Deljivost sa 9 i 3 — pravila, primeri i fore za pamćenje

Deljivost sa 9 i 3 — zbir cifara je tvoj najbolji drug

Da li moraš da raspisuješ deljenje kad želiš da proveriš da li je broj deljiv sa $9$ ili sa $3$ ? Naravno da ne! Postoji genijalan trik — dovoljno je sabrati cifre broja i odmah znaš odgovor.

Ova pravila deljivosti brojeva su među najkorisnijim u matematici za 5. razred. U ovoj lekciji naučićeš:

Pravilo deljivosti sa $9$ — zbir cifara
Pravilo deljivosti sa $3$ — isti trik, ali lakši uslov
Vezu između ova dva pravila
Fore za brzo rešavanje na kontrolnom

Pravilo deljivosti sa 9

Pogledajmo sadržaoce broja $9$ :

$9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, \ldots$

Saberi cifre svakog od ovih brojeva: $9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, \ldots$ — uvek dobiješ broj deljiv sa $9$ !

Pravilo

Prirodni broj je deljiv sa $9$ ako je zbir njegovih cifara deljiv sa $9$ .

Primer: Da li je

456

deljiv sa

9

? Saberemo cifre:

4 + 5 + 6 = 15

. Da li je

15

deljivo sa

9

? Nije (

15 \div 9 = 1{,}66\ldots

). Znači

456

nije deljiv sa

9

Primeri — deljivost sa 9

Hajde da proverimo nekoliko brojeva korak po korak:

$738$ → $7 + 3 + 8 = 18$ → $18 \div 9 = 2$ → deljiv sa 9
$1251$ → $1 + 2 + 5 + 1 = 9$ → $9 \div 9 = 1$ → deljiv sa 9
$5432$ → $5 + 4 + 3 + 2 = 14$ → $14 \div 9 \neq \text{ceo}$ → nije deljiv sa 9
$9999$ → $9 + 9 + 9 + 9 = 36$ → $36 \div 9 = 4$ → deljiv sa 9

Ako ti je zbir cifara i dalje veliki, saberi cifre ponovo! Npr.

99999

→

9+9+9+9+9=45

→

4+5=9

→ deljiv sa

9

Pravilo deljivosti sa 3

Pravilo za $3$ funkcioniše potpuno isto kao za $9$ — samo je uslov blaži.

Pravilo

Prirodni broj je deljiv sa $3$ ako je zbir njegovih cifara deljiv sa $3$ .

Isti trik — sabereš cifre i proveriš deljivost zbira. Razlika je što $3$ ima više sadržalaca od $9$ , pa više brojeva „prolazi" test.

Primer: Broj

456

— zbir cifara je

4 + 5 + 6 = 15

. Da li je

15

deljivo sa

3

? Jeste (

15 \div 3 = 5

). Znači

456

jeste deljiv sa

3

(ali nije sa

9

Primeri — deljivost sa 3

Proverimo deljivost sa $3$ na konkretnim brojevima:

$123$ → $1 + 2 + 3 = 6$ → $6 \div 3 = 2$ → deljiv sa 3
$847$ → $8 + 4 + 7 = 19$ → $19 \div 3 \neq \text{ceo}$ → nije deljiv sa 3
$5001$ → $5 + 0 + 0 + 1 = 6$ → $6 \div 3 = 2$ → deljiv sa 3
$2024$ → $2 + 0 + 2 + 4 = 8$ → $8 \div 3 \neq \text{ceo}$ → nije deljiv sa 3

Caka za pamćenje

Za $3$ i $9$ — isti metod, sabiraš cifre!

Za $3$ : zbir cifara deljiv sa $3$

Za $9$ : zbir cifara deljiv sa $9$

Isti trik — različit uslov!

Veza između deljivosti sa 9 i 3

Pošto je $9 = 3 \cdot 3$ , postoji jasna veza između ova dva pravila:

Ako je broj deljiv sa $9$ → sigurno je deljiv i sa $3$
Ako je broj deljiv sa $3$ → ne mora biti deljiv sa $9$

Pazi: Obrnuto ne važi! Broj

15

je deljiv sa

3

(

15 \div 3 = 5

), ali nije deljiv sa

9

(

15 \div 9 = 1{,}66\ldots

). Zbir cifara

1 + 5 = 6

jeste deljiv sa

3

, ali ne sa

9

Zato je skup brojeva deljivih sa $9$ podskup brojeva deljivih sa $3$ .

Provera na konkretnim brojevima

Pogledajmo kako ista provera radi za oba pravila deljivosti:

Deljivost sa 3 i 9 — primeri

Broj	Zbir cifara	÷ 3	÷ 9
$135$	$1+3+5=9$	DA	DA
$456$	$4+5+6=15$	DA	NE
$1000$	$1+0+0+0=1$	NE	NE
$2718$	$2+7+1+8=18$	DA	DA
$844$	$8+4+4=16$	NE	NE

Bratov savet

Kad treba da proveriš deljivost sa

3

ili

9

, saberi cifre broja. Ako dobiješ i dalje veliki broj — saberi cifre ponovo! Na primer:

98757

→

9+8+7+5+7=36

→

3+6=9

. Deljivo i sa

3

i sa

9

Najčešće greške

Evo gde učenici najčešće pogreše kod deljivosti sa $3$ i $9$ :

Greška #1: „Gledam poslednju cifru za deljivost sa 3"

Pogrešno! Poslednja cifra pomaže za deljivost sa $2$ , $5$ i $10$ . Za deljivost sa $3$ i $9$ moraš sabrati sve cifre. Broj $13$ se završava na $3$ , ali $1+3=4$ , a $4$ nije deljivo sa $3$ .

Greška #2: „Broj je deljiv sa 3, znači je deljiv i sa 9"

Ne! Deljivost sa $3$ ne povlači deljivost sa $9$ . Broj $12$ je deljiv sa $3$ ( $12 \div 3 = 4$ ), ali nije sa $9$ ( $12 \div 9 = 1{,}33\ldots$ ). Obrnuto važi — deljivo sa $9$ uvek znači deljivo sa $3$ .

Greška #3: „Množim cifre umesto da ih sabiram"

Cifre se sabiraju, ne množe! Za broj $234$ : zbir je $2+3+4=9$ (deljiv sa $9$ ), ali proizvod bi bio $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ — to ne koristimo za ovu proveru.