Kvadrat racionalnog broja 7 razred

Kvadrat racionalnog broja — pravila, primeri i fore za pamćenje (7. razred)

Gde si! Znam, čim vidiš sve te razlomke i male brojeve koji lebde iznad drugih brojeva, dođe ti da zatvoriš svesku. Ali pazi sad, to kvadriranje je zapravo samo obično množenje koje se malo pravi važno.

U ovoj lekciji prelazimo kvadrat racionalnog broja za 7. razred da razvališ sledeći kontrolni. Kad shvatiš par osnovnih caka i pravila sa minusom, rešavaćeš ove zadatke brže nego što ukucaš poruku na telefonu. Hajde da počnemo!

Ako želiš širu sliku gradiva, ovo prirodno nastavlja teme iz matematike za sedmi razred i povezuje se sa skupom realnih brojeva.

Kvadrat racionalnog broja 7. razred uvod

Šta je uopšte kvadrat broja?

Da se podsetimo: racionalan broj je svaki onaj broj koji možeš da zapišeš kao razlomak $\frac{p}{q}$.

A šta znači "kvadrat"? To nije onaj geometrijski oblik iz nižih razreda (iako ima veze sa njim, setiš se formule za površinu $P = a^2$). Kvadrat broja je jednostavno taj broj pomnožen samim sobom.

Za racionalne brojeve $a$ to izgleda ovako:

$a^2 = a \cdot a$

Osnovna ideja

Kvadrat = broj puta isti taj broj.

Primeri kvadriranja

Primeri:

Za ceo broj: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

Za decimalni broj: $0,4^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16$

Za razlomak: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

Vidiš? Ništa strašno, samo množenje!

Kada pređeš na temu x² = a i kvadratni koren, ova osnova ti je ključna.

Primeri kvadrata racionalnih brojeva

Šta se dešava sa minusom? (Osobine kvadrata)

E, ovde na kontrolnom pada pola razreda. Šta se desi kada kvadriramo negativan broj?

Znamo pravilo iz šestog razreda: minus puta minus daje plus! Proizvod dva negativna broja je uvek pozitivan broj. Zato važi najvažnije pravilo kvadriranja: Kvadrat bilo kog racionalnog broja (osim nule) je uvek pozitivan broj!

Primeri:

Pozitivan broj: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

Negativan broj: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$

Znači, zaključak je: $a^2 \ge 0$ za svaki broj. Nikada kvadrat ne može da bude negativan!

Minus u kvadratu daje plus, ali samo ako je minus deo baze.

Da li kvadrat uvek uvećava broj?

Logično je da pomisliš: "Kad pomnožim broj samim sobom, on postane veći." To važi za brojeve kao što su $2, 3, 10$. Ali, pazi caku sa brojevima koji su između $-1$ i $1$ (to su oni nula-zarez-nešto, ili pravi razlomci).

Ako kvadriraš broj veći od $1$, on se povećava: $4^2 = 16$ (a $16 > 4$).

Ako kvadriraš broj između $0$ i $1$, on se smanjuje: $0,5^2 = 0,25$ (a $0,25 < 0,5$). Zvuči čudno, ali pola od polovine je četvrtina!

Kvadrat broja $1$ je uvek $1$, a nule je $0$.

Kod računanja sa decimalama pomaže i lekcija približna vrednost i apsolutna greška.

Kvadrat brojeva između 0 i 1

Kvadrat proizvoda i količnika (Kako da olakšaš računanje)

Ova pravila su ti najbolji drugari kad dobiješ ogromne brojeve za računanje.

Kvadrat proizvoda: $(a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2$

Možeš prvo da pomnožiš pa kvadriraš, ili da prvo kvadriraš pa pomnožiš. A ovo pravilo radi i unazad!

Primer: Umesto da množiš $2^2 \cdot 5^2$ kao $4 \cdot 25$, primeniš pravilo unazad:

$2^2 \cdot 5^2 = (2 \cdot 5)^2 = 10^2 = 100$

Kvadrat količnika: $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$ ili $(a : b)^2 = a^2 : b^2$

Kvadriraš posebno brojilac, posebno imenilac. Opet, radi i unazad i spasava život!

Proizvod

$(ab)^2$

Količnik

$(a/b)^2$

Unazad

skraćuje račun

Kako da prepoznaš da li je ogroman broj nečiji kvadrat?

Dobiješ broj $900$ i nastavnik pita čiji je to kvadrat. Nema šanse da pogađaš napamet. Fora je u rastavljanju na proste činioce.

Rastavimo $900$ (delimo sa $2$, pa sa $3$, pa sa $5$):

$900 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$

Grupišemo ih u kvadrate:

$900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$

Primenimo ono pravilo za kvadrat proizvoda od malopre:

$900 = (2 \cdot 3 \cdot 5)^2 = 30^2$

Znači, $900$ je kvadrat broja $30$!

Brz postupak

1) Razloži broj

2) Upari iste činioce

3) Izvuci kvadrat

Bratov savet: razlika između $(-x)^2$ i $-x^2$

Bratov savet: Najveća caka u sedmom razredu je razlika između $(-x)^2$ i $-x^2$.

Zapamti: Ako nema zagrade, minus se NE kvadrira!

Sa zagradom: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$ (minus je u zagradi, pa i on ide na kvadrat).

Bez zagrade: $-5^2 = -(5 \cdot 5) = -25$ (kvadrira se samo petica, a minus ostaje da stoji ispred).

Ovo pravilo se često koristi i kad kreneš sa operacijama sa kvadratnim korenima i temom pojam iracionalnog broja i broj √2.

Razlika između minus sa zagradom i bez zagrade

Najčešće greške

Zaboravljanje zagrade kod razlomaka. Deca često napišu $\frac{2}{3}^2$ i onda kvadriraju samo dvojku, pa dobiju $\frac{4}{3}$. To je pogrešno! Moraš staviti celu zagradu: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.Sabiranje kvadrata kao da je množenje. Neki pomisle da je $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. Ovo je ogromna greška! To pravilo važi samo za množenje i deljenje, a za sabiranje se uči posebna formula (kvadrat binoma) o kojoj ćemo pričati drugi put. Zato, kad imaš $(4 - 5)^2$, prvo izračunaj zagradu: $(-1)^2 = 1$.
Zagrada čuva poene na kontrolnom.

Pitanja i odgovori — razlika sa i bez zagrade

oja je razlika između kvadriranja sa zagradom i bez nje?

Glavna razlika je u tome na šta se tačno odnosi kvadrat. Ako nema zagrade, kvadrira se isključivo broj uz koji kvadrat stoji, ali ne i znak ispred njega ili ceo razlomak.

Ovo pravilo pravi ogromnu razliku u dva ključna slučaja:

Kod negativnih brojeva:

Sa zagradom: Minus se nalazi unutar zagrade, pa se i on kvadrira. Pošto proizvod dva negativna broja daje plus, rezultat je uvek pozitivan. Primer: $(-5)^2 = (-5)\cdot(-5)=25$.

Bez zagrade: Kvadrira se isključivo broj, dok minus ostaje da stoji ispred konačnog rezultata. Primer: $-5^2=-(5\cdot5)=-25$.

Kvadriranje sa zagradom i bez zagrade

Pitanja i odgovori — razlomci i decimale

Kod razlomaka:

Bez zagrade: Ako se kvadrat napiše samo iznad brojioca, kvadriraće se samo gornji broj i dobiće se pogrešan rezultat.

Sa zagradom: Da bi se pravilno kvadrirao ceo razlomak, on se mora staviti u zagradu kako bi se kvadrirali i brojilac i imenilac.

(-4)^2 je 16, a -4^2 je -16.

Kako se kvadrira mešoviti broj?

Objasni mi pravilo za kvadrat proizvoda i količnika.

Kako se pravilno kvadriraju razlomci i decimalni brojevi?

Kvadriranje razlomaka i decimalnih brojeva se zasniva na osnovnom pravilu da je kvadrat broja jednostavno taj broj pomnožen samim sobom.

Decimalni brojevi: Decimalni brojevi se kvadriraju običnim množenjem tog broja sa njim samim. Na primer, $0,4^2=0,4\cdot0,4=0,16$.

Razlomci: Kada su u pitanju razlomci, primenjuje se pravilo za kvadrat količnika koje kaže da se kvadrira posebno brojilac, a posebno imenilac, odnosno $(\frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}$.

Kod razlomaka obavezno kvadriraš i brojilac i imenilac.

Pitanja i odgovori — kvadrat proizvoda i količnika uz primere

Kolika je razlika između (-4)² i -4²?

Šta se dešava kada kvadriramo negativan broj?

Kako se koristi rastavljanje na činioce za kvadrate?

Objasni pravila za kvadrat proizvoda i količnika uz primere.

Pravila za kvadrat proizvoda i količnika su izuzetno korisna jer ti pomažu da znatno olakšaš računanje, posebno kada radiš sa velikim brojevima.

1. Kvadrat proizvoda. Pravilo glasi: $(a\cdot b)^2=a^2\cdot b^2$.

Primer: $2^2\cdot5^2=(2\cdot5)^2=10^2=100$.

2. Kvadrat količnika. Pravilo glasi: $(\frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}$ ili $(a:b)^2=a^2:b^2$.

Primer: $\frac{135^2}{9^2}=(\frac{135}{9})^2=15^2=225$.

Pravila kvadrata proizvoda i količnika

Važna napomena i zaključak lekcije

Veoma važna napomena: Ova pravila važe isključivo za množenje i deljenje. Česta greška je da se pomisli da slično pravilo važi i za sabiranje, odnosno da je $(a+b)^2=a^2+b^2$, što je velika greška (za sabiranje se uči posebna formula koja se zove kvadrat binoma).

Zaključak: Da sumiramo: kvadrat racionalnog broja je samo taj broj pomnožen samim sobom i uvek je pozitivan (osim za nulu). Pazi na zagrade kod minusa i razlomaka, koristi ona dva pravila za proizvode da sebi skratiš računanje, i videćeš kako se zadaci sami rešavaju. Kvadrat racionalnog broja za 7. razred se uči samo jednom, a trebaće ti do kraja školovanja!

Bitno za dalje

Ova tema je osnova za kvadratni koren i iracionalne brojeve.

Provera razumevanja

Hajde sada da vidimo da li si skapirao glavnu caku. Možeš li da mi kažeš koliko je $(-4)^2$, a koliko je $-4^2$? Napiši mi tvoj odgovor i idemo dalje!

Provera znanja kvadrat racionalnog broja