Najmanji zajednički sadržalac (NZS) — postupak, primeri i veza sa NZD

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) — šta je i čemu služi?

Zamisli da dva autobusa kreću sa iste stanice — jedan prolazi svakih $6$ minuta, drugi svakih $8$ minuta. Kada će ponovo biti na stanici u isto vreme? Za $24$ minuta! To je upravo najmanji zajednički sadržalac brojeva $6$ i $8$ .

U ovoj lekciji iz matematike za 5. razred naučićeš:

Šta su sadržaoci broja
Kako naći NZS pomoću liste sadržalaca
Kako naći NZS rastavljanjem na proste činioce
Vezu između NZS i NZD

Najmanji zajednički sadržalac NZS matematika 5. razred

Sadržaoci broja — šta su?

Sadržaoci (ili umnošci) broja $a$ su svi brojevi koji nastaju množenjem broja $a$ prirodnim brojevima.

Sadržaoci broja $4$ :

$4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, \ldots$

Sadržaoci broja $6$ :

$6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, \ldots$

Za razliku od delilaca kojih ima konačno mnogo, sadržalaca ima beskonačno mnogo — lista nikad ne prestaje! Zato nas zanima najmanji zajednički.

Postupak 1 — pomoću liste sadržalaca

Definicija

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) brojeva $a$ i $b$ je najmanji broj koji je deljiv i sa $a$ i sa $b$ .

Primer: $\text{NZS}(4, 6)$

Sadržaoci $4$ : $4, 8, \underline{12}, 16, 20, \underline{24}, 28, \ldots$
Sadržaoci $6$ : $6, \underline{12}, 18, \underline{24}, 30, \underline{36}, \ldots$
Zajednički: $12, 24, 36, \ldots$
NZS = $12$ (najmanji zajednički)

Postupak 2 — rastavljanje na proste činioce

Ovo je brži način, pogotovo za veće brojeve:

Rastavi oba broja na proste činioce
Uzmi sve proste činioce koji se pojavljuju u bilo kom broju
Od svakog uzmi onaj sa većim stepenom
Pomnoži ih

Primer: $\text{NZS}(12, 18)$

$12 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3^2$
Svi činioci sa većim stepenom: $2^2 \cdot 3^2$
$\text{NZS}(12, 18) = 4 \cdot 9 = 36$

Zapamti razliku: Za NZD → manji stepeni zajedničkih činilaca. Za NZS → veći stepeni svih činilaca.

Primeri — NZS korak po korak

Primer 1: $\text{NZS}(8, 12)$

$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \cdot 3$
$\text{NZS} = 2^3 \cdot 3 = 24$

Primer 2: $\text{NZS}(15, 20)$

$15 = 3 \cdot 5$
$20 = 2^2 \cdot 5$
$\text{NZS} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

Primer 3: $\text{NZS}(6, 8)$

$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
$\text{NZS} = 2^3 \cdot 3 = 24$

Veza između NZS i NZD

Postoji predivna formula koja povezuje NZS i NZD:

Formula

$\text{NZS}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{NZD}(a, b)}$

Primer: $\text{NZS}(12, 18)$

$\text{NZD}(12, 18) = 6$
$\text{NZS} = \frac{12 \cdot 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$

Pazi: Ovo je najbrži postupak ako već znaš NZD! Nađeš NZD (Euklidovim algoritmom), pomnoži oba broja, podeliš sa NZD — gotovo.

Svojstva NZS

🔢

NZS(a, a) = a

NZS broja sa samim sobom je taj broj

1️⃣

NZS(a, 1) = a

NZS bilo kog broja i $1$ je taj broj

📐

Ako a | b → NZS = b

Ako prvi deli drugi, NZS je drugi (veći)

🤝

Uzaj. prosti → NZS = a · b

Ako su uzajamno prosti, NZS je njihov proizvod

NZD vs NZS — uporedni pregled

	NZD	NZS
Traži	Najveći delilac	Najmanji sadržalac
Stepeni	Manji	Veći
Činioci	Samo zajednički	Svi
Rezultat	$\leq$ oba broja	$\geq$ oba broja

Bratov savet

Najbrži način za NZS: nađi NZD (Euklidovim algoritmom), a onda izračunaj

\text{NZS} = \frac{a \cdot b}{\text{NZD}}

. Za razlomke zapamti: NZS ti treba kad sabiraš ili oduzimaš razlomke sa različitim imeniocima — NZS imenilaca je zajednički imenilac!

Najčešće greške

Evo gde učenici najčešće pogreše kod NZS-a:

Greška #1: „Za NZS uzimam manji stepen"

Mešanje sa NZD! Za NZD → manji stepeni zajedničkih činilaca. Za NZS → veći stepeni svih činilaca. Primer: $12 = 2^2 \cdot 3$ i $18 = 2 \cdot 3^2$ . NZS = $2^2 \cdot 3^2 = 36$ , ne $6$ .

Greška #2: „NZS(4, 6) = 4 · 6 = 24"

Proizvod dva broja je zajednički sadržalac, ali ne mora biti najmanji! $\text{NZS}(4, 6) = 12$ , ne $24$ . Proizvod daje NZS samo kad su brojevi uzajamno prosti.

Greška #3: „NZS je uvek veći od oba broja"

Ne uvek! Ako jedan broj deli drugi, NZS je taj veći. Npr. $\text{NZS}(3, 12) = 12$ — NZS je jednak jednom od brojeva, nije „veći od oba".