Množenje racionalnih brojeva – zapis oblika a/b

Množenje racionalnih brojeva (zapis oblika a/b) — pravila, fore i primeri (6. razred)

Ćao! Znam šta ti prolazi kroz glavu čim vidiš razlomke načičkane minusima i plusevima. Deluje kao da se od tebe traži da žongliraš i rešavaš ukrštene reči u isto vreme.

Međutim, množenje racionalnih brojeva u zapisu oblika a/b za 6. razred je zapravo najlakša operacija u celom gradivu! Verovao ili ne, ovo je mnogo prostije od sabiranja i oduzimanja, jer ovde nema onog dosadnog traženja zajedničkog imenioca.

Pre ove lekcije podseti se sabiranja i oduzimanja racionalnih brojeva i skupa racionalnih brojeva.

Množenje racionalnih brojeva oblika a/b za 6. razred

1. Pravilo za znak — znak ide prvi!

Pre nego što uopšte kreneš da gledaš brojeve, prvo moraš da rešiš znak. Pravilo je potpuno isto kao kad množiš obične cele brojeve:

Ista ekipa → Plus

Dva pozitivna → $+$

Dva negativna → $+$

Dva minusa daju plus!

Različita ekipa → Minus

Pozitivan × negativan → $-$

Minus uvek pobeđuje!

Uvek napiši znak pre nego što počneš da računaš! Tako nećeš zaboraviti na kraju.

2. Gornji sa gornjim, donji sa donjim

Kada si zapisao znak, prelaziš na računanje. Pravilo za množenje razlomaka staje u jednu rečenicu:

Pravilo

Množiš brojilac sa brojilacem, a imenilac sa imeniocem.
Gornji broj sa gornjim, donji sa donjim.
Nema traženja zajedničkog imenioca!

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Za razliku od sabiranja, kod množenja NE tražiš NZS (zajednički imenilac)! Ovo je ubedljivo najveća greška u 6. razredu.

Sabiranje vs Množenje

Sabiranje: treba NZS

Množenje: ne treba NZS!

Samo gornji × gornji, donji × donji.

Primer 1: Obično množenje sa različitim znakom

Rešavamo izraz: $\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)$

Korak 1 — Znak: Plus × minus → rešenje je negativno ( $-$ )

Korak 2 — Gornji: $2 \cdot 4 = 8$

Korak 3 — Donji: $3 \cdot 5 = 15$

Rešenje: $\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{8}{15}$

Vidišl i kako je lako? Ni traga od zajedničkog imenioca. Samo gornji sa gornjim, donji sa donjim.

3. Unakrsno skraćivanje — tvoj najbolji prijatelj!

Ako kreneš da množiš ogromne brojeve, dobićeš rezultate sa kojima je jako teško raditi. Zato pre množenja uvek gledamo da li razlomci mogu da se skrate unakrsno.

Zlatno pravilo

Smeš kratiti jedan gornji sa jednim donjim.
NIKAD dva gornja ili dva donja!

To znači da tražiš jedan gornji i jedan donji broj koji mogu da se podele istim brojem. Mogu biti iz različitih razlomaka — to je i smisao „unakrsnog".

Skraćivanje „pored" (dva gornja ili dva donja) je zabranjeno! Čak i ako su oba imenioca 7, ne smeš ih kratiti.

Kako prepoznati?

Gornji levo ↔ Donji desno ✓

Gornji desno ↔ Donji levo ✓

Gornji ↔ Gornji ✗

Donji ↔ Donji ✗

Primer 2: Unakrsno skraćivanje i dva minusa

Rešavamo: $-\frac{5}{8} \cdot \left(-\frac{4}{15}\right)$

Korak 1 — Znak: Dva minusa → rešenje je pozitivno. Zaboravljamo na minuse!

Korak 2 — Skraćivanje:

• $5$ (gore levo) i $15$ (dole desno) → delimo sa $5$ → ostaju $1$ i $3$

• $4$ (gore desno) i $8$ (dole levo) → delimo sa $4$ → ostaju $1$ i $2$

Korak 3 — Množenje: $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Da nismo skraćivali: $\frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 15} = \frac{20}{120}$ — pa tek skraćivanje. Mnogo teže!

Primer 2 unakrsno skraćivanje dva minusa

4. Mešoviti brojevi — obavezno pretvaranje!

Ako u zadatku dobiješ mešovit broj, moraš da ga pretvoriš u nepravi razlomak pre nego što kreneš da množiš!

✍ Bratov savet: Ako dobiješ

-1\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}

, prvo pretvori

-1\frac{1}{2}

-\frac{3}{2}

. Tek na kraju, ako nastavnik to traži, vrati nazad u mešoviti broj!

Primer: $-1\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$

Korak 1: $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$

Korak 2 — Znak: Minus × plus = minus

Korak 3: $-\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 4} = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8}$

5. Celi broj u množenju sa razlomkom

Svaki celi broj može se zapisati kao razlomak sa imeniocem $1$ :

$-4 = -\frac{4}{1}$

$7 = \frac{7}{1}$

Primer: $-1\frac{1}{4} \cdot (-4)$

$-1\frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$ , $-4 = -\frac{4}{1}$

Znak: dva minusa → plus

Unakrsno: $4$ (gore) i $4$ (dole) → delimo sa $4$ → ostaju $1$ i $1$

Rešenje: $\frac{5 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 5$

Trik

Celi broj → stavi ga na razlomak sa imeniocm 1.
Mešoviti broj → pretvori u nepravi razlomak.
Tek onda množ!

Najčešće greške — pazi se!

Greška 1: Traženje NZS (zajedničkog imenioca)

Ovo je ubedljivo najveća greška! Učenici po navici iz sabiranja krenu da traže zajednički imenilac pre množenja. Zapamti: kod množenja to ne radiš! Gornji sa gornjim, donji sa donjim, i to je sve.

Greška 2: Skraćivanje „pored" (dva gornja ili dva donja)

Unakrsno skraćivanje radi samo ako kratiš jedan gornji sa jednim donjim. Nikada ne smeš da skratiš dva gornja ili dva donja broja! Čak ni ako su oba imenioca isti broj.

Greška 3: Gubitak minusa u žurbi

Skratiš sve savršeno, pomnožiš tačno i onda napišeš pozitivno rešenje, a na početku si imao jedan minus i jedan plus. Uvek na samom početku napiši znak, pa onda računaj na miru.

Greška 4: Zaboraviti pretvoriti mešoviti broj

Mešoviti broj mora postati nepravi razlomak pre množenja! Ako preskočiš taj korak, ceo postupak je netačan.

Rezime — 3 koraka za uspeh

Korak 1 — Znak: Ista ekipa (+× + ili −×−) → plus. Različita ekipa → minus. Zapiši znak odmah!

Korak 2 — Skrati unakrsno: Traži jedan gornji i jedan donji koji se mogu podeliti. Nikad dva gornja ili dva donja!

Korak 3 — Množ: Gornji sa gornjim, donji sa donjim. Nema NZS!

Bonus: Mešoviti broj → nepravi razlomak pre svega.

Formula uspeha

1. Znak (uvek prvo!)
2. Unakrsno skraćivanje
3. Gornji × gornji, Donji × donji
Bez NZS!

Zadaci 1–5

\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{5}

Znak: $+$ . Nema skraćivanja. Rešenje: $\frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 5} = \frac{6}{35}$ .

\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)

Znak: $-$ . Nema skraćivanja. Rešenje: $-\frac{8}{15}$ .

-\frac{5}{8} \cdot \left(-\frac{4}{15}\right)

Znak: $+$ . Skraćivanje: $5 \div 5$ i $15 \div 5$ → $1$ i $3$ ; $4 \div 4$ i $8 \div 4$ → $1$ i $2$ . Rešenje: $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$ .

\frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)

Znak: $-$ . Skraćivanje: $4 \div 2 = 2$ , $2 \div 2 = 1$ . Rešenje: $-\frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 1} = -\frac{2}{5}$ .

-\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7}

Znak: $-$ . Skraćivanje: $4 \div 2 = 2$ , $2 \div 2 = 1$ . Rešenje: $-\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 7} = -\frac{2}{7}$ .

Tipovi zadataka

Zad. 1: dva pozitivna

Zad. 2: različiti znaci

Zad. 3: dva minusa + skraćivanje

Zad. 4: skraćivanje

Zad. 5: skraćivanje + minus

Zadaci 6–10

-1\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}

Pretvaranje: $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$ . Znak: $-$ . Rešenje: $-\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 4} = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8}$ .

-2\frac{4}{7} \cdot \left(-3\frac{1}{2}\right)

Pretvaranje: $-\frac{18}{7} \cdot \left(-\frac{7}{2}\right)$ . Znak: $+$ . Skraćivanje: $18 \div 2 = 9$ , $7 \div 7 = 1$ . Rešenje: $\frac{9 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 9$ .

-5\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{33}

Pretvaranje: $-\frac{11}{2} \cdot \frac{4}{33}$ . Znak: $-$ . Skraćivanje: $11 \div 11 = 1$ , $33 \div 11 = 3$ ; $4 \div 2 = 2$ , $2 \div 2 = 1$ . Rešenje: $-\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = -\frac{2}{3}$ .

-1\frac{1}{4} \cdot (-4)

Pretvaranje: $-\frac{5}{4} \cdot \left(-\frac{4}{1}\right)$ . Znak: $+$ . Skraćivanje: $4 \div 4 = 1$ . Rešenje: $\frac{5 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 5$ .

10.

\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9}

Znak: $+$ . Skraćivanje: $3 \div 3 = 1$ , $9 \div 3 = 3$ ; $2 \div 2 = 1$ , $4 \div 2 = 2$ . Rešenje: $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$ .

Tipovi zadataka

Zad. 6: mešoviti broj

Zad. 7: dva mešovita

Zad. 8: mešoviti + skraćivanje

Zad. 9: mešoviti × celi broj

Zad. 10: dvostruko skraćivanje

Napredni primeri — lanci množenja

Ponekad dobiješ lanac od tri ili više razlomaka. Nema panike — isti postupak!

Primer: $\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{10}{9}\right) \cdot \frac{3}{4}$

Znak: Jedan minus → rešenje je negativno

Skraćivanje:

• $3$ i $9$ → delimo sa $3$ → $1$ i $3$

• $10$ i $5$ → delimo sa $5$ → $2$ i $1$

• $3$ (drugi) i $4$ → ne mogu

Rešenje: $-\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 3 \cdot 4} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

Kod lanca množenja: broji minuse — neparan broj minusa → minus, paran broj minusa → plus.

Veza sa decimalnim zapisom

Racionalni broj može biti zapisan i kao decimalni broj. Pravilo znaka je potpuno isto!

Zapis a/b

$-\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = -\frac{2}{3}$

Decimalni zapis

$-0{,}75 \cdot 0{,}\overline{8} = -0{,}\overline{6}$ — isti rezultat

U praksi, razlomke je lakše množiti u zapisu a/b jer možeš koristiti unakrsno skraćivanje. Kod decimalnih ne možeš!

Više o množenju racionalnih u decimalnom zapisu.

Prednost a/b zapisa

Možeš unakrsno skraćivati

→ manji brojevi

→ brže računanje

→ manji rizik od greške

Zaključak

Kao što vidiš, množenje racionalnih brojeva u zapisu oblika a/b za 6. razred zapravo uopšte nije komplikovano. Glavna caka je da prvo rešiš znak, zatim da uvek probaš unakrsno da skratiš brojeve kako bi ti računanje bilo lakše, i na kraju samo pomnožiš gornje sa gornjim, a donje sa donjim.

3 koraka

1. Znak (uvek prvi!)
2. Unakrsno skraćivanje (gore ↔ dole)
3. Gornji × gornji, Donji × donji
Mešoviti broj → nepravi razlomak!

Nastavi sa lekcijama: deljenje racionalnih, sabiranje i oduzimanje i decimalni zapis.

✍ Bratov savet: Napiši znak na početku, skrati unakrsno što možeš, pa množ. Bez panike, samo prati ove korake i nema šanse da pogrešiš!

Kvizovi25otvorizatvori