Direktno proporcionalne veličine. Grafičko predstavljanje direktno proporcionalnih veličina

Šta su direktno proporcionalne veličine?

Ćao! Znam šta ti prolazi kroz glavu kad otvoriš knjigu i vidiš ovaj naslov. "Direktno proporcionalne veličine"... Zvuči komplikovano. Ali veruj mi — ovo je zapravo najobičnija stvar koju radiš svaki put kad odeš do prodavnice po užinu!

Zamisli da kupuješ sličice za album:

  • 1 kesica košta 80 dinara
  • 2 kesice koštaju 160 dinara (2 · 80)
  • 3 kesice koštaju 240 dinara (3 · 80)

Koliko puta više kesica kupiš, tačno toliko puta više para moraš da platiš. To je direktna proporcionalnost!

Kad jednom provališ kako ova zavisnost funkcioniše i kako se crta, zadaci na kontrolnom će ti biti čist zicer. Ajmo da to rasturimo zajedno! Ova lekcija nastavlja se na prikaz zavisnosti među veličinama i prikaz podataka u koordinatnom sistemu.

Direktno proporcionalne veličine primer kupovina sličice 6. razred

Šta znači "direktno proporcionalno" — definicija

Umesto dosadne definicije iz knjige, evo proste istine: dve veličine su direktno proporcionalne ako se ponašaju kao najbolji ortaci — prate se u stopu!

Zlatno pravilo: Ako jedna veličina poraste dva puta, i druga mora da poraste tačno dva puta. Ako se prva smanji tri puta, i druga mora da se smanji tri puta. Uvek isti faktor!

Ključna stvar: nije dovoljno da obe veličine rastu. One moraju rasti tačno istim faktorom svaki put.

Primeri iz svakodnevnog života:

  • Broj kesica sličica i ukupna cena
  • Pređeni put i potrošeno gorivo (pri jednakoj brzini)
  • Broj radnih sati i zarada

Za razliku od toga, visina i godine nisu direktno proporcionalne — više o tome u sekciji o najčešćim greškama.

Magični broj: koeficijent proporcionalnosti k

U matematici volimo sve da zapišemo formulama. Ono što se menja (npr. broj kesica) beležimo sa $x$, a ono što zavisi od toga (ukupan račun) beležimo sa $y$. Cena jedne kesice koja se nikada ne menja zove se koeficijent proporcionalnosti i obeležava se sa $k$.

Osnovna formula

$y = k \cdot x$

Zavisna veličina = koeficijent · nezavisna veličina

Kako naći k

$k = \frac{y}{x}$

Podeli "veliko" (ono što dobijaš) sa "malim" (količinom)

Koeficijent $k$ je zapravo cena jedne stavke — nepromenjiva konstanta koja važi za ceo zadatak. Za matematiku 6. razred, formula $y = k \cdot x$ je tvoj glavni alat u ovoj temi.

Koeficijent proporcionalnosti k formula y=kx direktna proporcija

Kako naći k u zadatku — korak po korak

Zadatak: "Ako 4 sveske koštaju 400 dinara, koliki je koeficijent $k$? Koliko koštaju 7 svezaka?"

Korak 1 — Naći k:

$k = \frac{y}{x} = \frac{400}{4} = 100$

Dakle, jedna sveska košta 100 dinara. To je tvoj koeficijent $k = 100$.

Korak 2 — Koristiti formulu za novi x:

$y = k \cdot x = 100 \cdot 7 = 700$

Sedam svezaka koštaju 700 dinara.

Broj svezaka (x)Cena u din (y)
1100
4400
7700
101000

Primetio si obrazac? Svaki put kad se $x$ pomnoži nekim brojem, $y$ se množi tačno istim brojem. To je direktna proporcionalnost na delu! Isti princip koristi i proporcija u 6. razredu.

Grafičko predstavljanje direktne proporcionalnosti — 3 koraka

Kada od tebe traže da nacrtaš grafik direktno proporcionalnih veličina, radiš to u 3 prosta koraka:

Korak 1 — Napravi tabelu

Odaberi par malih vrednosti za $x$ (npr. $0, 1, 2$) i izračunaj odgovarajuće $y$ vrednosti koristeći $y = k \cdot x$.

Korak 2 — Ucrtaj tačke

Postavi koordinate u koordinatni sistem. Količina ($x$) ide na horizontalnu osu, zavisna veličina ($y$) ide na vertikalnu osu.

Korak 3 — Provlači lenjir

Spoji tačke lenjirom. Dobijaš jednu pravu, kosu liniju. Nikada slobodnom rukom — uvek lenjir!

Primer za $y = 3x$ (k = 3):

xy = 3xTačka
00(0, 0)
13(1, 3)
26(2, 6)

Ucrtaj ove tri tačke u koordinatni sistem i spoji ih lenjirom. Rezultat je uvek prava linija!

Grafičko predstavljanje direktno proporcionalnih veličina 3 koraka

Bratov savet — zašto grafik UVEK prolazi kroz tačku (0, 0)?

Zlatno pravilo koje moras da znas napamet:

Grafik direktno proporcionalnih veličina je uvek prava linija koja prolazi tačno kroz koordinatni početak — tačku $(0, 0)$!

Zašto? Čista logika! Ako kupiš $x = 0$ kesica sličica, tvoj račun je $y = k \cdot 0 = 0$ dinara. Nula kesica = nula para. Uvek!

Matematički: kada zamenimo $x = 0$ u formulu $y = k \cdot x$, dobijamo $y = 0$. Tačka $(0, 0)$ uvek leži na grafiku!

Kontrola na testu: Ako spoji tačke i tvoja linija ne gađa nulu, negde si zabrljao u računanju. Odmah proveri koeficijent $k$!

Ova osobina razlikuje direktnu proporcionalnost od ostalih linearnih zavisnosti. Više o srodnim temama na obrnuto proporcionalne veličine i primena proporcija.

Kada je k pozitivan, a kada negativan — kvadranti

Koeficijent $k$ određuje izgled i položaj grafika u koordinatnom sistemu. Evo šta svaki slučaj znači:

k > 0 (pozitivan)

Funkcija je rastuća — grafik ide odozdo prema gore. Prava linija prolazi kroz I i III kvadrant.

Primer: $y = 3x$

k < 0 (negativan)

Funkcija je opadajuća — grafik ide odozgo prema dole. Prava linija prolazi kroz II i IV kvadrant.

Primer: $y = -2x$

U praksi (kupovina, merenje), koeficijent je uvek pozitivan. Negativni koeficijenti se pojavljuju u naprednim zadacima i pri prikazu raznih zavisnosti.

Bez obzira na predznak koeficijenta $k$, grafik uvek prolazi kroz koordinatni početak $(0, 0)$!
Kvadranti k pozitivan k negativan direktna proporcionalnost grafik

Crtanje grafika kada su uključeni negativni brojevi

Kada zadatak uključuje negativne vrednosti, koraci ostaju isti ali se slika širi na celi koordinatni sistem (sva 4 kvadranta).

Primer za $y = 2x$ (uključujući negativni x):

xy = 2xTačka
-1-2(-1, -2) — III kvadrant
00(0, 0) — koordinatni početak
12(1, 2) — I kvadrant

Praktično pravilo: Pošto grafik prolazi kroz $(0, 0)$, zapravo ti je dovoljna samo jedna izračunata tačka pored nule da povučeš preciznu liniju. Ipak, uvek izračunaj tri tačke radi sigurnosti!

Za pozitivan $k$: linija prolazi kroz I i III kvadrant (gore-desno i dole-levo).
Za negativan $k$: linija prolazi kroz II i IV kvadrant (gore-levo i dole-desno).

Više o koordinatnom sistemu pročitaj na lekciji pravougli koordinatni sistem u ravni.

Razlika između x-ose i y-ose

Pravo pitanje na svakom testu: šta ide na koju osu? Evo jasnog odgovora!

x-osa (apscisna osa)

Horizontalna (vodoravna) linija. Na njoj beležimo nezavisnu promenljivu — ono što biramo (broj kesica, broj sati, broj kg...).

y-osa (ordinatna osa)

Vertikalna (uspravna) linija. Na njoj beležimo zavisnu promenljivu — ono što izračunavamo (cena, zarada, pređeni put...).

Kada zapisujemo koordinate tačke, uvek prvi ide x, pa y: tačka $(x, y)$. Ove dve ose seku se u koordinatnom početku $(0, 0)$ pod pravim uglom.

Isti princip koristiš i u rastojanju između dve tačke i prikazu podataka u koordinatnom sistemu.

Razlika x-ose i y-ose apscisa ordinata koordinatni sistem

Zadaci 1–5: izračunavanje koeficijenta i cene

Zadatak 1 — Paprika

Ako 5 kg paprike košta 150 dinara, koliko košta 7 kg?

Rešenje:  $k = \frac{150}{5} = 30$. Za 7 kg: $y = 30 \cdot 7 = 210$ dinara.

Zadatak 2 — Prašak za veš

Za 5 kg praška plaća se 1200 dinara. Koliko za 9 kg?

Rešenje:  $k = \frac{1200}{5} = 240$. Za 9 kg: $y = 240 \cdot 9 = 2160$ dinara.

Zadatak 3 — Jabuke

2 kg jabuka košta 140 dinara. Koliko košta 5 kg?

Rešenje:  $k = \frac{140}{2} = 70$. Za 5 kg: $y = 70 \cdot 5 = 350$ dinara.

Zadatak 4 — Roba na komad

Za 35 kg robe plaćeno je 560 dinara. Koliko za 20 kg?

Rešenje:  $k = \frac{560}{35} = 16$. Za 20 kg: $y = 16 \cdot 20 = 320$ dinara.

Zadatak 5 — Gorivo

Za 6 l goriva plaća se 1218 dinara. Koliko za 18 l?

Rešenje:  $k = \frac{1218}{6} = 203$. Za 18 l: $y = 203 \cdot 18 = 3654$ dinara. Kraće: 18 l je 3 puta više od 6 l, pa $1218 \cdot 3 = 3654$.

Zadaci direktna proporcionalnost koeficijent k 1 do 5

Zadaci 6–10: tkanina, hleb, flašice i zvuk

Zadatak 6 — Tkanina

Od 50 kg prediva dobija se 160 m tkanine. Koliko metara od 110 kg?

Rešenje:  $k = \frac{160}{50} = 3{,}2$ m/kg. Za 110 kg: $y = 3{,}2 \cdot 110 = 352$ m.

Zadatak 7 — Hleb

Od 8 kg brašna dobija se 10 kg hleba. Koliko brašna treba za 75 kg hleba?

Rešenje:  $k = \frac{10}{8} = 1{,}25$. Tražimo $x$ (brašno): $x = \frac{y}{k} = \frac{75}{1{,}25} = 60$ kg.

Zadatak 8 — Kutije

Od 36 m² kartona pravi se 60 kutija. Koliko kutija od 69,6 m²?

Rešenje:  $k = \frac{60}{36} = \frac{5}{3}$. Za 69,6 m²: $y = \frac{5}{3} \cdot 69{,}6 = 116$ kutija.

Zadatak 9 — Flašice

Sa 9 litara vode puni se 12 flašica. Koliko flašica sa 21 litrom?

Rešenje:  $k = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$. Za 21 l: $y = \frac{4}{3} \cdot 21 = 28$ flašica.

Zadatak 10 — Brzina zvuka

Za 20 sekundi zvuk pređe 6800 m. Koliko pređe za 1 min 15 s?

Pazi na jedinice! 1 min 15 s = 75 s. $k = \frac{6800}{20} = 340$ m/s. Za 75 s: $y = 340 \cdot 75 = 25500$ m.

Najčešće greške — na ovome gube poene skoro svi!

Greška 1: Svaki rast je direktna proporcija

Učenici često misle da ako jedna veličina raste zajedno sa drugom, to znači da su direktno proporcionalne. Primer: Marko ima 10 godina i visok je 140 cm — kad bude imao 20 godina, biće visok 280 cm? Totalna glupost! Da bi bilo direktno proporcionalno, veličine moraju da se množe tačno istim faktorom svaki put.

Greška 2: Mešanje formula — x dele sa y umesto y sa x

Kada treba izračunati $k$, učenici u panici podele $x$ sa $y$, umesto obrnuto! Pamti: $k = \frac{y}{x}$ — uvek ono veliko što dobijaš ($y$) deliš sa količinom ($x$).

Greška 3: Grafik ne prolazi kroz (0, 0)

Ako na testu tačke spojite slobodnom rukom i linija ne prolazi kroz koordinatni početak, to je siguran znak greške u računanju. Uvek proveri da li je tačka (0, 0) na tvojoj pravoj!

Najčešće greške direktna proporcionalnost koeficijent grafik

Rezime — direktna proporcionalnost od A do Š

Definicija

Dve veličine su direktno proporcionalne ako se menjaju istim faktorom. Prate se u stopu!

Formula

$y = k \cdot x$ i $k = \frac{y}{x}$

k je koeficijent proporcionalnosti (konstanta).

Grafik

Uvek prava linija kroz koordinatni početak $(0, 0)$. k > 0 → I i III kvadrant. k < 0 → II i IV kvadrant.

Crtanje

Napravi tabelu (x = 0, 1, 2) → ucrtaj tačke → spoji lenjirom. Uvek lenjir!

Sledeći korak je obrnuto proporcionalne veličine gde ćeš videti šta se dešava kada veličine idu u suprotnom smeru. Za naprednu primenu pogledaj primenu proporcija i procenat u 6. razredu.