Dve ravni. Određenost ravni

Dve ravni. Određenost ravni — kako kontrolisati prostor

Znaš onaj osećaj kad sedneš u kafić, a sto ima četiri noge i non-stop se klati jer je pod malo neravan? A onda pogledaš stativ za telefon ili barsku stolicu sa tri noge — oni stoje kao zakovani!

Tajna ovog fenomena se krije u lekciji dve ravni i određenost ravni 8. razred. Danas učimo kako se ravni (zidovi i podovi) ponašaju u prostoru i koja su to pravila koja ih drže na mestu. Ajde da postavimo stvari na svoje mesto!

Ova lekcija je nastavak onoga što smo naučili u tačka i prava, tačka i ravan i prava i ravan, odnos dve prave. Za celokupan pregled oblasti pogledaj matematiku za osmi razred.

Međusobni položaj dve ravni (Paralelne ili se seku)

Zamisli svoju sobu. Ravan može biti tvoj pod (neka se zove $\alpha$ ), a druga ravan može biti tvoj plafon (neka se zove $\beta$ ).

U $3\text{D}$ prostoru, dve različite ravni mogu da imaju samo dva moguća položaja:

Paralelne ravni

$\alpha \parallel \beta$

Pod i plafon. Koliko god da ih širiš u beskonačnost, nikada se neće dodirnuti. Nemaju nijednu zajedničku tačku:

$\alpha \cap \beta = \emptyset$

Ravni koje se seku

Zamisli pod i jedan zid sobe. Oni se spajaju tačno u onoj donjoj ivici (lajsni). Ta ivica je zapravo jedna prava linija!

Zlatno pravilo: Presek dve ravni

Ako dve ravni imaju makar jednu zajedničku tačku, one se sigurno seku. A kada se dve ravni seku, njihov presek je uvek jedna prava linija.

Zapamti:

Paralelne ravni → presek = prazan skup ( $\emptyset$ )
Ravni koje se seku → presek = jedna prava linija
„Mimoilazne ravni" ne postoje!

Šta je diedar (Ugao u prostoru)?

Kada nacrtaš dve linije na papiru, one prave običan ugao. Ali, kada spojiš dve poluravni tako da imaju zajedničku ivicu (kao napola otvorena knjiga ili laptop), dobijaš figuru koja se zove diedar.

Diedar meri nagib jedne ravni u odnosu na drugu — na primer, da li si otvorio ekran pod pravim uglom ili si ga skroz oborio.

Zamisli laptop: ekran je jedna poluravan, tastatura je druga, a onaj deo gde se preklapaju (šarka) je njihova ivica.

Određenost ravni — šta nam treba da „zakucamo" ravan?

Kao što su ti za pravu liniju dovoljne samo dve tačke da je fiksiraš, tako postoje i pravila šta ti je potrebno da fiksiraš (odrediš) jednu jedinu ravan. Imamo tri glavne teoreme koje moraš da znaš kao pesmicu:

Teorema 1

Ravan je određena jednom pravom i jednom tačkom van te prave.

(Zamisli olovku na stolu i jednu mrvicu pored nje. Samo jedan ravan list papira može da preklopi i olovku i mrvicu istovremeno).

Teorema 2

Ravan je određena sa dve prave koje se seku.

(Slovo X uvek leži na samo jednoj ravni).

Teorema 3

Ravan je određena sa dve različite paralelne prave.

(Zamisli šine za voz. One idu po istom, savršeno ravnom tlu).

Šta fali na spisku? Mimoilazne prave!

Mimoilazne prave nikada ne određuju ravan, jer ne mogu da stanu na isti ravan papir! Ne postoji nijedna ravan koja bi ih istovremeno obuhvatila.

Pregled — šta određuje ravan:

Tri nekolinearne tačke ✓
Prava + tačka van nje ✓
Dve prave koje se seku ✓
Dve paralelne prave ✓
Mimoilazne prave ✗

Više o mimoilaznim pravama možeš pročitati u prethodnoj lekciji.

Mimoilazne prave ne mogu da odrede ravan

Rešavanje onog problema sa stolom koji se klati

Zašto se sto sa četiri noge klati, a sto sa tri noge nikad?

Odgovor leži u pravilima za određenost ravni! Tri tačke (kraja nogica) uvek, ali uvek određuju tačno jednu ravan. Pod može biti kriv koliko god hoćeš, te tri tačke će napraviti svoju savršenu ravan i sto će biti stabilan.

Sto sa četiri noge zahteva da sve četiri tačke budu komplanarne (da leže u istoj ravni). Ako je jedna nogica makar milimetar kraća, ona „iskače" iz te ravni i sto počinje da se klati. Matematika uvek pobeđuje fiziku!

Sto sa tri noge — stabilnost zahvaljujući tri tačke

Bratov savet: Prava i tačka — pazi na reč „van"!

U zadacima te često pitaju „Koliko maksimalno ravni određuju prava $p$ i tačka $A$ ?".

Tačka A na pravoj p

Određuju beskonačno mnogo ravni (zamisli knjigu koja se okreće oko svoje ivice).

Tačka A van prave p

Po Teoremi 1 određuju tačno jednu jedinu ravan.

Uvek pažljivo čitaj tu reč „van"!

Prava i tačka — beskonačno ili jedna ravan

Pregled: Dva položaja ravni i tri teoreme

Pravilo	Rezultat	Primer
Paralelne ravni	Presek = $\emptyset$	Pod i plafon
Ravni koje se seku	Presek = prava linija	Pod i zid (lajsna)
Teorema 1: prava + tačka van nje	1 ravan	Olovka + mrvica
Teorema 2: dve prave koje se seku	1 ravan	Slovo X
Teorema 3: dve paralelne prave	1 ravan	Šine za voz
Mimoilazne prave	Nemoguće!	Ne staju u istu ravan

Najčešće greške

„Mimoilazne ravni" — ne postoje!

Ponekad učenici misle da postoje mimoilazne ravni (kao što postoje mimoilazne prave). To ne postoji! Dve ravni mogu samo da budu paralelne (nikad se ne sretnu) ili da se seku (sudare se u jednoj pravoj liniji). Treće opcije nema.

„Presek dve ravni je tačka"

Ovo je greška koju napraviš kad brzopleto crtaš. Zamisliš dve ravni koje se dodiruju samo u ćošku. To je u prostoru nemoguće, jer su ravni beskonačne. Čim se dodirnu u jednoj tački, one će se „preseći" kroz čitav taj presek, a taj presek je prava linija.

Zaboraviš reč „van" u zadatku

Prava i tačka na toj pravoj → beskonačno mnogo ravni. Prava i tačka van te prave → tačno jedna ravan. Ta jedna reč menja ceo odgovor!

Najčešće greške — dve ravni i određenost

Zadatak za razmišljanje

Izazov: Ako imamo dve paralelne ravni (pod i plafon) i presečemo ih trećom ravni (zamisli da jedan kosi zid preseče i pod i plafon). Kakav će biti međusobni odnos one dve linije preseka (gornje i donje)?

Korak 1: Treća ravan (kosi zid) seče pod → nastaje jedna prava linija na podu.

Korak 2: Treća ravan (kosi zid) seče plafon → nastaje jedna prava linija na plafonu.

Korak 3: Pod i plafon su paralelni, pa se ove dve linije nikada ne mogu sresti. Obe linije su u istoj ravni (kosi zid), a ne seku se.

Odgovor: Te dve linije preseka su međusobno paralelne!

Zaključak

To bi bilo to! Tema dve ravni i određenost ravni 8. razred je zapravo samo shvatanje kako da napraviš stabilan pod. Sve što ti treba su tri nekolinearne tačke, prava i tačka van nje, prave koje se seku ili prave koje su paralelne. Diedar ti meri ugao između otvorenih vrata i zida, a mimoilazne prave ne mogu ni u jednu jednačinu za ravan.

Ključne stvari za kontrolni: