ✗ → ne može!

Opcija $5$ cm: stranice $2, 5, 5$. Provera: $2 + 5 = 7 > 5$ ✓ → treća je 5 cm.

7. Obim jednakokrakog sa stranicama $2$ i $5$ cm?

Iz zadatka 6: treća stranica je $5$ cm.

$O = 2 + 5 + 5 = 12$ cm

8. $a = 6{,}2$, $b = 3{,}8$ cm. Celobrojne vrednosti za $c$?

$2{,}4 < c < 10$

Celobrojne: $c \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

9. Stranice $28$ i $42$ cm, treća je duplo kraća od jedne. Kolika?

Opcija $14$ cm ($28 : 2$): $14 + 28 = 42$ → jednako, ne veće ✗

Opcija $21$ cm ($42 : 2$): $21 + 28 = 49 > 42$ ✓ → 21 cm

10. $O = 19$ cm, $c = 7$ cm. Sve celobrojne kombinacije za $a$ i $b$?

$a + b = 12$. Nejednakost: svaka stranica < zbir druge dve.

(1,11) ✗, (2,10) ✗. Validni: (3,9), (4,8), (5,7), (6,6)

Tipovi zadataka

Zad. 6-7: jednakokraki + nejednakost

Zad. 8: raspon treće stranice

Zad. 9: treća stranica iz uslova

Zad. 10: sve kombinacije

Zaključak

Sada znaš kako funkcioniše odnos stranica trougla za 6. razred i da ne možeš samo da nabacaš bilo koje brojeve na papir.

Dva koraka
1. Proveri nejednakost (zbir dve najkraće > najduža)
2. Odredi vrstu (raznostranični, jednakokraki ili jednakostranični)

Zapamti caku za kontrolni — saberi dve najkraće i uporedi sa najdužom! Nastavi sa lekcijom elementi i obeležavanje trougla ako ti treba podsetnik.

Brza provera

$5, 5, 11$ cm

$5 + 5 = 10 < 11$

Ne može se napraviti trougao!

✍ Bratov savet: Na kontrolnom prvo saberi dve najkraće stranice. Ako nije veće od najduže — odmah zaokruži „ne postoji" i idi dalje!