Primena Pitagorine teoreme na jednakokraki trougao

Primena Pitagorine teoreme na jednakokraki trougao — formule, zadaci i cake za kontrolni (7. razred)

Znamo da jednakokraki trougao na prvi pogled nema onaj prepoznatljivi prav ugao koji nam treba za Pitagorinu teoremu. Zbog toga ovaj oblik često deluje kao bauk. Međutim, primena Pitagorine teoreme na jednakokraki trougao za 7. razred se svodi samo na jedan jednostavan potez: povlačenje visine.

Kada povučeš tu jednu liniju, ceo problem se raspada na dva obična pravougla trougla koja već umeš da rešiš. Hajde da vidimo kako to tačno funkcioniše i kako da rešiš zadatke bez greške.

Ova lekcija prirodno prati matematiku za sedmi razred i naslanja se na Pitagorinu teoremu, kao i na primene na pravougaonik i kvadrat.

Primena Pitagorine teoreme na jednakokraki trougao uvod

Gde se tačno krije pravougli trougao?

Podsetimo se delova jednakokrakog trougla: on ima jednu osnovicu ( $a$ ) i dva jednaka kraka ( $b$ ).

Kada iz gornjeg temena povučeš visinu na osnovicu ( $h_a$ ), ona pada pod pravim uglom i seče osnovicu na dva potpuno jednaka dela. Svaki od tih delova je dugačak $\frac{a}{2}$ .

Shutterstock

Tim potezom si dobio dva ista pravougla trougla! Posmatraj samo jedan od njih (na primer, desni):

Hipotenuza (najduža stranica) je krak: $b$
Jedna kateta je visina: $h_a$
Druga kateta je polovina osnovice: $\frac{a}{2}$

Osnovna formula

Kada to ubacimo u osnovnu Pitagorinu teoremu, dobijamo formulu:

$b^2 = h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Računanje kraka (kad znaš osnovicu i visinu)

Ovo je osnovni tip zadatka. Dobiješ mere koje su "unutar" i na dnu trougla, a traži se bočna stranica.

Primer 1: Izračunaj dužinu kraka jednakokrakog trougla ako je osnovica $a = 12 \, \text{cm}$ , a visina koja odgovara osnovici $h_a = 8 \, \text{cm}$ .

Postupak rešavanja:

Prvo odmah izračunaj polovinu osnovice: $\frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{cm}$
Napiši formulu: $b^2 = h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
Ubaci brojeve: $b^2 = 8^2 + 6^2$
Kvadriraj: $b^2 = 64 + 36$
Saberi: $b^2 = 100$
Izvuci koren: $b = \sqrt{100}$

Rešenje:

b = 10 \, \text{cm}

Računanje kraka jednakokrakog trougla kada su poznate osnovica i visina

Računanje visine (kad znaš stranice)

Ovo je malo češći zadatak jer ti nastavnici obično daju stranice da bi na kraju tražili površinu (a za površinu ti treba visina). Pošto tražiš katetu, moraš da oduzimaš!

Primer 2: Odredi površinu jednakokrakog trougla čija je osnovica $a = 10 \, \text{cm}$ , a krak $b = 13 \, \text{cm}$ .

Postupak rešavanja: Da bismo izračunali površinu ( $P = \frac{a \cdot h_a}{2}$ ), fali nam visina $h_a$ .

Nalazimo polovinu osnovice: $\frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm}$

Pišemo formulu za katetu (oduzimanje): $h_a^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Ubacujemo brojeve: $h_a^2 = 13^2 - 5^2$

Kvadriramo: $h_a^2 = 169 - 25$

Oduzimamo: $h_a^2 = 144$

Rešenje za visinu: $h_a = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm}$

Sada računamo površinu:

$P = \frac{a \cdot h_a}{2}$

$P = \frac{10 \cdot 12}{2} = \frac{120}{2} = 60 \, \text{cm}^2$

Kad tražiš katetu (visinu), koristiš oduzimanje kvadrata:

h_a^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2

Bratov savet

Bratov savet: Caka koja spašava bodove glasi: odmah izdvoj i izračunaj $\frac{a}{2}$ pre nego što kreneš da pišeš dugačku formulu. Ako je $a = 16$ , napiši sa strane $\frac{a}{2} = 8$ . Zatim u formulu ubaci samo broj 8. Tako izbegavaš rad sa razlomcima unutar kvadrata koji uvek naprave haos.

Za rad sa korenima koristiće ti i lekcije kvadratni koren i broj √2.

Bratov savet za polovinu osnovice a kroz 2

Pitanje: Kako se računa površina kada dobijem visinu?

Kada dobiješ (ili izračunaš) visinu koja odgovara osnovici ( $h_a$ ), površinu jednakokrakog trougla računaš pomoću osnovne formule: $P= \frac{a\cdot h_a}{2}$ .

Postupak je vrlo jednostavan:

Pomnožiš dužinu cele osnovice ( $a$ ) sa visinom ( $h_a$ ).
Dobijeni rezultat podeliš sa 2.

Veoma je važno obratiti pažnju na jedan detalj: za razliku od primene Pitagorine teoreme gde koristiš samo polovinu osnovice ( $\frac{a}{2}$ ), za računanje površine obavezno koristiš punu dužinu osnovice ( $a$ ).

Kao što smo videli u prethodnom primeru, ako imaš osnovicu $a=10 \text{ cm}$ i visinu $h_a=12 \text{ cm}$ , površinu ćeš izračunati ovako: $P= \frac{10\cdot12}{2}= \frac{120}{2}=60 \text{ cm}^2$ .

Kvadriraću broj 8 umesto stranice osnovice.

Pitanje: Pokaži mi primer kako izračunati krak preko visine

Evo primera kako da izračunaš dužinu kraka ( $b$ ) kada su ti poznate dužina osnovice ( $a$ ) i visina koja odgovara osnovici ( $h_a$ ).

Ovaj osnovni tip zadatka se rešava primenom formule $b^2 = h_a^2 +(\frac{a}{2})^2$ . Pošto tražiš krak, koji predstavlja hipotenuzu u uočenom pravouglom trouglu, koristiš sabiranje kvadrata kateta.

Primer: Izračunaj dužinu kraka jednakokrakog trougla ako je osnovica $a=12 \text{ cm}$ , a visina $h_a=8 \text{ cm}$ .

Postupak rešavanja:

Izračunaj polovinu osnovice: $\frac{a}{2}=\frac{12}{2}=6 \text{ cm}$ .
Napiši formulu: $b^2 = h_a^2 +(\frac{a}{2})^2$ .
Ubaci brojeve: $b^2 =8^2+6^2$ .
Kvadriraj vrednosti: $b^2 =64+36$ .
Saberi: $b^2 =100$ .
Izvuci koren: $b=\sqrt{100}$ .

Konačno rešenje: $b=10 \text{ cm}$ .

Primer izračunavanja kraka preko visine u jednakokrakom trouglu

Daj 5 zadataka i objasni ih postupak — Zadatak 1

Zadatak 1: Izračunaj dužinu kraka jednakokrakog trougla ako je osnovica $a=12 \text{ cm}$ , a visina koja odgovara osnovici $h_a=8 \text{ cm}$ .

Postupak: Prvi korak je uvek izračunavanje polovine osnovice: $\frac{a}{2}=\frac{12}{2}=6 \text{ cm}$ . Zatim zapisujemo Pitagorinu teoremu kojom tražimo hipotenuzu (krak) u pravouglom trouglu: $b^2=h_a^2+(\frac{a}{2})^2$ . Ubacivanjem vrednosti dobijamo $b^2=8^2+6^2$ , što nakon kvadriranja daje $b^2=64+36$ . Sabiranjem dobijamo $b^2=100$ , pa je izvlačenjem korena dužina kraka $b=\sqrt{100}=10 \text{ cm}$ .

5 zadataka — korak po korak

Zadatak 2

Zadatak 2: Odredi površinu jednakokrakog trougla čija je osnovica $a=10 \text{ cm}$ , a krak $b=13 \text{ cm}$ .

Postupak: Da bismo izračunali površinu ( $P=\frac{a\cdot h_a}{2}$ ), moramo prvo saznati visinu $h_a$ . Nalazimo polovinu osnovice: $\frac{a}{2}=\frac{10}{2}=5 \text{ cm}$ . Zatim postavljamo Pitagorinu teoremu za dobijanje katete (visine) oduzimanjem kvadrata nad drugom katetom od kvadrata hipotenuze: $h_a^2=b^2-(\frac{a}{2})^2$ . Dobijamo izraz $h_a^2=13^2-5^2$ , odnosno $h_a^2=169-25=144$ . Visina iznosi $h_a=\sqrt{144}=12 \text{ cm}$ . Na kraju računamo površinu: $P=\frac{10\cdot12}{2}=\frac{120}{2}=60 \text{ cm}^2$ .

Zadatak 2 površina jednakokrakog trougla preko visine

Zadatak 3

Zadatak 3: Izračunati obim i površinu jednakokrakog trougla čiji je krak 17 cm, a visina koja odgovara osnovici 15 cm.

Postupak: Ovde tražimo nepoznatu polovinu osnovice preko formule $(\frac{a}{2})^2=b^2-h_a^2$ . Zamenjujemo poznate vrednosti: $(\frac{a}{2})^2=17^2-15^2=289-225=64$ . Izvlačenjem korena dobijamo da je polovina osnovice $\frac{a}{2}=8 \text{ cm}$ , što znači da je cela osnovica $a=16 \text{ cm}$ . Sada lako nalazimo obim sabiranjem svih stranica: $O=a+2b=16+2\cdot17=16+34=50 \text{ cm}$ . Površina se dobija formulom $P=\frac{a\cdot h_a}{2}$ , pa je $P=\frac{16\cdot15}{2}=120 \text{ cm}^2$ .

Rezultati

$a=16 \text{ cm}$ , $O=50 \text{ cm}$ , $P=120 \text{ cm}^2$

Zadatak 4

Zadatak 4: Ako je krak jednakokrakog trougla 10 cm, a osnovica 12 cm, izračunati: obim, površinu i visinu koja odgovara kraku ( $h_b$ ).

Postupak: Prvo moramo izračunati visinu na osnovicu ( $h_a$ ) pomoću Pitagorine teoreme: $h_a^2=b^2-(\frac{a}{2})^2$ . Uvrstimo brojeve: $h_a^2=10^2-(\frac{12}{2})^2=100-36=64$ , pa je $h_a=\sqrt{64}=8 \text{ cm}$ . Obim dobijamo sabiranjem stranica: $O=a+2b=12+2\cdot10=12+20=32 \text{ cm}$ . Površinu dobijamo standardnom formulom $P=\frac{a\cdot h_a}{2}$ , što znači $P=\frac{12\cdot8}{2}=48 \text{ cm}^2$ . Da bismo izračunali visinu koja odgovara kraku ( $h_b$ ), koristimo istu površinu ali drugu formulu za nju: $P=\frac{b\cdot h_b}{2}$ . Menjamo poznate vrednosti: $48=\frac{10\cdot h_b}{2}$ , a odatle izračunavamo $h_b=\frac{48\cdot2}{10}=9{,}6 \text{ cm}$ .

Zadatak 4 obim površina i visina na krak jednakokrakog trougla

Zadatak 5

Zadatak 5: Obim jednakokrakog trougla je 42 cm, a osnovica je za 6 cm duža od kraka. Izračunati površinu tog trougla.

Postupak: Prvo treba naći dužine stranica preko zadatih uslova. Postavljamo jednačine: $O=a+2b$ i $a=b+6$ . Ako vrednost $a$ ubacimo u jednačinu za obim, dobijamo $42=(b+6)+2b$ , odnosno $42=3b+6$ . Rešavanjem dobijamo $3b=36$ , pa je krak $b=12 \text{ cm}$ . Osnovica je tada $a=12+6=18 \text{ cm}$ . Sledeći korak je nalaženje visine pomoću Pitagorine teoreme: $h_a^2=b^2-(\frac{a}{2})^2=12^2-(\frac{18}{2})^2=144-81=63$ . Odatle je visina $h_a=\sqrt{63}=3\sqrt{7} \text{ cm}$ . Konačno, računamo površinu uvrštavanjem u formulu $P=\frac{a\cdot h_a}{2}$ , pa dobijamo $P=\frac{18\cdot3\sqrt{7}}{2}=27\sqrt{7} \text{ cm}^2$ .

Rezultat:

P=27\sqrt{7} \text{ cm}^2

Najčešće greške

Zaboravljanje da se osnovica podeli sa 2

Učenik pročita da je $a = 10 \, \text{cm}$ i u formulu ubaci broj 10 umesto broja 5. Ako to uradiš, dobijaš katetu koja je duža nego što bi trebalo, pa će i rezultat biti potpuno pogrešan.

Pogrešno kvadriranje razlomka

Neki đaci pišu celu osnovicu u zagradi pa pogreše pri kvadriranju. Na primer, napišu $\left(\frac{10}{2}\right)^2$ i izračunaju kao $\frac{100}{2} = 50$ . A trebalo je $\frac{100}{4} = 25$ (jer se kvadrira i imenilac). Opet, vrati se na Bratov savet iznad da ovo izbegneš!

Najčešće greške kod jednakokrakog trougla i Pitagorine teoreme

Zaključak

Da sumiramo: čitava primena Pitagorine teoreme na jednakokraki trougao leži u tome da uočiš pravougli trougao koji čine krak $b$ , visina $h_a$ i polovina osnovice $\frac{a}{2}$ . Kada postaviš formulu $b^2 = h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ , pazi samo da li se traži hipotenuza (sabiranje) ili kateta (oduzimanje).

Za dodatno vežbanje pređi i na primenu na jednakostranični trougao i obrat Pitagorine teoreme.

Ključ: uvek prvo izračunaj

\frac{a}{2}

Provera logike

Da proverimo kako ti ide logika za ovaj trougao: ako dobiješ zadatak gde je osnovica $a = 16 \, \text{cm}$ , a visina $h_a = 15 \, \text{cm}$ , koji broj ćeš kvadrirati umesto stranice osnovice kada kreneš da tražiš krak $b$ ?