Primene linearnih jednačina

Primene linearnih jednačina — tvoj rečnik za tekstualne zadatke

Da se ne lažemo, niko ne voli „tekstualne zadatke". Vidiš pasus teksta o pešacima koji hodaju, ocu i sinu koji stare, ili zadacima na testu koji se boduju, i mozak odmah poželi da preskoči na sledeću stranu.

Ali, lekcija primene linearnih jednačina 8. razred je zapravo samo učenje jednog stranog jezika! Tvoj posao nije da računaš napamet, već da srpski jezik prevedeš na jezik matematike (ovo fensi zovemo „matematičko modelovanje").

Kad jednom postaviš jednačinu, samo je rešiš po onim pravilima koje već znaš iz lekcije rešavanje linearnih jednačina sa jednom nepoznatom. Ajde da napravimo ultimativni rečnik za prevod!

Za celokupan pregled pogledaj matematiku za osmi razred.

Primene linearnih jednačina — uvod

Rečnik za prevođenje (Srpski → Matematika)

Neka je naša tražena nepoznata broj $x$. Kako se prevode ključne rečenice sa kontrolnog?

„Za 5 veći od x"

Pišeš: $x + 5$

„Za 5 manji od x"

Pišeš: $x - 5$

„5 puta veći od x"

Pišeš: $5 \cdot x$

„5 puta manji od x"

Pišeš: $\frac{x}{5}$

„Polovina broja x"

Pišeš: $\frac{x}{2}$

„20% od broja x"

Pišeš: $0.20 \cdot x$

Rečnik za prevođenje — nepoznata x

Kako se postavlja jednačina? (Korak po korak)

Svaki tekstualni zadatak se rešava u tri laka koraka:

Korak 1: Odredi ko je x

Pročitaj pitanje na kraju zadatka. Ono što ti traže, to obično proglasiš za $x$.

Korak 2: Prevedi tekst u izraz

Koristi rečnik iznad da povežeš to $x$ sa brojevima iz zadatka.

Korak 3: Nađi znak jednakosti

U tekstu uvek postoji rečenica koja kaže da su dve stvari iste ili da zajedno daju neki zbir (npr. „dobio je 38 bodova"). Tu udaraš znak $=$.

Matematičko modelovanje — postavljanje jednačine

Tip 1: Zadaci sa bodovanjem na testu

Zadatak: Na testu je bilo $20$ zadataka. Za svaki tačan dobijaš $4$ boda, za netačan gubiš $3$ boda. Marko je imao $38$ bodova. Koliko je zadataka rešio tačno?

Prevod:  $x$ = broj tačnih. Netačnih je $20 - x$.

$4x + (-3)(20 - x) = 38$

$4x - 60 + 3x = 38$

$7x = 98$

$x = 14$

Odgovor: Marko je tačno rešio $14$ zadataka!

Zadatak sa bodovanjem na testu

Tip 2: Zadaci sa godinama (Porodična drama)

Zadatak: Otac danas ima $37$ godina, a sin ima $7$ godina. Za koliko godina će otac biti tačno $3$ puta stariji od sina?

Prevod:  $x$ = broj godina koji mora da prođe. Za $x$ godina: otac $37 + x$, sin $7 + x$. Pazi — obojica stare!

$37 + x = 3(7 + x)$

$37 + x = 21 + 3x$

$-2x = -16$

$x = 8$

Odgovor: Otac će biti 3 puta stariji za tačno $8$ godina.

Najčešća greška: Učenici napišu $37 + x = 3 \cdot 7$. Otac je ostario za $x$ godina, a jadni sin je zauvek ostao u prvom razredu. Moraš dodati $+x$ i jednome i drugome!

Zadatak sa godinama — otac i sin

Tip 3: Zadaci iz geometrije (Uleće Pitagora)

Zadatak: Obim pravougaonika je $28 \text{ cm}$. Izračunaj površinu ako se stranice razlikuju za $4 \text{ cm}$.

Kraća stranica je $a$, duža je $b = a + 4$.

$2a + 2(a + 4) = 28$

$4a + 8 = 28$

$4a = 20$

$a = 5 \text{ cm}$, $b = 9 \text{ cm}$

Površina:  $P = 5 \cdot 9 = 45 \text{ cm}^2$

Zadatak iz geometrije — obim pravougaonika

Bratova caka — logička provera

Najjača stvar kod tekstualnih zadataka: Uvek možeš da proveriš rezultat u glavi!

Kad dobiješ da je Marko rešio $14$ zadataka, probaj sam:

  • $14$ tačnih $\cdot 4$ boda $= 56$ bodova
  • Ostalo je $6$ netačnih $\cdot (-3)$ boda $= -18$ bodova
  • Kad sabereš: $56 - 18 = 38$ bodova ✓

Ako se tvoja provera uklapa u tekst zadatka, sto posto si dobio maksimalan broj poena!

Logička provera rezultata

Primer 4: Zadatak sa razlomcima

Zadatak: Koji broj treba dodati brojiocu i oduzeti od imenioca razlomka $\frac{11}{14}$ da bi se dobio razlomak $\frac{2}{3}$?

Prikaži postupak rešavanja

Jednačina: $\frac{11 + x}{14 - x} = \frac{2}{3}$

Unakrsno množenje: $3(11 + x) = 2(14 - x)$

$33 + 3x = 28 - 2x$

$5x = -5$

$x = -1$

Odgovor: Traženi broj je $-1$ (oduzimamo 1 od brojioca i dodajemo 1 imeniocu).

Primer 5: Uzastopni brojevi

Zadatak: Zbir četiri uzastopna prirodna broja je $1014$. Koji su to brojevi?

Prikaži postupak rešavanja

$n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 1014$

$4n + 6 = 1014$

$4n = 1008$

$n = 252$

Odgovor: Brojevi su $252, 253, 254, 255$.

Zadaci sa razlomcima i uzastopnim brojevima

Primer 6: Mešanje robe

Prikaži zadatak i rešenje

Zadatak: Na skladištu ima kafe po 75 din/kg i po 55 din/kg. Napraviti 120 kg mešavine po 68 din/kg.

Sistem: $x + y = 120$ i $75x + 55y = 120 \cdot 68$

Odgovor:  $78$ kg skuplje i $42$ kg jeftinije kafe.

Primer 7: Cifre dvocifrenog broja

Prikaži zadatak i rešenje

Zadatak: Zbir cifara dvocifrenog broja je $14$. Razlika broja i broja sa zamenjenim ciframa je $36$.

Dvocifreni broj: $10x + y$. Sistem: $x + y = 14$ i $9x - 9y = 36$

Skraćeno: $x - y = 4$. Rešenje: $x = 9, y = 5$.

Odgovor: Traženi broj je $95$.

Mešanje robe i cifre — tekstualni zadaci

Primer 8: Kretanje na reci

Zadatak: Brod uzvodno pređe 96 km za 8 h, a nizvodno isti put za 6 h. Kolika je brzina broda i rečnog toka?

Prikaži postupak rešavanja

Brzina broda: $v_1$, brzina reke: $v_2$

Uzvodno (sporije): $(v_1 - v_2) \cdot 8 = 96$ → $v_1 - v_2 = 12$

Nizvodno (brže): $(v_1 + v_2) \cdot 6 = 96$ → $v_1 + v_2 = 16$

Saberemo: $2v_1 = 28$ → $v_1 = 14$ km/h

$v_2 = 2$ km/h

Odgovor: Brzina broda $14$ km/h, brzina reke $2$ km/h.

Zadatak sa kretanjem — brod na reci

Primer 9: Životinje na farmi

Prikaži zadatak i rešenje

Zadatak: Na farmi su krave i guske. Prebrojano je 56 glava i 140 nogu. Koliko ima kojih?

$x + y = 56$ (glave) i $4x + 2y = 140$ (noge)

Odgovor:  $14$ krava i $42$ guske.

Primer 10: Odnosi između brojeva

Prikaži zadatak i rešenje

Zadatak: Zbir dva broja je $60$. Jedan je tri puta veći od drugog. Odredi ih.

$x + y = 60$ i $y = 3x$

Zamena: $x + 3x = 60$ → $4x = 60$ → $x = 15$

Odgovor: Brojevi su $15$ i $45$.

Za zadatke sa nejednačinama pogledaj primene linearnih nejednačina.

Zadaci sa životinjama i odnosima brojeva

Najčešće greške na kontrolnom

Zaboravljanje da SVI stare

U zadacima sa godinama moraš dodati $+x$ i ocu i sinu! Obojica stare istovremeno.

Mešanje „za manje" i „puta manje"

„Za 3 manje od $x$" je $x - 3$ (oduzimanje). „3 puta manje" je $\frac{x}{3}$ (deljenje). Velika razlika!

Preskakanje provere

Logička provera u glavi traje 30 sekundi, a garantuje ti sigurne poene. Nikad je ne preskači!

Najčešće greške u tekstualnim zadacima

Zaključak — primene linearnih jednačina

Nema razloga za paniku kada vidiš tekst na testu! Lekcija primene linearnih jednačina 8. razred od tebe samo traži da polako, rečenicu po rečenicu, pretvaraš slova u matematičke operacije.

Tvoja čeklista:

  • Nađi svoje $x$ — ono što se traži
  • Prevedi srpski u matematiku — koristi rečnik
  • Postavi jednakost — nađi gde piše „ukupno", „jednako"...
  • Reši ekvivalentnim transformacijama
  • Proveri rezultat logički u glavi!

Pazi na: „za manje" ≠ „puta manje", SVI stare u zadacima sa godinama

Nastavi sa učenjem: rešavanje linearnih jednačina, jednačine oblika i jednakosti i nejednakosti.

Rezime — primene linearnih jednačina