Površina četvorougla s normalnim dijagonalama

Naslov zvuči strašno, ali račun je zapravo među najlakšima u celoj oblasti površina. Ako znaš da prepoznaš dijagonale i umeš da pomnožiš dva broja, pola posla je gotovo.

Ova lekcija se lepo naslanja na pojam površine ravnih figura. jednakost površina, na jedinice mere za dužinu i površinu, na deltoid, površinu paralelograma, površinu trougla i površinu trapeza.

prvo sređuješ šta su dijagonale i šta znači normalno
posle učiš glavnu formulu
onda rešavaš osnovne i obrnute zadatke
na kraju proveravaš greške, zadatke i zaključak

Glavna poruka: ako se dijagonale seku pod pravim uglom, površina ide preko njih, ne preko stranica.

Površina četvorougla s normalnim dijagonalama

Šta su dijagonale

Dijagonale su duži koje spajaju naspramna temena četvorougla. Obeležavamo ih sa $d_1$ i $d_2$ .

Definicija

Dijagonala spaja dva suprotna ćoška figure.

Nemoj da ih mešaš sa stranicama. Stranice su spolja, a dijagonale su unutrašnje duži.

Ako u zadatku vidiš i stranice i dijagonale, prvo proveri šta formula zaista traži.

Obeležavanje

$d_1$ i $d_2$

unutrašnje duži

Šta znači da su dijagonale normalne

Reč normalne ovde znači da se dijagonale seku pod pravim uglom, dakle pod $90^\circ$ . To je isto kao da kažeš da su međusobno upravne.

Normalne dijagonale = dijagonale koje grade prav ugao.

Kad ih nacrtaš, često liče na znak plus ili na krst unutar figure.

Koje figure imaju ovakve dijagonale

U šestom razredu ćeš ovu formulu najčešće primenjivati kod tri figure: kvadrata, romba i deltoida.

□

Kvadrat

Dijagonale su jednake i normalne

◇

Romb

Dijagonale su normalne i polove se

🪁

Deltoid

Dijagonale su normalne, jedna polovi drugu

Za deltoid pogledaj i posebnu lekciju Deltoid, a za kvadrat i romb su korisne i vrste paralelograma.

Primeri figura

kvadrat

romb

deltoid

Glavna formula

Ako četvorougao ima normalne dijagonale, njegova površina se računa formulom:

$P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$

To znači: pomnožiš obe dijagonale i rezultat podeliš sa 2.

Nema visine, nema stranica, nema komplikovanja. Samo dijagonale i deljenje sa 2.

Formula za površinu preko normalnih dijagonala

Zašto delimo sa 2

Zamisli da oko te figure nacrtaš zamišljeni pravougaonik čije su stranice duge baš koliko i dijagonale $d_1$ i $d_2$ . Površina tog pravougaonika bila bi $d_1\cdot d_2$ .

Ali sam četvorougao sa normalnim dijagonalama zauzima tačno polovinu tog prostora. Zato rezultat mora da se prepolovi.

Caka

prvo zamisliš pravougaonik, pa onda uzmeš njegovu polovinu

Logika

$d_1\cdot d_2$

pa onda : 2

Primer 1: osnovni zadatak

Izračunaj površinu deltoida ako su dijagonale $d_1=10\,cm$ i $d_2=7\,cm$ .

1. Pišeš formulu

P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}

2. Ubacuješ brojeve:

P=\frac{10\cdot7}{2}

3. Množiš:

P=\frac{70}{2}

4. Deliš:

P=35\,cm^2

Rešenje: površina je

35\,cm^2

Osnovni primer za površinu preko dijagonala

Bratov trik: skrati pre množenja

Kad vidiš izraz tipa $\frac{12\cdot5}{2}$ , nemoj odmah da računaš $12\cdot5=60$ .

Prvo skratiš: $\frac{12\cdot5}{2}=6\cdot5=30$ .

Taj trik štedi vreme i smanjuje šansu da pogrešiš kad su brojevi veći ili decimalni.

Ako je jedan broj paran, skoro uvek se isplati da prvo deliš sa 2, pa tek onda množiš.

Brže računanje

skrati

pa množi

manje grešaka

Primer 2: tražimo drugu dijagonalu

Površina romba je $24\,cm^2$ , a jedna dijagonala $d_1=8\,cm$ . Kolika je druga dijagonala $d_2$ ?

1. Pišeš:

24=\frac{8\cdot d_2}{2}

2. Skratiš

\frac{8}{2}=4

, pa dobiješ

24=4\cdot d_2

3. Deliš sa 4:

d_2=\frac{24}{4}=6\,cm

Kod obrnutih zadataka ne menjaš formulu, samo iz nje izvučeš nepoznatu dijagonalu.

Kvadrat, romb i deltoid kao posebni slučajevi

Kod kvadrata i romba formula je ista, jer i oni imaju normalne dijagonale. Kod kvadrata još važi da su dijagonale jednake, pa ako obe označiš sa $d$ , dobijaš:

$P=\frac{d\cdot d}{2}=\frac{d^2}{2}$

Kod romba i deltoida dijagonale uglavnom nisu jednake, pa koristiš standardni zapis sa $d_1$ i $d_2$ .

Najvažnije je da prepoznaš da li su dijagonale normalne. Ako jesu, formula radi bez obzira na to da li je figura kvadrat, romb ili deltoid.

Specijalni slučaj

kvadrat: $d_1=d_2=d$

Zadaci: osnovni nivo

Zadatak 1

Dijagonale su $6\,cm$ i $8\,cm$ .

Rešenje: $P=\frac{6\cdot8}{2}=24\,cm^2$ .

Zadatak 2

Dijagonale su $12\,cm$ i $5\,cm$ .

Rešenje: $P=\frac{12\cdot5}{2}=30\,cm^2$ .

Zadatak 3

Dijagonale su $14\,cm$ i $9\,cm$ .

Rešenje: $P=\frac{14\cdot9}{2}=63\,cm^2$ .

Zadaci: srednji nivo

Zadatak 4

Površina je $40\,cm^2$ , a $d_1=10\,cm$ . Nađi $d_2$ .

Rešenje: $40=\frac{10\cdot d_2}{2}=5d_2$ , pa je $d_2=8\,cm$ .

Zadatak 5

Površina je $27\,cm^2$ , a $d_2=6\,cm$ . Nađi $d_1$ .

Rešenje: $27=\frac{d_1\cdot6}{2}=3d_1$ , pa je $d_1=9\,cm$ .

Zadatak 6

Dijagonale deltoida su $1{,}8\,dm$ i $1{,}4\,dm$ .

Rešenje: $P=\frac{1{,}8\cdot1{,}4}{2}=1{,}26\,dm^2$ .

Srednji nivo

formula ostaje ista

nekad tražiš dijagonalu

nekad radiš s decimalama

Zadaci: napredniji nivo

Zadatak 7

Kvadrat ima dijagonalu $8\,cm$ . Kolika mu je površina?

Rešenje: $P=\frac{8\cdot8}{2}=32\,cm^2$ .

Zadatak 8

Romb ima površinu $72\,cm^2$ i jednu dijagonalu $12\,cm$ . Kolika je druga dijagonala?

Rešenje: $72=\frac{12\cdot d_2}{2}=6d_2$ , pa je $d_2=12\,cm$ .

Zadatak 9

Romb ima dijagonale $18\,cm$ i $16\,cm$ . Kvadrat ima istu površinu. Kolika je stranica kvadrata?

Rešenje: površina romba je $\frac{18\cdot16}{2}=144\,cm^2$ . Kvadrat iste površine ima stranicu $12\,cm$ .

Zadatak 10

Na kvadratnoj mreži vidiš četvorougao čije su normalne dijagonale dugačke 5 cm i 6 cm.

Rešenje: $P=\frac{5\cdot6}{2}=15\,cm^2$ .

Napredniji zadaci sa normalnim dijagonalama

Kada se ova formula ne koristi

Formula $P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$ ne važi za baš svaki četvorougao. Moraš prvo da znaš da su dijagonale normalne.

✓

Radi

kvadrat, romb, deltoid i drugi četvorouglovi sa upravnim dijagonalama

✗

Ne radi automatski

za svaki proizvoljni pravougaonik ili trapez ako nije dato da su dijagonale normalne

Prvo proveri osobinu, pa tek onda formulu. To je tačka na kojoj se najlakše gube bodovi.

Redosled

1. proveri ugao

2. napiši formulu

3. računaj

Najčešće greške

Greška 1: zaboravi se deljenje sa 2

Ako samo pomnožiš $d_1\cdot d_2$ , dobio si prevelik rezultat. Formula traži obavezno deljenje sa 2.

Greška 2: koriste se stranice umesto dijagonala

Za ovu površinu te zanimaju samo dijagonale. Stranice ignorišeš osim ako ti zadatak posebno traži obim.

Greška 3: ne proveri se da li su dijagonale normalne

Formula ne ide automatski na svaki četvorougao. Mora da bude dato ili nacrtano da se dijagonale seku pod pravim uglom.

Greška 4: izostavi se kvadratna jedinica

Površina se piše u $cm^2$ , $dm^2$ , $m^2$ i slično.

Najbolja kontrola na kraju: proveri da li si koristio dijagonale, da li si delio sa 2 i da li si napisao kvadratnu jedinicu.

Najčešće greške kod površine preko dijagonala

Zaključak

Površina četvorougla s normalnim dijagonalama je jedna od najlakših formula u ovoj oblasti: $P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$ . Pomnožiš dijagonale, podeliš sa 2 i napišeš kvadratnu jedinicu.

Ključ uspeha je da prvo prepoznaš da su dijagonale normalne, da ne pobrkaš stranice i dijagonale i da kod obrnutih zadataka mirno iz formule izvučeš nepoznatu veličinu.

Kratko za pamćenje: normalne dijagonale → formula preko dijagonala → rezultat podeljen sa 2.

Za kraj

$d_1\cdot d_2$

pa onda : 2

i kvadratna jedinica

Kvizovi33otvorizatvori