Proporcija — pravila, primeri i glavno svojstvo

Proporcija bez panike

Ćao! Znam šta ti prolazi kroz glavu kad vidiš zadatak sa četiri broja i gomilom dvotačaka. Izgleda kao neka šifra za sef. Ali, veruj mi, proporcija za 6. razred je zapravo samo matematička vaga koja mora da bude u savršenoj ravnoteži.

Kad naučiš jedno jedino pravilo, rešavaćeš ove zadatke brže nego što možeš da trepneš. Ovo gradivo prirodno pripada matematici za 6. razred, a lepo se uklapa i u širu priču kroz matematiku za osnovnu školu.

  • Šta je uopšte proporcija
  • Kako se rešava proporcija kada je nepoznata $x$
  • Šta ako je proporcija zapisana u obliku razlomka
  • Koje su najčešće greške kod proporcija
Glavna ideja cele lekcije je prosta: kad je proporcija tačna, leva i desna strana moraju da budu u savršenoj ravnoteži.
Matematika i proporcija ispisane na tabli

Šta je uopšte proporcija

Da ne komplikujemo sa teškim definicijama: proporcija je samo jednakost dve razmere. A razmera je najobičnije deljenje. Znači, proporcija ti prosto kaže da su dva deljenja potpuno ista.

Osnovni zapis

Proporcija se zapisuje ovako: $a : b = c : d$.

Ovo čitamo kao: $a$ prema $b$ odnosi se isto kao $c$ prema $d$.

Ako hoćeš da uhvatiš vezu između dvotačke i deljenja, korisno je da u glavi povežeš proporciju i pojam razlomka, jer je cela priča zasnovana na istom odnosu.

Zapis proporcije a prema b jednako c prema d

Primer sa sokom na razblaživanje

Zamisli da praviš sok na razblaživanje. Ako staviš $1$ čašu sirupa na $3$ čaše vode, to je odnos $1 : 3$. Taj ukus biće potpuno isti i kad staviš $2$ čaše sirupa na $6$ čaša vode, odnosno $2 : 6$.

To je čista proporcija u stvarnom životu: $1 : 3 = 2 : 6$. Zbog toga je korisno da proporciju zamišljaš kao matematičku vagu koja mora da bude u ravnoteži.

Ako su dva odnosa ista, dobijaš istu proporciju. Ako nisu ista, vaga se “naginje” i zapis nije tačan.

Brza slika u glavi

Sok ima isti ukus kada je odnos sastojaka isti, čak i ako su količine veće.

$1 : 3$ i $2 : 6$ zato govore istu priču.

✍ Zapamti: Proporcija ne poredi veličinu brojeva, nego njihov odnos.

Spoljašnji i unutrašnji članovi

Da bi rešio bilo koji zadatak sa proporcijama, moraš da znaš ko je ko u ovoj ekipi. U proporciji $a : b = c : d$ brojevi na samim krajevima, odnosno prvi i poslednji ($a$ i $d$), zovu se spoljašnji članovi.

Brojevi koji su jedan do drugog u sredini, tik oko znaka jednako ($b$ i $c$), zovu se unutrašnji članovi.

1
Prvi broj

Ide u spoljašnje članove.

2
Srednja dva

To su unutrašnji članovi.

3
Poslednji broj

Zatvara spoljašnje članove.

4
Najvažnije

Krajevi i sredina ne mešaju se međusobno.

Spoljašnji i unutrašnji članovi proporcije obeleženi na primeru

Glavno svojstvo proporcije i trik sa dugom

Glavno, zlatno pravilo proporcije glasi: proizvod spoljašnjih članova uvek mora biti jednak proizvodu unutrašnjih članova. Matematički se ovo najvažnije pravilo zapisuje kao $a \cdot d = b \cdot c$.

Trik sa dugom

  1. Olovkom na papiru nacrtaj jedan veliki luk koji spaja prvi i poslednji broj, odnosno tvoje spoljašnje članove.
  2. Zatim nacrtaj jedan mali luk koji spaja dva broja u sredini, odnosno tvoje unutrašnje članove.
  3. Kada to nacrtaš, lukovi će izgledati kao duga iznad brojeva.
  4. Nakon toga samo pomnožiš brojeve koji su povezani istim lukom i nikad nećeš promašiti pravilo.
Uvek množiš “kraj sa krajem, a sredinu sa sredinom”.

Ova logika ti kasnije mnogo pomaže i kada rešavaš jednačine i zadatke gde treba pažljivo da izdvojiš nepoznatu.

Zlatno pravilo

$a \cdot d = b \cdot c$

Spoljašnji zajedno. Unutrašnji zajedno.

Bratov savet
Ako se zbuniš, nacrtaj dugu. Vizuelno radi bolje od bubanja napamet.

Primer sa nepoznatim spoljašnjim članom

Hajde da vidimo kako ovo pravilo spašava život na kontrolnom kad ti fali jedan broj. Rešavamo proporciju $x : 4 = 15 : 10$.

Korak 1:
Primenimo pravilo i pomnožimo spoljašnje članove ($x$ i $10$) i unutrašnje članove ($4$ i $15$): $x \cdot 10 = 4 \cdot 15$.
Korak 2:
Izračunamo onu stranu gde imamo oba broja: $x \cdot 10 = 60$.
Korak 3:
Sada rešavamo najobičniju jednačinu. Kako dobijamo $x$? Tako što rezultat podelimo poznatim brojem: $x = 60 : 10$.
Konačno rešenje je $x = 6$.

Ako ti prija da misliš kroz jednačine, isti obrazac ćeš sretati i u lekciji jednačine u vezi s množenjem i deljenjem.

Rešavanje proporcije sa nepoznatim spoljašnjim članom x

Primer sa nepoznatim unutrašnjim članom

Potpuno ista logika se primenjuje i kada se nepoznata $x$ nalazi na mestu unutrašnjeg člana. Rešavamo proporciju $3 : x = 9 : 12$.

Postupak

Opet koristimo apsolutno isto pravilo. Množimo spoljašnje ($3$ i $12$) i unutrašnje ($x$ i $9$): $3 \cdot 12 = x \cdot 9$.

Izračunamo levu stranu: $36 = x \cdot 9$.

Da bismo dobili $x$, delimo rezultat poznatim činiocem: $x = 36 : 9$.

Rešenje je $x = 4$.

Ovde se lepo vidi da proporcija nije ništa mistično, već nekoliko uredno zapisanih koraka.

Primer proporcije sa nepoznatim unutrašnjim članom x

Šta ako je proporcija u obliku razlomka

Kada je proporcija zapisana kao jednakost dva razlomka, nema razloga za brigu jer važe potpuno ista pravila, iako ovakav zapis često uplaši učenike. U pitanju je potpuno ista ona priča, samo se primenjuje unakrsno množenje.

Unakrsno množenje

Ako je zapis $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, gornji levi broj se množi sa donjim desnim, a donji levi sa gornjim desnim.

Posle toga dobijaš istu jednačinu koju bi dobio i iz zapisa $a : b = c : d$.

Ako ti je lakše da sve vidiš kroz razlomke, ovo je sasvim legitiman put. Korisno je i kao nastavak na lekcije poput deljenja razlomaka i kao uvod za primenu proporcija u direktnoj i obrnutoj proporcionalnosti.

Dakle: zapis je drugačiji, ali pravilo nije novo.
Proporcija zapisana u obliku razlomka i unakrsno množenje

Najčešće greške kod proporcija

Ovo pogreši skoro svako, pa pazi da ti ne oduzmu bodove na glupostima.

Množenje prvog sa prvim

Neko se na kontrolnom zbuni, pa pomnoži prva dva broja međusobno i druga dva broja međusobno, praveći grešku računanjem $a \cdot b = c \cdot d$. To je nepravilno.

Strah od razlomaka

Kada se proporcija zapiše kao jednakost dva razlomka, to neretko uplaši učenike. U pitanju je potpuno isto pravilo, samo zapis izgleda drugačije.

Zaboravljen redosled koraka

Prvo postaviš jednačinu po pravilu spoljašnji = unutrašnji, zatim izračunaš poznatu stranu, pa tek onda deliš da dobiješ $x$.

Uvek množite “kraj sa krajem, a sredinu sa sredinom”. Nemoj da menjaš pravilo usred zadatka.

Kada ovo savladaš, lakše će ti leći i naredne teme kao što su obrnuto proporcionalne veličine i produžena proporcija.

Najčešće greške pri rešavanju zadataka sa proporcijama

Pitanja i odgovori o nepoznatoj x

U tekstu se više puta vrte ista pitanja, i to je skroz normalno, jer tu učenici najčešće zapnu.

Kako se rešava proporcija kada je nepoznata x?

Da bi se rešila proporcija kada je nepoznata $x$, koristi se zlatno pravilo proporcije: proizvod spoljašnjih članova uvek mora biti jednak proizvodu unutrašnjih članova.

Posle toga izračunaš poznatu stranu i podeliš dobijeni rezultat poznatim brojem uz $x$.

Pokaži mi primer sa nepoznatom x

Primer $x : 4 = 15 : 10$ vodi do jednačine $x \cdot 10 = 4 \cdot 15$, zatim do $x \cdot 10 = 60$ i na kraju do $x = 6$.

Pokaži mi još jedan primer sa nepoznatim unutrašnjim članom

Primer $3 : x = 9 : 12$ daje $3 \cdot 12 = x \cdot 9$, zatim $36 = x \cdot 9$ i konačno $x = 4$.

Mini podsetnik

1. Postavi proporciju.

2. Primeni $a \cdot d = b \cdot c$.

3. Izračunaj poznatu stranu.

4. Podeli i dobij $x$.

✍ Caka: Kad je $x$ već u proizvodu sa nekim brojem, poslednji korak je deljenje.

Pitanja i odgovori o razlomcima, čitanju i soku

Šta ako je proporcija u obliku razlomka?

Kada je proporcija zapisana kao jednakost dva razlomka, postupak je isti. Samo se primenjuje unakrsno množenje: gornji levi broj se množi sa donjim desnim, a donji levi sa gornjim desnim brojem.

Kako se čita proporcija a : b = c : d?

Čita se: $a$ prema $b$ odnosi se isto kao $c$ prema $d$.

Objasni primer sa sokom na razblaživanje

Ako staviš $1$ čašu sirupa na $3$ čaše vode, dobijaš isti ukus kao kad staviš $2$ čaše sirupa na $6$ čaša vode. Odnos ostaje isti, pa je proporcija tačna.

Ovo je dobra priprema za kasnije zadatke gde se proporcija koristi praktično u složenijim situacijama.

Isti odnos, ista priča

$1 : 3 = 2 : 6$

Količine su različite, ali odnos nije promenjen.

Zaključak i rezime

Da sumiramo: proporcija za 6. razred nije nikakav bauk, već samo jedno prosto pravilo u kom moraš da pomnožiš spoljašnje i unutrašnje brojeve. Zapamti foru sa dugom, pažljivo piši svaki korak ispod koraka kao što smo radili u primerima i greške neće biti.

  • Proporcija je jednakost dve razmere.
  • Spoljašnji su prvi i poslednji član, a unutrašnji su ona dva u sredini.
  • Glavno svojstvo je $a \cdot d = b \cdot c$.
  • U obliku razlomka važi isto pravilo, samo ga vidiš kao unakrsno množenje.
  • Najčešća greška je množenje pogrešnih parova brojeva.
Možeš ti to da rešiš zatvorenih očiju ako ostaneš veran redosledu koraka.
Za dalje vežbanje

Pogledaj još srodne zadatke iz proporcija, jednačina i proporcionalnih veličina da učvrstiš isti obrazac rešavanja.

✍ Poslednji podsetnik: Kraj sa krajem. Sredina sa sredinom.