Zavisnost pređenog puta od vremena pri RPPK

Zavisnost pređenog puta od vremena pri RPPK — formule i grafici (7. razred)

Gde si! Opet učite kretanje, a danas vas muči zavisnost pređenog puta od vremena pri RPPK. Naslov ove lekcije zvuči opasno, kao nešto iz nuklearne fizike, ali opusti se. To se zapravo svodi na jedno prosto pitanje: "Koliko sam metara prešao dok sam davao gas ili dok sam kočio?"

Znaš već da kad voziš bajs nizbrdo, sa svakom sekundom pretrčiš ili prevezeš sve više metara jer si sve brži. E, sada ćemo to samo da ubacimo u formulu!

Ravnomerno promenljivo pravolinijsko kretanje | Fizika za sedmi razred

Zavisnost pređenog puta od vremena pri RPPK — uvod

Glavna formula — kako računamo put kad se brzina menja?

Kod običnog, ravnomernog kretanja (kad ideš stalno istom brzinom), put se računa lako: $s = v \cdot t$ . Ali kod ravnomerno promenljivog pravolinijskog kretanja (RPPK), brzina se stalno menja. Zato formula mora da obuhvati tri stvari: početnu brzinu ( $v_0$ ), vreme ( $t$ ) i ubrzanje ( $a$ ).

Ovo je glavna formula koju moraš da znaš:

$s = v_0 \cdot t \pm \frac{a \cdot t^2}{2}$

Vidimo da pređeni put direktno zavisi od ove tri stvari.

Zašto u formuli piše ± (plus/minus)?

Kretanje je ubrzano (+)

Ako telo dodaje gas, preći će više puta, pa u formuli pišemo znak plus (+).

Kretanje je usporeno (−)

Ako telo koči, ubrzanje radi protiv njega, pa pređe manje puta. Zato obavezno pišemo znak minus (−).

Zavisnost brzine od vremena pri RPPK

Ubrzano i usporeno kretanje — znak plus i minus

Primer sa ubrzavanjem

Autobus ide početnom brzinom $v_0 = 10 \, \text{m/s}$ i počinje da ubrzava sa $a = 2 \, \text{m/s}^2$ . Koliki put će preći za $t = 4 \, \text{s}$ ?

Pišemo formulu sa plusom jer autobus ubrzava: $s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}$

Ubacujemo brojeve: $s = 10 \cdot 4 + \frac{2 \cdot 4^2}{2}$

Prvo rešavamo množenje i stepenujemo vreme: $s = 40 + \frac{2 \cdot 16}{2}$

Izračunamo razlomak: $s = 40 + 16$

Rešenje: $s = 56 \, \text{m}$

Šta se dešava kada telo krene iz mirovanja?

U zadacima iz fizike za 7. razred često ćeš naići na rečenicu: "Telo polazi iz mirovanja". To je zapravo skrivena šifra koja ti kaže da je početna brzina nula ( $v_0 = 0$ ).

Kada je $v_0 = 0$ , prvi deo formule ( $v_0 \cdot t$ ) nestaje, jer bilo koji broj pomnožen nulom daje nulu. Tada se formula maksimalno skraćuje i postaje mnogo lakša za računanje:

$s = \frac{a \cdot t^2}{2}$

Primer iz mirovanja

Trkački auto kreće sa semafora (iz mirovanja) ubrzanjem $a = 4 \, \text{m/s}^2$ . Koliko će metara preći u prve $t = 3 \, \text{s}$ ?

Pošto kreće iz mirovanja, pišemo skraćenu formulu: $s = \frac{a \cdot t^2}{2}$

Ubacujemo brojeve: $s = \frac{4 \cdot 3^2}{2}$

Obavezno prvo stepenujemo vreme ( $3 \cdot 3 = 9$ ): $s = \frac{4 \cdot 9}{2}$

Pomnožimo gornji deo: $s = \frac{36}{2}$

Rešenje: $s = 18 \, \text{m}$

Ubrzanje | Drugi Njutnov zakon

Caka sa grafikom — površina je pređeni put

Zamisli da dobiješ grafik zavisnosti brzine od vremena. Tu postoji jedna odlična caka kako da nađeš pređeni put, a da se ne mučiš previše sa gornjim formulama!

Pravilo glasi: Pređeni put brojno je jednak površini ispod grafika brzine!

Ako grafik pokazuje usporavanje tela od neke brzine pa sve dok se ne zaustavi (linija pada do donje ose), oblik koji nastaje na crtežu je pravougli trougao.

Pošto iz matematike znamo da je površina pravouglog trougla $P = \frac{a \cdot b}{2}$ , ovde ćemo jednostavno pomnožiti početnu brzinu i vreme, pa podeliti sa dva: $s = \frac{v_0 \cdot t}{2}$ .

Grafik zavisnosti brzine od vremena — površina je pređeni put

Bratov savet

Bratov savet: Kad čitaš zadatak, čitaj ga kao detektiv. Ako vidiš reči "ispustio je loptu", "pokrenuo se" ili "polazi", odmah izvadi podatak $v_0 = 0$ i koristi onu kraću formulu. Ako pročitaš reči "koči" ili "usporava", odmah iznad zadatka stavi veliki MINUS, da slučajno ne sabereš brojeve umesto da ih oduzmeš.

Trenutna i srednja brzina | Sila i kretanje

Bratov savet — čitaj zadatak kao detektiv

Detaljno objašnjenje glavne formule

Glavna formula za izračunavanje pređenog puta kod ravnomerno promenljivog pravolinijskog kretanja (RPPK) ima sledeći oblik:

$s = v_0 \cdot t \pm \frac{a \cdot t^2}{2}$

U ovoj formuli, fizičke veličine su:

$s$ — pređeni put
$v_0$ — početna brzina tela
$t$ — vreme trajanja kretanja
$a$ — ubrzanje ili usporenje tela

Struktura i objašnjenje formule: Ovaj složeni obrazac se suštinski sastoji iz dva dela. Prvi sabirak, $v_0 \cdot t$ , predstavlja put koji bi telo prešlo za vreme $t$ da se kretalo ravnomerno pravo, odnosno da je zadržalo početnu brzinu i da je nije menjalo.

Međutim, pošto se brzina menja, pojavljuje se i drugi deo formule, $\frac{a \cdot t^2}{2}$ . On predstavlja polovinu proizvoda ubrzanja i kvadrata vremena. Zbog ovog dela, kažemo da je zavisnost pređenog puta od vremena kvadratna, što znači da put raste sa kvadratom vremena, a pređeni putevi u jednakim vremenskim intervalima postaju sve veći (ili manji, ako telo koči).

Detaljno objašnjenje formule za pređeni put

Znak plus ili minus — detaljno objašnjenje

Znak plus (+) se koristi kod ravnomerno ubrzanog kretanja. Ako telo povećava brzinu (dodaje gas), ono će preći duži put i to za vrednost drugog sabirka. Formula tada glasi: $s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}$ .

Znak minus (−) se koristi kod ravnomerno usporenog kretanja. Ako telo koči, ono će preći put koji je umanjen za vrednost drugog sabirka u odnosu na onaj koji bi prešlo da nije kočilo. Formula tada glasi: $s = v_0 \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2}$ .

Dodatni načini za izračunavanje puta:

Formula bez vremena: Moguće je izračunati pređeni put i kada nemate podatak o vremenu, korišćenjem veze između trenutne brzine, početne brzine i puta: $v^2 = v_0^2 \pm 2as$ .
Grafička metoda: Pređeni put kod ovog kretanja je uvek brojno jednak površini figure koja se nalazi ispod grafika zavisnosti brzine od vremena (to je obično pravougli trougao, pravougaonik ili trapez).

Znak plus i minus u formuli — ubrzano i usporeno kretanje

Kako se računa put kada telo kreće iz mirovanja?

Kada telo kreće iz mirovanja, to je jasan pokazatelj da je njegova početna brzina jednaka nuli ( $v_0 = 0$ ). Opšti obrazac za izračunavanje pređenog puta kod ravnomerno ubrzanog kretanja glasi $s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}$ .

Međutim, pošto telo polazi iz mirovanja, prvi deo formule ( $v_0 \cdot t$ ) se potpuno poništava, jer bilo koji broj pomnožen nulom daje nulu. Zbog toga se pređeni put pri kretanju iz mirovanja računa po maksimalno skraćenoj i jednostavnijoj formuli:

$s = \frac{a \cdot t^2}{2}$

Ovakva formula nam pokazuje da zavisnost puta od vremena nije obična, već kvadratna. To znači da pređeni put raste sa kvadratom vremena ( $t^2$ ) i da su pređeni putevi u jednakim vremenskim intervalima sve duži i duži.

Zanimljiva karakteristika ovakvog kretanja iz mirovanja je da se putevi pređeni u prvoj, drugoj, trećoj, četvrtoj sekundi kretanja odnose uvek kao neparni brojevi: 1 : 3 : 5 : 7, i to potpuno nezavisno od konkretne vrednosti ubrzanja.

Kretanje iz mirovanja — skraćena formula

Na koji način grafik brzine pomaže u određivanju puta?

Pređeni put je brojno jednak površini ispod grafika zavisnosti brzine od vremena. Ovo pravilo predstavlja odličnu "caku" koja omogućava da se put lako odredi izračunavanjem površine geometrijskih oblika koji nastaju na dijagramu, čime se izbegava upotreba složenijih jednačina.

Trapez

Kod opšteg ravnomerno ubrzanog kretanja, površina ispod grafika formira trapez koji se sastoji od pravougaonika (koji odgovara delu puta $v_0 t$ ) i pravouglog trougla (koji odgovara delu puta $\frac{1}{2}at^2$ ).

Pravougli trougao

Kada grafik pokazuje da telo kreće iz mirovanja ili da usporava sve do zaustavljanja, oblik ispod grafika je pravougli trougao, te se put računa primenom matematičke formule za površinu tog trougla.

Više etapa

Ukoliko se kretanje odvija u više različitih etapa (na primer, telo ubrzava, zatim se kreće ravnomerno, a potom koči), ukupan pređeni put se najlakše računa tako što se površina ispod grafika podeli na jednostavne figure i saberu se njihove površine.

Pređeni put i vreme

Grafička metoda — trapez, trougao i pravougaonik

Rešeni zadaci — vežba korak po korak

Zadatak 1: Trkač je stazu dužine 720 m pretrčao tako što je polovinu staze trčao brzinom 8 m/s, trećinu staze brzinom 7 m/s a ostatak brzinom 6 m/s. Kolika je srednja brzina trkača na celoj stazi?

Postupak rešenja: Srednja brzina trkača dobija se po definiciji kao ukupan pređeni put podeljen ukupnim vremenom kretanja: $v_{sr} = \frac{s_1 + s_2 + s_3}{t_1 + t_2 + t_3}$ .

Polovina staze iznosi $s_1 = 360 \text{ m}$ . Vreme za prvu etapu je $t_1 = 360/8 = 45 \text{ s}$ .

Trećina staze iznosi $s_2 = 240 \text{ m}$ . Vreme: $t_2 = 240/7 \approx 34{,}3 \text{ s}$ .

Ostatak puta je $s_3 = 120 \text{ m}$ . Vreme: $t_3 = 120/6 = 20 \text{ s}$ .

Zamenom: $v_{sr} = 720/(45+34{,}3+20) = 7{,}25 \text{ m/s}$ .

Zadatak 2: Kolika sila treba da deluje na telo mase 2 kg da bi se njegova brzina povećala od 20 m/s do 80 m/s za vreme od 10 s?

Postupak rešenja: Prvo računamo ubrzanje: $a = (v_2 - v_1)/t = (80-20)/10 = 6 \text{ m/s}^2$ .

Zatim primenjujemo Drugi Njutnov zakon: $F = ma = 2 \cdot 6 = 12 \text{ N}$ .

Zadatak 3: Telo slobodno pada sa visine 80 m. Koliki put pređe u poslednjoj sekundi kretanja?

Postupak rešenja: Najpre nalazimo ukupno vreme padanja. Iz formule $h = gt^2/2$ , sa $g = 10 \text{ m/s}^2$ : $t^2 = 2h/g = 160/10 = 16$ , dakle $t = 4 \text{ s}$ .

Put u prve 3 sekunde: $h_3 = gt^2/2 = 10 \cdot 9/2 = 45 \text{ m}$ .

Put u poslednjoj sekundi: $\Delta s = 80 - 45 = 35 \text{ m}$ .

Rešeni zadaci — nastavak

Zadatak 4: Tramvaj se kreće brzinom 18 km/h. Koliki će put tramvaj preći klizanjem, ako se točkovi zakoče? Izračunati i vreme zaustavljanja. Koeficijent trenja između točkova i šina je 0,2.

Postupak rešenja: Početna brzina: $v_0 = 18 \text{ km/h} = 5 \text{ m/s}$ . Konačna brzina: $v = 0$ .

Iz Drugog Njutnovog zakona: $ma = F_{tr} = \mu mg$ . Skraćivanjem mase: $a = \mu g = 0{,}2 \cdot 10 = 2 \text{ m/s}^2$ .

Vreme zaustavljanja: $t = v_0 / a = 5/2 = 2{,}5 \text{ s}$ .

Put kočenja: $s = v_0^2 / (2a) = 25/4 = 6{,}25 \text{ m}$ .

Zadatak 5: Koliko litara vode temperature 44 °C treba pomešati sa 20 litara vode temperature 20 °C da bi smeša imala temperaturu 24 °C?

Postupak rešenja: Problem rešavamo jednačinom toplotne ravnoteže: $Q_{predato} = Q_{primljeno}$ .

Formula: $cm_1(t_1 - t_s) = cm_2(t_s - t_2)$ . Pošto se mešaju iste tečnosti, specifični toplotni kapaciteti i gustine se skraćuju: $V_1(t_1 - t_s) = V_2(t_s - t_2)$ .

Zamenom: $V_1 = 20 \cdot (24-20)/(44-24) = 20 \cdot 4/20 = 4 \text{ litra}$ .

Zapamti: Glavna formula je