Stepen čiji je izložilac prirodan broj

Stepen čiji je izložilac prirodan broj — pravila i fore za računanje

Gde si! Znam da naslov ove lekcije zvuči kao neka ozbiljna naučna fantastika. „Stepen čiji je izložilac prirodan broj“ — izgovoriš to i odmah ti se spava. Ali veruj mi, ovo je bukvalno samo skraćeno zapisivanje nečega što već znaš: množenja!

Zamisli da stepenovanje daje brojevima neku supermoć da se brzo razmnožavaju. Ajde da vidimo kako to tačno funkcioniše i koja pravila moraš da znaš da bi pokidao ovaj deo gradiva iz matematike za 7. razred.

  • Šta su osnova i izložilac
  • Specijalni slučajevi sa nulom i jedinicom
  • Kako rade negativni brojevi (paren/neparen izložilac)
  • Razlika između $(-2)^2$ i $-2^2$
  • Množenje i sabiranje stepena u zadacima
Vezane teme: Množenje i deljenje stepena jednakih osnova, Stepen proizvoda, količnika i stepena, Prirodni brojevi, Matematika za osnovnu školu.
Matematičke formule i stepeni na tabli

Šta je to uopšte stepen?

Kada kažemo da neki broj stepenujemo, to samo znači da ga množimo samim sobom određeni broj puta.

Dva glavna lika

  1. Osnova — veliki broj dole (broj koji se množi)
  2. Izložilac (eksponent) — mali broj gore desno (govori koliko puta se osnova množi)

Kada kažemo da je izložilac prirodan broj, to znači da je gore broj $1,2,3,4,\dots$.

Primer:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Ovo čitaš: „dva na treći“. Osnova je 2, izložilac je 3.
Stepenovanje brojeva i ponovljeno množenje

Specijalni slučajevi — nula i jedinica

Neki brojevi se ponašaju drugačije kada ih staviš u stepen. Ovo su pravila koja poklanjaju poene:

1
Prvi stepen

$a^1 = a$
Primer: $15^1 = 15$

0
Nulti stepen

$a^0 = 1,\ a\neq 0$
Primeri: $100^0=1$, $7^0=1$

0^n
Nula u osnovi

$0^n=0,\ n\in\mathbb{N}$
Primer: $0^5=0$

1^n
Jedinica u osnovi

$1^n=1$
Primer: $1^{100}=1$

Brzi podsetnik

Izložilac $1$ ne menja osnovu.

Izložilac $0$ daje $1$ (osim za osnovu 0).

Stepen negativnog broja (ovde pazi!)

Ovo je deo gde se na kontrolnom najviše gube poeni. Sve zavisi od toga da li je izložilac paran ili neparan:

Ako je izložilac PARAN

Rezultat je pozitivan.

$(-3)^4 = 81$

Minusi se ponište u paru.

Ako je izložilac NEPARAN

Rezultat je negativan.

$(-4)^3 = -64$

Jedan minus ostane bez para.

Bratov savet: ako je izložilac paran, minus u zagradi „nestaje“. Ako je neparan, minus ide u rezultat.
Negativni brojevi i stepenovanje u matematici

Razlika između stepenovanja sa zagradom i bez nje

Ovo je najčešća zamka na kontrolnom.

ZapisŠta se stepenujeRezultat
$(-2)^2$Stepenuje se i minus i broj$4$
$-2^2$Stepenuje se samo broj 2, minus čeka ispred$-4$
Ukratko: zagrada znači da se stepenuje i minus. Bez zagrade se stepenuje samo broj.
1
Primer bez zagrade:  $-5^2$
2
Prvo: $5^2 = 25$
3
Onda prepišeš minus: $-25$

Množenje stepena sa istom osnovom

Kada množiš stepene sa istom osnovom, osnovu prepišeš, a izložioce sabereš:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Primer:

$3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$

Mnogo brže nego da posebno računaš $81\cdot 9$.

Detaljnije nastavi u lekciji množenje i deljenje stepena jednakih osnova.

Množenje stepena sa istom osnovom

Sabiranje i oduzimanje stepena

Stepene možeš da sabiraš i oduzimaš samo ako su potpuno isti — ista osnova i isti izložilac.

Primer

$3x^2 + 4x^2 - x^2 = 6x^2$

Gledaj kao „jabuke“: 3 jabuke + 4 jabuke - 1 jabuka = 6 jabuka.

Ne smeš da „spajaš“ različite stepene kao da su isti. Npr. $2^3 + 2^2$ nije isto kao jedan stepen.
✍ Pravilo: isto + isto može. Različito + različito ne može da se sabije u jedan član.

Hajde da rešimo primer sa negativnim brojem bez zagrade

Primer: $-4^3$

  1. Prvo računaš $4^3 = 64$
  2. Minus ispred samo prepišeš

Rešenje: $-64$

Zanimljivo: i sa zagradom, $(-4)^3$, rezultat je takođe $-64$ jer je izložilac neparan.

Kod neparnih izložilaca znak ostaje minus. Kod parnih izložilaca minus se poništava.
Računanje stepena negativnih brojeva

Najčešće greške — pazi se ovih zamki

Greška #1: Množenje osnove i izložioca

Neko vidi $2^3$ i napiše $2\cdot3=6$. Netačno.

Tačno je: $2^3 = 2\cdot2\cdot2 = 8$.

Greška #2: Minus bez zagrade

Postoji ogromna razlika između $(-2)^2$ i $-2^2$.

$(-2)^2 = 4$, ali $-2^2 = -4$.

Profesori često pecaju baš na zagradu i znak minus. Tu budi najpažljiviji.
Brza provera znaka
Paran izložilac u zagradi → plus rezultat.
Neparan izložilac u zagradi → minus rezultat.

Daj 5 zadataka i objasni rešenje

Zadatak 1: Izračunaj $2^5$

$2^5 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 32$

Zadatak 2: Izračunaj $(-3)^4$

Paran izložilac → rezultat pozitivan.

$(-3)^4 = 81$

Zadatak 3: Uporedi $(-2)^2$ i $-2^2$

$(-2)^2 = 4$

$-2^2 = -4$

Zadatak 4: Izračunaj $3^4\cdot3^2$

$3^4\cdot3^2 = 3^{4+2} = 3^6$

Zadatak 5: Sredi izraz $3x^2+4x^2-x^2$

$3x^2+4x^2-x^2 = 6x^2$

Vežbanje zadataka iz stepena

Zaključak

Kao što vidiš, stepen čiji je izložilac prirodan broj uopšte nije strašan. Mali broj gore komanduje velikom broju dole koliko puta da se pomnoži sam sa sobom.

Pazi na minuse, poštuj pravila za parne i neparne izložioce i nema šanse da pogrešiš.

  • $a^1 = a$
  • $a^0 = 1,\ a\neq 0$
  • $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$
  • $(-a)^{\text{paran}} > 0$, $(-a)^{\text{neparan}} < 0$
Ako želiš sledeći korak, idi na množenje i deljenje stepena jednakih osnova i stepen proizvoda, količnika i stepena.

Bratov savet

Kad vidiš minus, prvo pogledaj da li ima zagrade.

Kad vidiš istu osnovu u množenju, odmah saberi izložioce.

To su dve najveće cake za kontrolni.

✍ Hoćemo sledeće da vežbamo deljenje stepena ili stepen proizvoda?