Osna simetrija — osa simetrije, preslikavanje i primeri iz života

Osna simetrija — sklad koji vidimo svuda oko sebe

Pogledaj leptira — leva i desna strana krila su potpuno jednake. Pogledaj svoje lice u ogledalu — ono što vidiš je tvoj odraz, simetričan originalu. Upravo ta „pokloplojenost" dve strane jednog oblika jeste osna simetrija.

Ova lekcija iz matematike za 5. razred ti objašnjava šta je osa simetrije, kako nastaju osnosimetrične figure i zašto je simetrija svuda oko nas — od prirode do arhitekture.

  • Pojam simetrije i osne simetrije
  • Osa simetrije i simetrične tačke
  • Osobine osne simetrije (dužine, uglovi, paralelnost)
  • Osnosimetrične figure i primeri iz života
Simetrija u prirodi — leptir osna simetrija

Šta je simetrija?

Reč simetrija dolazi iz grčkog jezika i znači „potpuni sklad delova". U matematici, simetrija označava preslikavanje figura — postupak kojim od jednog oblika dobijamo njegov „par" po određenom pravilu.

Postoje tri vrste simetrije:

  1. Osna simetrija — preslikavanje u odnosu na pravu (osu)
  2. Centralna simetrija — preslikavanje u odnosu na tačku
  3. Translacija — preslikavanje za zadati vektor (pomeranje)
U ovoj lekciji bavimo se osnom simetrijom — najčešćom vrstom simetrije koju srećeš u prirodi, umetnosti i svakodnevnom životu.
Pojam simetrije ogledalo preslikavanje

Osa simetrije — prava koja deli figuru na dva jednaka dela

Ako možeš da podneš neku sliku jednom linijom na dva potpuno jednaka dela koji se poklapaju — ta linija je osa simetrije. Obeležavamo je najčešće slovom $s$.

Zamisli da presaviješ papir po toj liniji — obe polovine bi se potpuno poklopile. To je najlakši test za simetriju!

Evo praktičnog zadatka:

  1. Uzmi papir A4 formata
  2. Presavij ga po sredini
  3. Nacrtaj nešto bojom koja se ne suši brzo (tuš, mastilo ili tempera)
  4. Preklopi papir i pritisni
  5. Otvori — tvoj crtež se preslikao na drugu stranu!
Linija po kojoj si presavio papir je osa simetrije. Originalni crtež je original, a preslikani je slika. Za crteže sa suprotnih strana kažemo da su osnosimetrični.
Presavijanje papira osa simetrije zadatak

Simetrične tačke i osobine osne simetrije

Tačka $A_1$ je osno simetrična tački $A$ u odnosu na osu $s$ ako važi:

  • Duž $AA_1$ je normalna na osu $s$
  • Osa $s$  polovi (deli na pola) duž $AA_1$

Kažemo da su $A$ i $A_1$  uzajamno simetrične tačke.

Ako se tačka nalazi na samoj osi simetrije, ona se slika u samu sebe! Dakle, tačke ose simetrije su sopstvene slike.
Simetrične tačke osa simetrije geometrija

Očuvanje dužina

Ako je $\overline{AB}$ duž, njena slika $\overline{A_1B_1}$ ima istu dužinu

Očuvanje uglova

Mera svakog ugla ostaje ista nakon preslikavanja

Očuvanje paralelnosti

Paralelne prave se preslikavaju u paralelne prave

Simetrala duži i osna simetrija

Za dve tačke $A$ i $B$ kažemo da su simetrične u odnosu na pravu  $s$ ako:

  • Prava $s$ je normalna na duž $\overline{AB}$
  • Prava $s$  polovi duž $\overline{AB}$

Ovakvu pravu $s$ zovemo simetrala duži  $\overline{AB}$.

Svaka tačka simetrale duži $\overline{AB}$ jednako je udaljena od tačaka $A$ i $B$. Ovo je veoma korisno svojstvo — zapamti ga za lekciju o simetralama!

Za svaku ravnu figuru $F$ može se odrediti figura $F_1$ koja je osnosimetrična sa $F$ u odnosu na zadatu osu $s$.

Osnosimetrične figure se mogu poklopiti. Kažemo da su te dve figure podudarane (kongruentne).

Osnosimetrični trouglovi preslikavanje

Osnosimetrične figure — jednakokraki trougao

Neke figure imaju osu simetrije unutar sebe — one se same mogu podeliti na dva jednaka dela. Takve figure zovemo osnosimetrične.

Posmatraj jednakokraki trougao:

  • Ima jednu osu simetrije — to je visina na osnovicu
  • Dva kraka su jednaka, pa se dve polovine poklapaju

A jednakostraničan trougao ima čak $3$ ose simetrije — po jednu kroz svako teme!

Jednakokraki trougao osa simetrije
Za više o osnosimetričnim figurama (krug, pravougaonik, kvadrat, romb) pogledaj lekciju Osnosimetrične figure.

Simetrija u prirodi i umetnosti

Simetrija nije samo matematički pojam — ona je svuda oko nas! Još od davnina čovek je u prirodi uočavao simetriju i primenjivao je u svojim tvorevinama.

Leptiri i insekti

Milijarde vrsta insekata su simetrične — leptirova krila su savršen primer osne simetrije

Ljudsko lice

Lice je približno simetrično u odnosu na vertikalnu osu — leva i desna strana su slične

Partenon u Atini

Stari Grci su smatrali da je u simetričnom obliku sadržana harmonija i lepota ovog sveta

Tajna večera

Slavna slika Leonarda da Vinčija — prostor prizora je osnosimetričan, apostoli raspoređeni simetrično

Nefertiti, egipatska kraljica, smatra se najlepšom ženom svih vremena upravo zato što je u njenom liku sadržana savršena simetrija leve i desne strane lica.

Od kristala snega, preko listova biljaka, do zvezdanih oblika — priroda koristi simetriju kao jedno od osnovnih pravila oblikovanja.

Partenon Atina simetrija u arhitekturi

Origami i Roršahove mrlje — simetrija u praksi

Savijanjem papira bez lenjira i makaza možemo napraviti osnosimetrične figure. Ta veština zove se origami — deo japanske kulture i tradicije.

Najpoznatiji primer osnosimetričnih slika su Roršahove mrlje. Švajcarski psihijatar Herman Roršah (1884–1922) osmislio je test s mastilom: sipao bi mastilo na papir, presavio ga i tako dobio osnosimetričnu sliku. Objavio je 10 kartica — 5 u boji i 5 crno-belih.

Upravo smo i mi radili Roršahov postupak u zadatku sa presavijenim papirom! Ako presaviješ papir i nacrtaš nešto na jednoj strani, dobićeš osnosimetričnu sliku.
Origami osna simetrija presavijanje papira

Bratov savet

Kad god nisi siguran da li je figura osnosimetrična, probaj „test presavijanja" — zamisli da presavijaš figuru po nekoj liniji. Ako se obe polovine poklapaju — ta linija je osa simetrije. Ako nijedna linija ne radi — figura nije osnosimetrična!

Greška #1: „Svaka figura ima osu simetrije"

Pogrešno! Raznostraničan trougao, na primer, nema nijednu osu simetrije. Samo figure koje se mogu podeliti na dva poklopiva dela su osnosimetrične.

Greška #2: „Osa simetrije mora biti vertikalna"

Ne mora! Osa simetrije može biti horizontalna, vertikalna, kosa — zavisi od figure. Slovo „B" ima horizontalnu osu, slovo „A" ima vertikalnu, a ugao može imati kosu osu.

Greška #3: „Simetrične tačke su na istoj udaljenosti od centra figure"

To važi za centralnu simetriju, ne za osnu! Kod osne simetrije tačke su jednako udaljene od ose, a duž koja ih spaja je normalna na osu.

Krug ima beskonačno mnogo osa simetrije — svaki prečnik je jedna osa. Kvadrat ima $4$ ose, jednakostraničan trougao $3$, a pravougaonik $2$.

Rezime — osna simetrija na jednom mestu

Simetrija znači „potpuni sklad delova" i označava preslikavanje figura. Osna simetrija je preslikavanje u odnosu na pravu — osu simetrije.

Ključne činjenice za ponavljanje:

  • Osa simetrije $s$ — prava koja deli figuru na dva poklopiva dela
  • Simetrične tačke — jednako udaljene od ose, na normali na osu
  • Osobine: čuva dužine duži, mere uglova i paralelnost pravih
  • Simetrala duži — prava normalna na duž koja je polovi
  • Osnosimetrična figura — figura koja ima bar jednu osu simetrije unutar sebe
  • Krug: beskonačno osa, kvadrat: $4$, jednakostraničan trougao: $3$, jednakokraki: $1$

Nastavi sa učenjem: Osnosimetrične figure | Simetrala ugla | Simetrale duži | Svi predmeti za 5. razred | Matematika za osnovnu školu