Nejednačine oblika ax ≷ b — svojstva, pravila i rešavanje korak po korak

Nejednačine oblika ax ≷ b — zašto su važne?

U prethodnoj lekciji o nejednačinama naučio si osnove — znake poređenja i jednostavne primere. Sad idemo korak dalje: naučićeš da rešavaš nejednačine u kojima se pojavljuju množenje i deljenje.

U ovoj lekciji iz matematike za 5. razred naučićeš:

  • Svojstva nejednačina — šta smeš, a šta ne smeš raditi
  • Kako rešavati nejednačine oblika $ax > b$ i $ax < b$
  • Kako rešavati nejednačine oblika $x : a > b$ i $a : x > b$
  • Pravila za transformaciju nejednačina
Nejednačine oblika ax veće od b matematika 5. razred

Svojstva nejednačina — pravila igre

Pre nego počneš da rešavaš, moraš da znaš koja su pravila „dozvoljena":

✅

Sabiranje i oduzimanje

Obe strane možeš uvećati ili umanjiti za isti broj. Znak se NE menja.
$a > b \Rightarrow a + c > b + c$

✅

Množenje pozitivnim

Obe strane možeš pomnožiti pozitivnim brojem. Znak se NE menja.
$a > b,\; m > 0 \Rightarrow ma > mb$

⚠️

Množenje negativnim

Kad množiš negativnim brojem, znak se OKREĆE!
$a > b,\; n < 0 \Rightarrow na < nb$

🔄

Tranzitivnost

Ako je $a > b$ i $b > c$, onda je $a > c$.

Svojstva nejednačina pravila za množenje i sabiranje

Nejednačine oblika ax > b (i ax < b)

Pravilo

Da bi rešio nejednačinu $ax > b$, podeli obe strane sa $a$. Ako je $a > 0$, znak ostaje isti. Ako je $a < 0$, znak se okreće!

Primer 1:  $3x > 12$

Korak 1: Podeli obe strane sa $3$ (pozitivan broj — znak ostaje).
Korak 2:  $x > 4$

Rešenja u prirodnim brojevima: $5, 6, 7, 8, \ldots$

Primer 2:  $5x \leq 20$

  • Delimo sa $5$: $x \leq 4$
  • Rešenja u prirodnim brojevima: $1, 2, 3, 4$
Nejednačine oblika ax veće od b primeri rešavanje

Nejednačine oblika x : a > b

Pravilo

Da bi rešio nejednačinu $x : a > b$, pomnoži obe strane sa $a$. Ako je $a > 0$, znak ostaje isti.

Primer 1:  $x : 4 > 3$

Korak 1: Pomnoži obe strane sa $4$.
Korak 2:  $x > 12$

Rešenja u prirodnim brojevima: $13, 14, 15, 16, \ldots$

Primer 2:  $x : 5 \leq 6$

  • Množimo sa $5$: $x \leq 30$
  • Rešenja: $1, 2, 3, \ldots, 29, 30$
Ovo je zapravo obrnuta operacija od množenja: ako je $x : a > b$, onda je $x > a \cdot b$.
Nejednačine oblika x podeljeno a veće od b

Nejednačine oblika a : x > b — pažljivo!

Ovaj oblik je malo složeniji jer se nepoznata $x$ nalazi u deliocu. Ne možeš jednostavno da „prebaciš" — moraš da probaš vrednosti ili primeniš logiku.

Primer:  $12 : x > 3$ (u skupu prirodnih brojeva)

Korak 1: Probamo vrednosti: za koje prirodne brojeve $x$ važi da je $12 : x > 3$?
Korak 2:  $x = 1$: $12 : 1 = 12 > 3$ ✓ | $x = 2$: $12 : 2 = 6 > 3$ ✓ | $x = 3$: $12 : 3 = 4 > 3$ ✓
Korak 3:  $x = 4$: $12 : 4 = 3$ — nije veće od $3$, pa ✗

Rešenja: $x \in \{1, 2, 3\}$

Kod oblika $a : x$ uvek pazi da $x \neq 0$ — deljenje nulom nije dozvoljeno!
Nejednačine oblika a podeljeno x veće od b

Pravila za transformaciju nejednačina

Da bi uspešno rešavao nejednačine, zapamti ova zlatna pravila:

Pravilo 1 — prenos člana

Bilo koji član možeš preneti s jedne strane na drugu uz promenu znaka operacije (iz $+$ u $-$ i obrnuto). Znak nejednačine se ne menja.

$2x - 3 > 6 \Rightarrow 2x > 6 + 3 \Rightarrow 2x > 9$

Pravilo 2 — deljenje/množenje pozitivnim

Kad deliš ili množiš obe strane pozitivnim brojem, znak ostaje isti.

$2x > 9 \Rightarrow x > 4{,}5$

Pravilo 3 — deljenje/množenje negativnim

Kad deliš ili množiš obe strane negativnim brojem, znak se OKREĆE!

$-3x > 6 \Rightarrow x < -2$ (znak $>$ je postao $<$)

Pravila za transformaciju nejednačina prenos člana

Složeniji primeri — korak po korak

Primer 1:  $4x + 16 \leq 0$

  1. Prebaci $16$: $4x \leq -16$
  2. Podeli sa $4$: $x \leq -4$

Primer 2:  $2x + 5 > 13$

  1. Prebaci $5$: $2x > 13 - 5 = 8$
  2. Podeli sa $2$: $x > 4$

Primer 3:  $7x - 3 \geq 18$

  1. Prebaci $-3$: $7x \geq 21$
  2. Podeli sa $7$: $x \geq 3$
Princip je uvek isti: prebaci slobodne članove na jednu stranu, članove sa $x$ na drugu, pa podeli koeficijentom!
Složeniji primeri rešavanja nejednačina korak po korak

Prikaz rešenja na brojevnoj pravoj

Rešenje svake nejednačine možeš da prikažeš na brojevnoj pravoj. To ti pomaže da vizuelno proveriš odgovor.

Primer:  $-6x + 12 > 0$

  1. Nađi gde je izraz jednak nuli: $-6x + 12 = 0 \Rightarrow x = 2$
  2. Na brojevnoj pravoj označi $2$ (prazan krug jer je stroga nejednačina)
  3. Testiraj: za $x = 1$: $-6 \cdot 1 + 12 = 6 > 0$ ✓
  4. Rešenje je levo od $2$: $x < 2$
○

Prazan krug

Stroge nejednačine ($< , >$): granični broj nije uključen.

●

Pun krug

Nestroge nejednačine ($\leq, \geq$): granični broj jeste uključen.

Prikaz rešenja nejednačine na brojevnoj pravoj

Bratov savet — najčešće greške

⚠️

Zaboravljeno okretanje znaka

Kad množiš ili deliš negativnim brojem, znak se okreće! Ovo je greška broj 1.

⚠️

Deljenje nulom

Kod nejednačina $a : x > b$ — nikad ne sme biti $x = 0$!

⚠️

Prenos bez promene znaka

Kad prebacuješ član na drugu stranu, menjaj $+$ u $-$ i obrnuto!

💡

Provera

Uvek zameni jedno rešenje u polaznu nejednačinu i proveri da li je tačna. Pogledaj i osnovne nejednačine.

Bratov savet najčešće greške nejednačine oblika

Rezime — šta smo naučili?

Ključna pravila

  1. $ax > b$: podeli obe strane sa $a$. Ako je $a > 0$, znak ostaje; ako je $a < 0$, znak se okreće.
  2. $x : a > b$: pomnoži obe strane sa $a$ → $x > a \cdot b$.
  3. $a : x > b$: probaj vrednosti ili primeni logiku — pazi na $x \neq 0$.
  4. Članove prenosiš na drugu stranu uz promenu znaka operacije.
  5. Rešenje prikaži na brojevnoj pravoj (prazan ili pun krug).

Nejednačine su važan temelj za sve dalje učenje matematike. Pogledaj i lekcije iz matematike za 5. razred za još vežbe!

Savladao/savladala si nejednačine oblika ax ≷ b! Uradi kviz iznad da proveriš znanje.
Rezime nejednačine oblika ax veće od b