Rešavanje linearnih jednačina sa dve nepoznate

Rešavanje linearnih jednačina sa dve nepoznate — misterija sa beskonačno odgovora (8. razred)

Do sada smo rešavali jednačine gde smo lovili samo jednog osumnjičenog — slovo $x$ . Kada ga nađemo (npr. $x = 5$ ), zadatak je gotov. Ali, šta se dešava kada u jednoj jednačini imamo DVA slova, recimo $x$ i $y$ ?

Lekcija rešavanje linearnih jednačina sa dve nepoznate 8. razred nas uči da jedna ovakva jednačina nije dovoljna da bismo dobili samo jedan tačan odgovor. Zapravo, ona krije beskonačno mnogo rešenja! Zvuči ludo? Hajde da vidimo kako ovo funkcioniše na primeru iz stvarnog života.

Za celokupan pregled pogledaj matematiku za osmi razred.

Linearna jednačina sa dve nepoznate — matematika 8. razred

Zašto ima beskonačno mnogo rešenja?

Zamisli da ti drugar kaže: "U levom džepu ( $x$ ) i desnom džepu ( $y$ ) imam ukupno 100 dinara. Pogodi koliko imam u kom džepu!"

Matematički, to zapisujemo ovako:

$x + y = 100$

Koja su rešenja?

Možda u levom ima 50, a u desnom 50. Rešenje je par brojeva: $(50, 50)$ .
Možda u levom ima 20, a u desnom 80. Rešenje: $(20, 80)$ .
Možda u levom nema ništa (0), a u desnom je svih 100. Rešenje: $(0, 100)$ .

Kao što vidiš, ti možeš potpuno slobodno da "izmisliš" broj za levi džep ( $x$ ), a desni džep ( $y$ ) će se sam izračunati da bi zbir bio 100. Zato ovakva jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, a svako rešenje se zapisuje kao uređeni par $(x, y)$ .

Beskonačno mnogo rešenja linearne jednačine

Opšti oblik jednačine

Matematičari vole sve da zapišu šablonom, pa linearna jednačina sa dve nepoznate uvek izgleda ovako:

Opšti oblik

$ax + by = c$

(Gde su $a$ , $b$ i $c$ neki poznati brojevi, a $x$ i $y$ su naša slova koja tražimo).

Na primer: $2x + 3y = 12$ .

Prisustvo dva slova (dve nepoznate) u samo jednoj jednačini nije dovoljno da bi se dobio jedan jedinstven i konačan odgovor. Ti slobodno biraš vrednost za jedno slovo (npr. $x$ ), a potom izračunavaš vrednost drugog ( $y$ ).

Opšti oblik linearne jednačine ax + by = c

Glavna veština: Kako da "izrazim" jedno slovo preko drugog?

Da bi pronašao rešenja, moraš da naučiš jedan ključni trik: kako da jedno slovo ostaviš potpuno samo na levoj strani. Obično se dogovorimo da to bude slovo $y$ . Ovo se zove "izražavanje nepoznate $y$ preko $x$ ".

Zadatak: Izrazi y u jednačini $2x + 3y = 12$

Korak 1: Zadrži y-ekipu levo, oteraj x desno

Prebacujemo $2x$ na desnu stranu (i menjamo mu znak!):

$3y = 12 - 2x$

Korak 2: Oslobodi y od broja pored njega

Pošto uz $y$ stoji broj 3 (množi ga), sada celu desnu stranu moramo da podelimo sa 3:

$y = \frac{12 - 2x}{3}$

Korak 3: Razdvoji razlomak (opciono)

$y = \frac{12}{3} - \frac{2x}{3}$

$y = 4 - \frac{2}{3}x$

Gotovo! Sada imamo savršenu "mašinu". Šta god da ubacimo umesto $x$ , mašina će nam izbaciti $y$ .

Izražavanje nepoznate y preko x korak po korak

Primer: Pronalaženje 3 konkretna rešenja

Hajde sada da za našu jednačinu $y = 4 - \frac{2}{3}x$ pronađemo tri konkretna uređena para koja su tačna.

Mi slobodno biramo vrednosti za $x$ . Pošto u formuli imamo razlomak sa trojkom ispod crte, najpametnije je da za $x$ biramo brojeve koji su deljivi sa 3 (da bismo izbegli decimale). Izabraćemo: 0, 3 i 6.

Izaberemo $x$	Izračunamo $y$	Uređeni par
$x = 0$	$y = 4 - \frac{2}{3} \cdot 0 = 4$	$(0, 4)$
$x = 3$	$y = 4 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$	$(3, 2)$
$x = 6$	$y = 4 - \frac{2}{3} \cdot 6 = 0$	$(6, 0)$

Kada imaš razlomak sa trojkom ispod crte, biraj vrednosti za $x$ koje su deljive sa 3. Tako ćeš izbeći decimale!

Pronalaženje uređenih parova iz linearne jednačine

Pojam uređenog para i zašto je redosled bitan

Svako pojedinačno rešenje se sastoji od dve vrednosti i zapisuje se kao uređeni par $(x, y)$ .

Zašto je redosled bitan?

Strogo definisana mesta

U zagradi, prvo mesto je uvek rezervisano za $x$ , a drugo za $y$ . Čak i ukoliko ste prvo izračunali vrednost za $y$ , brojeve morate upisati pravilnim redosledom.

Prikaz na grafiku

Ako pomešate redosled brojeva u uređenom paru, dobićete potpuno drugu tačku na grafiku. Zato je pogrešan redosled jedna od najčešćih grešaka kod učenika.

Zapamti!

Uređeni par = $(x, y)$
Uvek prvo $x$ , pa $y$ !

Bratova caka: Pazi na minus ispred y!

Gde se najčešće gube poeni?

Znaš gde se najčešće izgube poeni kod "izražavanja" nepoznate? Kada uz $y$ stoji znak MINUS!

Na primer: $5x - 2y = 10$ .

Kada prebaciš $5x$ , ostaje ti $-2y = 10 - 5x$ .

Učenici često zaborave taj minus, pa podele sve sa običnom dvojkom i dobiju pogrešan rezultat. Znak minus pripada onom broju/slovu ispred kog stoji. Kada deliš na kraju, moraš celu desnu stranu da podeliš sa $-2$ . Pazi na to!

Uvek pazi na znak i obavezno podeli svaki element sa desne strane negativnim brojem koji stoji uz $y$ !

Zadaci sa objašnjenjem (1–2)

Zadatak 1: Patke i mačke (metoda zamene)

Zadatak: U dvorištu su patke i mačke. Ako u dvorištu ima ukupno 7 glava i 20 nogu, koliko ima pataka, a koliko mačaka?

Neka je $x$ broj patki, $y$ broj mačaka.

Prva jednačina (glave): $x + y = 7$

Druga jednačina (noge): $2x + 4y = 20$

Iz prve: $y = 7 - x$ . Zamenimo u drugu:

$2x + 4(7 - x) = 20$ → $2x + 28 - 4x = 20$ → $-2x = -8$ → $x = 4$

$y = 7 - 4 = 3$ . Odgovor: 4 patke i 3 mačke.

Zadatak 2: Zbir i razlika (metoda suprotnih koeficijenata)

Zadatak: Koji brojevi daju zbir 8, a razliku 4?

$x + y = 8$ i $x - y = 4$

Sabiramo: $+y$ i $-y$ se skrate → $2x = 12$ → $x = 6$

$6 + y = 8$ → $y = 2$ . Odgovor: Uređeni par $(6, 2)$ .

Zadaci sa linearnim jednačinama — patke i mačke

Zadaci sa objašnjenjem (3–5)

Zadatak 3: Klasična metoda zamene

Zadatak: Reši sistem: $2x + 5y = 32$ i $3x - y = 14$

Iz druge: $y = 3x - 14$ . Zamenimo u prvu:

$2x + 5(3x - 14) = 32$ → $2x + 15x - 70 = 32$ → $17x = 102$ → $x = 6$

$y = 3 \cdot 6 - 14 = 4$ . Odgovor: $(6, 4)$ .

Zadatak 4: Suprotni koeficijenti uz množenje

Zadatak: Reši sistem: $2x - y = 3$ i $3x + 4y = 10$

Pomnožimo prvu sa 4: $8x - 4y = 12$

Saberemo sa drugom: $11x = 22$ → $x = 2$

$2 \cdot 2 - y = 3$ → $y = 1$ . Odgovor: $(2, 1)$ .

Zadatak 5: Rešenje sa razlomkom

Zadatak: Reši sistem: $3x - 6y = 7$ i $2x + 3y = 7$

Pomnožimo drugu sa 2: $4x + 6y = 14$

Saberemo sa prvom: $7x = 21$ → $x = 3$

$2 \cdot 3 + 3y = 7$ → $3y = 1$ → $y = \frac{1}{3}$

Odgovor: $(3, \frac{1}{3})$ . Rešenja ne moraju uvek biti celi brojevi!

5 zadataka

Patke i mačke, zbir i razlika, klasična zamena, množenje jednačine, razlomak kao rešenje

Najčešće greške

Pisanje rešenja u pogrešnom redosledu: Uvek se piše $(x, y)$ . Ako si prvo izračunao $y$ , pa onda $x$ , ne smeš da ih staviš u zagradu tim redosledom. Prvo mesto je rezervisano za $x$ , drugo za $y$ . Ako pomešaš redosled, to je na grafiku potpuno druga tačka!

Deljenje samo jednog broja: U koraku kada deliš celu desnu stranu brojem uz $y$ (npr. $3y = 12 - 2x$ , pa deliš sa 3), učenici ponekad podele samo prvi broj: $y = 4 - 2x$ . Pravilo glasi: Svaki element sa desne strane mora da se podeli tim brojem! Zato je najsigurnije staviti dugačku razlomačku crtu ispod svega.

Pravilo

Kada deliš, moraš podeliti SVE sa desne strane — i slobodan član i deo sa $x$ !

Česta pitanja

Kako se izražava jedna nepoznata preko druge?

Prebaci sve sem $y$ na desnu stranu (menjajući znakove), pa podeli celu desnu stranu brojem koji stoji uz $y$ . Tako dobijaš formulu koja za svako izabrano $x$ daje odgovarajuće $y$ .

Šta ako je ispred y samo minus bez broja?

Ako imaš $-y$ , to je isto kao $-1 \cdot y$ . Deliš sa $-1$ , što znači da se svakom elementu na desnoj strani promeni znak.

Kako pravilno biram vrednosti za x?

Biraj vrednosti koje se lako dele brojem u imeniocu. Ako je formula $y = 4 - \frac{2}{3}x$ , biraj brojeve deljive sa 3 (0, 3, 6, 9...). Tako izbegavaš decimale!

Kako da pravilno zapišem uređeni par?

Uvek u formatu $(x, y)$ — prvo $x$ , pa $y$ . Čak i ako prvo izračunaš $y$ , u zagradi $x$ ide na prvo mesto.

Koliko rešenja ima linearna jednačina sa dve nepoznate?

Beskonačno mnogo! Slobodno biraš $x$ , formula ti izračunava $y$ . Da bi dobio jedno jedinstveno rešenje, potrebne su ti dve jednačine (sistem).

Jedna jednačina = beskonačno rešenja. Dve jednačine = jedno rešenje!

Zaključak

To je cela priča! Lekcija rešavanje linearnih jednačina sa dve nepoznate 8. razred zapravo nije "rešavanje" do jednog kraja, već učenje kako da namestiš formulu (izraziš $y$ ) tako da možeš lako da generišeš koliko god rešenja ti treba. Izabereš jedno $x$ , formula ti pljune njegovo $y$ , i dobiješ uređen par.

Sada znaš: opšti oblik $ax + by = c$ , kako da izraziš $y$ , kako da pametno biraš vrednosti za $x$ , i zašto je redosled u uređenom paru bitan.

Kada budeš spreman da od beskonačno rešenja dobiješ jedno jedino — pogledaj lekciju sistemi linearnih jednačina i primenu sistema. Za osnove pogledaj rešavanje linearnih jednačina sa jednom nepoznatom i pojam linearne funkcije.