Jednačine u vezi s množenjem i deljenjem

Jednačine sa množenjem i deljenjem

Sledeći nivo: puta, podeljeno i slovo x

Ćao! Preživeli smo sabiranje i oduzimanje, pa je vreme da pređemo na sledeći nivo. Znam da jednačine sa množenjem i deljenjem za 6. razred na prvi pogled deluju strašno. Kad se u istom zadatku nađu slovo $x$, razlomak, decimalni broj i gomila minusa, mozak prosto želi da odustane.

Ali opusti se. Kao i kod svake igrice, i ovde postoje jasna pravila. Caka je u tome da prepoznaš koja ti od tri stvari fali i onda upotrebiš odgovarajuću operaciju. Ova lekcija se prirodno naslanja na jednačine u vezi sa sabiranjem i oduzimanjem, a pripada gradivu matematike za šesti razred i šire matematike za osnovnu školu.

  • Nepoznati činilac: rezultat deliš poznatim brojem.
  • Nepoznati deljenik: rezultat množiš poznatim brojem.
  • Nepoznati delilac: prvi broj deliš rezultatom.
  • Minus nikada ne nestaje sam od sebe.
Za ovu lekciju ti posebno pomažu množenje racionalnih brojeva u decimalnom zapisu, množenje u zapisu a/b i deljenje racionalnih brojeva u decimalnom zapisu.
Uvod u jednačine sa množenjem i deljenjem za šesti razred

Kako da znaš da li množiš ili deliš

Tri situacije, tri kratka pravila

x·
Nepoznati činilac

Ako se $x$ množi nekim brojem, proizvod deliš poznatim činiocem.

x:
Nepoznati deljenik

Ako fali prvi broj u deljenju, količnik množiš deliocem.

:x
Nepoznati delilac

Ako fali broj iza znaka podeljeno, prvi broj deliš rezultatom.

Važna nijansa: kod nepoznatog delioca ne prelaziš na množenje. Tu i dalje ostaje deljenje.

Mini mapa

$x \cdot a = b \Rightarrow x = b : a$

$x : a = b \Rightarrow x = b \cdot a$

$a : x = b \Rightarrow x = a : b$

Nepoznati činilac

Kad fali broj u množenju

Ovo je najčešća i najlakša situacija. Kada se tvoje $x$ množi nekim brojem, pravilo kaže: nepoznati činilac dobijaš tako što rezultat podeliš onim poznatim brojem.

Opšti zapis je $x \cdot a = b \Rightarrow x = b : a$.

Zašto to važi? Zato što je deljenje suprotna operacija množenju. Ako znaš da je $2 \cdot 3 = 6$, do trojke se vraćaš tako što $6 : 2 = 3$.

Kod ovog tipa jednačine menjaš samo operaciju: iz puta prelaziš u deljenje.
Objašnjenje nepoznatog činioca u jednačini

Primer nepoznatog činioca

Korak po korak: $x \cdot (-0.5) = 2$

  1. Prepoznaješ da je $x$ činilac.
  2. Primeniš pravilo: $x = 2 : (-0.5)$.
  3. Da bi lakše delio decimalni broj, pomeriš zarez za jedno mesto udesno kod oba broja: $x = 20 : (-5)$.
  4. Plus podeljeno minusom daje minus, pa je $x = -4$.
Brza provera

Uvrsti $-4$ nazad: $-4 \cdot (-0.5) = 2$.

Primer jednačine sa nepoznatim činiocem i decimalnim brojem

Nepoznati deljenik

Kad fali onaj prvi, najveći broj

Ako ti fali prvi broj u deljenju, pravilo glasi: nepoznati deljenik dobijaš tako što količnik pomnožiš poznatim brojem, odnosno deliocem.

Opšti zapis je $x : a = b \Rightarrow x = b \cdot a$.

Zamisli da si podelio picu na $4$ drugara i svako je dobio po $2$ parčeta. Koliko je parčića bilo na početku? Množiš: $4 \cdot 2 = 8$.

Ako fali prvi broj u deljenju, množenje je tvoj povratak unazad.
Šifra
Kod nepoznatog deljenika pitanje je: koliko je bilo pre deljenja? Zato množiš.

Primer nepoznatog deljenika

Korak po korak: $x : \frac{2}{3} = -\frac{1}{4}$

  1. Ovde fali prvi broj u deljenju, dakle deljenik.
  2. Primeniš pravilo: $x = -\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}$.
  3. Minus i plus daju minus.
  4. Možeš odmah da skratiš $2$ i $4$, pa ostaju $1$ i $2$.
  5. Dobijaš $x = -\frac{1}{6}$.

Za ovakve zadatke koristiš isto znanje kao u lekcijama množenje racionalnih brojeva u zapisu a/b i množenje razlomaka.

Primer jednačine sa nepoznatim deljenikom i razlomcima

Nepoznati delilac

Ovo je onaj nezgodan slučaj

Ako ti fali broj iza znaka podeljeno, pravilo glasi: nepoznati delilac dobijaš tako što prvi broj podeliš rezultatom.

Opšti zapis je $a : x = b \Rightarrow x = a : b$.

Zašto je ovo nezgodno? Zato što mnogi automatski pokušaju da pišu množenje. Ne smeš. Ovde se ne prelazi na suprotnu operaciju, nego i dalje deliš.

Kad je $x$ iza znaka podeljeno, ne zaboravi da računaš prvi broj : rezultat.

Najkraće moguće

$10 : x = 2$

Fali ti broj $5$, jer je $10 : 5 = 2$.

Primer nepoznatog delioca

Korak po korak: $-1.2 : x = 0.3$

  1. Prepoznaješ da je $x$ delilac, jer stoji iza znaka podeljeno.
  2. Primeniš pravilo: $x = -1.2 : 0.3$.
  3. Pomeranjem zareza dobijaš $x = -12 : 3$.
  4. Minus podeljen plusom daje minus, pa je $x = -4$.
Ovo je dobar podsetnik da $x$ sasvim normalno može da ispadne negativna. To nije greška, nego regularan rezultat.
Primer jednačine sa nepoznatim deliocem i decimalnim brojevima

Trik sa prostim brojevima za nepoznati delilac

Kad zablokiraš, idi na mali primer

Ako na kontrolnom ne možeš da se setiš pravila za nepoznati delilac, napiši sa strane nešto prosto: $6 : 2 = 3$.

  1. Posmatraj jednačinu oblika $A : x = B$.
  2. U prostom primeru fali ti broj $2$.
  3. Gledaj samo preostale brojeve: $6$ i $3$.
  4. Šta treba da uradiš sa njima da dobiješ $2$? Moraš $6 : 3 = 2$.
  5. Zato u pravom zadatku radiš $x = A : B$.
Ovaj trik radi zato što mozak mnogo lakše vidi odnos među malim brojevima nego među razlomcima, decimalama i minusima.
Bratov savet
Ako ne znaš pravilo, ne nagađaj. Svedi zadatak na 6, 2 i 3 pa kopiraj logiku nazad.

Znakovi i najopasnija greška

Broj zadržava svoj znak

Najčešća katastrofa je da učenik pomeša pravila za sabiranje i oduzimanje sa pravilima za množenje i deljenje. Kod ovih jednačina menjaš operaciju, ali broj zadržava svoj znak.

Pogrešno i tačno

Pogrešno: iz $x \cdot (-3) = 15$ napisati $x = 15 : (+3)$

Tačno:  $x = 15 : (-3)$

Minus uz broj ne nestaje kad promeniš puta u podeljeno. Menja se samo znak operacije.

Za znakove ti pomažu i množenje racionalnih brojeva u decimalnom zapisu i deljenje racionalnih brojeva u zapisu a/b.

Najčešća greška sa znakovima kod jednačina sa množenjem i deljenjem

Kako se dele razlomci u jednačinama

Koji razlomak se okreće i zašto

Kod deljenja razlomaka važi zlatno pravilo: prvi razlomak prepisuješ, a samo drugi okrećeš.

$\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Drugi razlomak okrećeš zato što deljenje pretvaraš u množenje recipročnom vrednošću.

  • Prvi razlomak ostaje kakav jeste.
  • Znak deljenja prelazi u znak množenja.
  • Drugi razlomak leti naglavačke.
Ako ti treba podsetnik zašto se drugi razlomak okreće, vrati se na recipročnu vrednost i deljenje racionalnih brojeva u zapisu a/b i na deljenje razlomaka.
Deljenje razlomaka u jednačinama i okretanje drugog razlomka

Kako proveravaš rešenje i šta radiš kad ima više koraka

Prvo izoluješ blok sa x, pa tek onda deliš ili množiš

Kada u jednačini ima više operacija, prvo sredi ono što okružuje $x$, a tek onda rešavaj množenje ili deljenje.

1
Izoluj blok

Na primer, iz $2x - 5 = 13$ prvo dobiješ $2x = 18$.

2
Primeni pravilo

Tek posle toga rešavaš nepoznati činilac: $x = 18 : 2$.

3
Proveri

Uvrsti rešenje nazad i vidi da li početna jednačina stvarno radi.

Ako preskočiš ovaj redosled, lako pogrešiš i operaciju i znak.

Primer provere

Za $x \cdot 4 = -20$ dobijaš $x = -5$.

Provera: $-5 \cdot 4 = -20$.

Zadaci 1–3

Zadatak 1: $x \cdot (-0.5) = 2$

Ovo je nepoznati činilac, pa pišeš $x = 2 : (-0.5)$.

Pomeranjem zareza dobijaš $20 : (-5)$, pa je $x = -4$.

Zadatak 2: $x : \frac{2}{3} = -\frac{1}{4}$

Ovo je nepoznati deljenik, pa pišeš $x = -\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}$.

Skraćivanjem dobijaš $x = -\frac{1}{6}$.

Zadatak 3: $-1.2 : x = 0.3$

Ovo je nepoznati delilac, pa pišeš $x = -1.2 : 0.3$.

Posle pomeranja zareza dobijaš $-12 : 3 = -4$.

Prva tri zadatka iz jednačina sa množenjem i deljenjem

Zadaci 4–7

Zadatak 4: $2x - 5 = 13$

Prvo prebaciš $-5$, pa dobijaš $2x = 18$.

Posle toga rešavaš nepoznati činilac: $x = 18 : 2 = 9$.

Zadatak 5: $3x - 2 = 10$

Prebacuješ $-2$, pa je $3x = 12$.

Konačno dobijaš $x = 12 : 3 = 4$.

Zadatak 6: $-16x + 15 = -17$

Prvo sklanjaš $+15$, pa je $-16x = -32$.

Broj uz $x$ zadržava minus, zato pišeš $x = -32 : (-16) = 2$.

Zadatak 7: $-5 = -12x + 31$

Možeš je čitati i kao $-12x + 31 = -5$.

Prebaciš $+31$, pa dobijaš $-12x = -36$, a zatim $x = 3$.

Šta ovde vežbaš

Zadatak 4 i 5: jednačine u dva koraka.

Zadatak 6 i 7: minus uz broj pored $x$.

Zadaci 8–10

Zadatak 8: $14 : (-x + 3) = -1$

Celu zagradu posmatraš kao nepoznati delilac. Zato dobijaš $-x + 3 = 14 : (-1)$, odnosno $-x + 3 = -14$.

Prebaciš $+3$, pa je $-x = -17$, a onda $x = 17$.

Zadatak 9: $\frac{-3x+1}{2} = -7$

Ovo čitaš kao $(-3x+1) : 2 = -7$.

Prvo tražiš deljenik: $-3x + 1 = -7 \cdot 2 = -14$.

Prebacuješ $+1$, dobijaš $-3x = -15$, pa na kraju $x = 5$.

Zadatak 10: $6 - 3(x - 1) = -3$

Posmatraš $3(x-1)$ kao blok koji se oduzima, pa dobijaš $3(x-1) = 6 - (-3)$.

To je $3(x-1) = 9$, zatim $x-1 = 3$, pa $x = 4$.

Kad vidiš više operacija, ne paniči. Prvo nađi koji deo neposredno drži $x$, pa rešavaj sloj po sloj.
Zadaci osam do deset iz jednačina sa množenjem i deljenjem

Najčešće greške i završni izazov

Greška 1: menjaš znak broja uz $x$. Kod množenja i deljenja menjaš operaciju, ali broj zadržava svoj znak.Greška 2: kod deljenja razlomaka okrećeš prvi razlomak. Ne smeš. Prvi prepisuješ, drugi okrećeš.Greška 3: kod jednačina u dva koraka odmah deliš ili množiš, a nisi prvo očistio sabiranje, oduzimanje ili zagradu.

Da sumiramo: jednačine sa množenjem i deljenjem u 6. razredu svode se na to da prepoznaš da li ti fali činilac, deljenik ili delilac. Kad to utvrdiš, ostaje ti samo da primeniš pravo pravilo, sačuvaš znak broja i na kraju uradiš proveru.

Posle ove lekcije ima smisla da nastaviš na nejednačine u vezi s množenjem i deljenjem i na složenije jednačine iz kasnijih razreda.

Završni izazov

Ako dobiješ jednačinu $x \cdot 4 = -20$, koristiš deljenje.

Dobijaš $x = -20 : 4 = -5$.