Množenje racionalnih brojeva – decimalni zapis

Množenje racionalnih brojeva u decimalnom zapisu

Množenje racionalnih brojeva u decimalnom zapisu bez panike

Ćao! Znam da množenje racionalnih brojeva zvuči kao nešto što bi radili naučnici u laboratoriji, a kad na sve to dodaju i decimalni zapis, deluje kao potpuni haos. Imaš minuse, imaš pluseve, a onda još i one dosadne zareze.

Ali, veruj mi, množenje racionalnih brojeva u decimalnom zapisu je zapravo samo jedan veliki mađioničarski trik. Kad ukapiraš foru sa premeštanjem zareza, rešavaćeš ovo brže nego što možeš da izgovoriš naslov lekcije. Ako ti treba šira slika, vrati se i na matematiku za šesti razred, a za kompletan pregled gradiva pogledaj i matematiku za osnovnu školu.

  • Prvo rešavaš znak rezultata.
  • Posle toga brojeve množiš kao da zareza nema.
  • Na kraju vraćaš zarez tako što prebrojiš sva decimalna mesta.
Mini izazov iz same lekcije: za $-0.15 \cdot 1.2$ znak je minus, a rezultat ima tri decimalna mesta.
Uvod u množenje racionalnih brojeva u decimalnom zapisu za šesti razred

Pravilo znaka pri množenju racionalnih brojeva

Prvo rešavaš znak: ekipa plusa i minusa

Pre nego što uopšte pogledaš brojeve i zareze, prvo moraš da odrediš znak konačnog rezultata. Pravila su potpuno ista kao kad množiš cele brojeve i ista su kao u lekciji množenje racionalnih brojeva – zapis oblika a/b.

  1. Ista ekipa daje plus: dva pozitivna ili dva negativna broja daju pozitivan rezultat. $- \cdot - = +$
  2. Različita ekipa daje minus: pozitivan i negativan broj daju negativan rezultat. $+ \cdot - = -$
  3. Najlakše pamćenje: ako su iz iste ekipe, rezultat je plus, a ako nisu, minus pobeđuje.
Ne krećeš odmah na zareze. Znak rešavaš prvi, pa tek onda računaš broj.

Ovo ti je važno i za nastavak gradiva kao što su svojstva operacije množenja i jednačine u vezi s množenjem i deljenjem.

Pravilo znaka pri množenju racionalnih brojeva

Pravilo žmurke za množenje decimala

Pravilo žmurke: kako se zapravo množe decimale

Kada si odredio znak, zapiši ga i onda igramo žmurke sa zarezima. Ovo je ceo postupak u nekoliko prostih koraka.

1
Odredi znak

Ista ekipa daje plus, različita ekipa daje minus.

2
Ignoriši zareze

Pravi se da zarezi ne postoje i množi brojeve kao da su celi.

3
Prebroj decimale

Saberi cifre iza zareza iz oba broja zajedno.

4
Vrati zarez

U rezultatu odbroji tačno toliko mesta sa desna na levo i tu stavi zarez.

Bratov savet: kod množenja ne moraš da ređaš zarez ispod zareza. To važi kod sabiranja i oduzimanja, pa za poređenje pogledaj sabiranje i oduzimanje racionalnih brojeva – decimalni zapis.
Pravilo žmurke za množenje decimalnih brojeva

Rešen primer: plus i minus

Primer 1: plus i minus, pa zarez na kraju

Rešavamo izraz $1.2 \cdot (-0.3)$.

  1. Znak: pozitivan i negativan broj daju minus.
  2. Bez zareza:  $12 \cdot 3 = 36$
  3. Broj decimala: broj $1.2$ ima jednu decimalu, a $0.3$ ima jednu decimalu, pa ukupno imamo $1+1=2$ decimale.
  4. Vraćanje zareza: u broju $36$ ideš dva mesta ulevo i dobijaš $.36$, pa dopisuješ nulu: $0.36$.
Konačno rešenje je $1.2 \cdot (-0.3) = -0.36$.
Primer množenja 1.2 i -0.3 u decimalnom zapisu

Rešen primer: dva minusa i skrivene nule

Primer 2: dva minusa i skrivene nule

Rešavamo izraz $-2.5 \cdot (-0.04)$. Ovaj primer je super zato što u njemu vidiš i pravilo znaka i ono famozno vraćanje zareza preko nula.

  1. Znak: dva minusa daju plus.
  2. Bez zareza: skloniš zareze i prednje nule, pa ostaje $25 \cdot 4 = 100$.
  3. Broj decimala: broj $2.5$ ima jednu decimalu, a broj $0.04$ dve, pa ukupno imaš tri decimalna mesta.
  4. Vraćanje zareza: u broju $100$ ideš tri mesta ulevo i dobijaš $0.100$.
✍ Važno: nule koje vise na kraju iza zareza brišeš tek na samom kraju. Zato $0.100$ tek posle sređivanja postaje $0.1$.

Skrivene nule

$25 \cdot 4 = 100$

$100 \to 0.100$

Konačno:  $-2.5 \cdot (-0.04) = 0.1$

Nule na kraju nisu greška. One samo čekaju da prvo pravilno vratiš zarez.

Kako se određuje broj decimalnih mesta

Kako se pravilno određuje broj decimalnih mesta

Da bi odredio broj decimalnih mesta u rezultatu, gledaš početne brojeve, a ne ono što ti je ispalo kad si množio bez zareza.

  1. Prebroji cifre iza zareza u prvom broju.
  2. Prebroji cifre iza zareza u drugom broju.
  3. Saberi ta dva broja i toliko mesta vrati u rezultat.
Nemoj da zaboraviš decimale iz drugog broja. Kod $0.2 \cdot 0.3$ rezultat nije $0.6$, nego $0.06$, jer imaš jednu plus jednu decimalu.

Druga klasična greška je bruto brisanje nula: ako dobiješ $100$, prvo vratiš zarez na celom broju i dobiješ $0.100$, pa tek onda brišeš višak nula na kraju.

Ako ti treba podsetnik kako izgleda sam decimalni zapis, pregledno je objašnjeno u lekciji decimalni zapis razlomaka.

Brojanje decimalnih mesta pri množenju racionalnih brojeva

Decimalni broj puta ceo broj i dekadne jedinice

Decimalni broj puta ceo broj i dekadne jedinice

U materijalu koji si prošao pojavljuju se i primeri sa celim brojem i sa dekadnim jedinicama. Tu i dalje važi ista logika: prvo znak, onda množenje, pa zarez.

ZadatakRezultatŠta primećuješ
$-3.68 \cdot 5$$-18.4$Različiti znaci daju minus.
$0.45 \cdot 20$$9$Decimalni broj može da da ceo rezultat.
$-2.63 \cdot 10$$-26.3$Zarez ode jedno mesto udesno.
$-3.987 \cdot 100$$-398.7$Zarez ode dva mesta udesno.
Kad savladaš ovo, prirodan sledeći korak je deljenje racionalnih brojeva – decimalni zapis.
Brzi obrazac

Sa $10$ zarez ide jedno mesto udesno.

Sa $100$ zarez ide dva mesta udesno.

Sa $1000$ zarez ide tri mesta udesno.

Ne pomeraš cifre
Pomeranje zareza je samo način da isti broj zapišeš posle množenja sa dekadnom jedinicom.

Najčešća pitanja o množenju racionalnih brojeva

Pitanja koja se stalno vraćaju

U ovoj temi ista pitanja iskaču stalno, pa je zgodno da ih držiš na jednom mestu.

Objasni mi ponovo pravilo za određivanje znaka rezultata.

Isti znak daje plus, a različit znak daje minus. To je cela poenta. Ako znaš pravilo za cele brojeve, znaš ga i ovde.

Šta su to skrivene nule kod vraćanja zareza?

To su nule koje dopisuješ kad zarez treba da ode levo više mesta nego što broj ima cifara. Zato $36 \to 0.36$ i $100 \to 0.100$.

Možemo li da provežbamo primer sa više nula?

Da, upravo zato je primer $-2.5 \cdot (-0.04)$ odličan. On tera da vratiš zarez kroz tri mesta i tek onda obrišeš višak nula.

Šta se dešava sa znakom kada množimo tri racionalna broja?

Radiš isto pravilo redom: prvo rešiš znak prva dva broja, pa taj dobijeni rezultat množiš trećim brojem. Znak nikad ne rešavaš napamet bez koraka.

Najlakše pamćenje je i dalje “ekipa”: ista ekipa daje plus, različita ekipa daje minus.
Česta pitanja o množenju racionalnih brojeva u decimalnom zapisu

Zadaci za vežbu 1–5

10 zadataka za vežbu i rešenja: prvi deo

Pokušaj da zadatak prvo uradiš sam, pa tek onda otvori rešenje.

1. Zadatak: $-2.4 \cdot 1.5$

Različiti znaci daju minus, a $24 \cdot 15 = 360$. Imaš dve decimale ukupno, pa je rezultat $-3.6$.

2. Zadatak: $4.21 \cdot (-0.3)$

Znak je minus, $421 \cdot 3 = 1263$, a ukupno imaš tri decimale. Rešenje je $-1.263$.

3. Zadatak: $0.002 \cdot 0.5$

$2 \cdot 5 = 10$, a ukupno imaš četiri decimalna mesta, pa dobijaš $0.001$.

4. Zadatak: $-3.68 \cdot 5$

Različiti znaci daju minus, $368 \cdot 5 = 1840$, a dve decimale vraćaju rezultat na $-18.4$.

5. Zadatak: $0.45 \cdot 20$

Ovde rezultat ispadne ceo broj. Možeš da vidiš kao $45 \cdot 20 = 900$, pa sa dve decimale dobiješ $9$.

Prvih pet zadataka za vežbu iz množenja racionalnih brojeva

Zadaci za vežbu 6–10

10 zadataka za vežbu i rešenja: drugi deo

6. Zadatak: $1.2 \cdot (-0.3)$

Ovo je naš osnovni primer i rezultat je $-0.36$.

7. Zadatak: $-2.5 \cdot 4.3$

Različiti znaci daju minus, $25 \cdot 43 = 1075$, a dve decimale daju $-10.75$.

8. Zadatak: $-3.6 \cdot 2.48$

Različiti znaci daju minus, $36 \cdot 248 = 8928$, a tri decimale daju $-8.928$.

9. Zadatak: $-2.63 \cdot 10$

Zarez ide jedno mesto udesno, pa je rezultat $-26.3$.

10. Zadatak: $-3.987 \cdot 100$

Zarez ide dva mesta udesno, pa dobijaš $-398.7$.

Brza provera rezultata

$-2.4 \cdot 1.5 = -3.6$

$0.002 \cdot 0.5 = 0.001$

$-3.987 \cdot 100 = -398.7$

Za kontrolni
Prvo uradi znak, pa račun bez zareza, pa tek onda broj decimala i vraćanje zareza.

Najčešće greške na kontrolnom

Najčešće greške na kontrolnom i kako da ih izbegneš

Skoro svako na kontrolnom padne na ove dve fore, pa dobro pazi.

Greška 1: prebrojiš decimalna mesta samo iz jednog broja. Zato neko napiše da je $0.2 \cdot 0.3 = 0.6$, a ispravno je $0.06$.Greška 2: obrišeš nule iz broja $100$ pre nego što vratiš zarez. To ne radiš nikad. Prvo dobiješ $0.100$, pa tek onda sređuješ zapis.Greška 3: potpisuješ zarez ispod zareza kao kod sabiranja i oduzimanja. Kod množenja to nije obavezno. Brojeve poravnaj kako ti je pregledno, a zarez ubaci tek na kraju.

Za dodatno vežbanje pre kontrolnog možeš da pređeš i upoređivanje racionalnih brojeva i prikazivanje racionalnih brojeva na brojevnoj pravi, da znakovi i decimalni brojevi sednu na svoje mesto.

Najčešće greške kod množenja racionalnih brojeva u decimalnom zapisu

Zaključak i mini provera

Zaključak i mini provera

Da sumiramo: množenje racionalnih brojeva u decimalnom zapisu svodi se na to da prvo rešiš da li je rezultat u plusu ili minusu, zatim pomnožiš cifre kao da zareza nema, i na kraju zarez vratiš tako što prebrojiš sva decimalna mesta iz zadatka.

  • Znak rešavaš pre svega ostalog.
  • Brojeve bez zareza množiš kao cele brojeve.
  • Broj decimala uzimaš iz oba broja zajedno.
  • Nule brišeš tek na samom kraju, nikad pre vraćanja zareza.

Mini provera iz same lekcije glasi: koji bi bio znak i koliko bi ukupno decimalnih mesta imao rezultat množenja $-0.15 \cdot 1.2$? Odgovor je: znak je minus, ima tri decimalna mesta, a konačno rešenje je $-0.18$.

Kad ti ovo legne, sledeći prirodan korak je deljenje racionalnih brojeva – decimalni zapis.

Bratova caka za pamćenje

Ista ekipa daje plus. Različita ekipa daje minus. Posle toga ide samo igra sa zarezom.

Kad god zapneš, vrati se na redosled: znak → račun bez zareza → broj decimala → vraćanje zareza.