Zapremina prizme

Zapremina prizme — kako da napuniš kutiju do vrha (8. razred)

U prošloj lekciji smo kutiju oblagali ukrasnim papirom (računali smo površinu prizme). Sada prelazimo na suštinu: šta se dešava kada u tu istu kutiju kreneš da sipaš vodu ili pakuješ pesak? Koliko toga može da stane unutra?

To je zapremina prizme. Dobra vest je da je formula za zapreminu još kraća i logičnija od one za površinu. Ako znaš da izračunaš površinu poda tvoje sobe, već znaš $90\%$ ove lekcije.

Gradivo je deo celine Matematika za osmi razred, a korisno je i za pregled kroz Matematiku za osnovnu školu i stranicu osmog razreda.

Zapremina prizme kroz primer punjenja kutije vodom

Zlatna formula: $V = B \cdot H$

Zaboravi na dugačke formule i sabiranje zidova. Za zapreminu svake prizme (bilo da je kocka, zgrada ili Toblerone čokolada) važi jedno apsolutno pravilo:

$V = B \cdot H$

Šta ovo znači u prevodu?

  • $B$ (Baza): izračunaš površinu poda
  • $H$ (Visina): pomnožiš taj pod sa visinom
Zamisli da imaš površinu jednog lista papira ($B$) i naslažeš pun paket takvih papira do visine $H$. Ceo paket je zapremina $V$.
Formula za zapreminu prizme V jednako B puta H

Podsetnik za bazu $B$

Da bi rešio zadatak, moraš samo da se setiš koji oblik leži na podu (u osnovi). Pošto se na kontrolnom najčešće traže pravilne prizme, podsetnik je:

□
Pravilna četvorostrana

$B=a^2$

△
Pravilna trostrana

$B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

⬡
Pravilna šestostrana

$B=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

!
Jedinice

Zapremina je uvek u kubnim jedinicama, npr. $\text{cm}^3$.

Za prostorne oblike pogledaj i lekciju Poliedar.

Podsetnik formula za bazu prizme četvorostrana trostrana šestostrana

Primer 1: Zapremina četvorostrane prizme (Akvarijum)

Zadatak: Želiš da napuniš akvarijum koji ima oblik pravilne četvorostrane prizme. Osnovna ivica mu je $a=4\text{ cm}$, a visina $H=10\text{ cm}$. Kolika je zapremina?

1. Računamo bazu: $B=a^2=4^2=16\text{ cm}^2$
2. Računamo zapreminu: $V=B\cdot H=16\cdot10$
3. Rezultat: $V=160\text{ cm}^3$
Pazi na jedinicu — zapremina se UVEK izražava u kubicima.
Primer računanja zapremine četvorostrane prizme akvarijum

Primer 2: Zapremina trostrane prizme (malo korena)

Zadatak: Izračunaj zapreminu pravilne trostrane prizme ako je osnovna ivica $a=6\text{ cm}$, a visina $H=5\text{ cm}$.

1.  $B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\text{ cm}^2$
2.  $V=B\cdot H=9\sqrt{3}\cdot 5$
3.  $V=45\sqrt{3}\text{ cm}^3$
Množiš obične brojeve, a $\sqrt{3}$ prepišeš.
Primer računanja zapremine trostrane prizme sa korenom iz tri

Bratova caka: $1\text{ dm}^3=1\text{ l}$

Ovo je ubedljivo najčešća zamka na pismenom iz geometrije. Nastavnik da mere u decimetrima, ti dobiješ zapreminu u $\text{dm}^3$, pa pita koliko je to litara.

Zlatno pravilo

$1\text{ dm}^3=1\text{ litar}$

Ako dobiješ $20\text{ dm}^3$, odgovor je 20 litara.

Ako su mere date u centimetrima, a traže litre, prvo pretvori u decimetre pa računaj.

Trik pitanje sa testa

$V=20\text{ dm}^3$ → $20\text{ l}$

Evo zadataka i primera za računanje zapremine prizme

Glavna i apsolutna formula za zapreminu svake prizme glasi $V=B\cdot H$, gde je $B$ baza (površina poda), a $H$ visina prizme.

Primer 1 (ponovljen): pravilna četvorostrana prizma

$a=4\text{ cm},\ H=10\text{ cm}$

$B=a^2=16\text{ cm}^2$, pa $V=16\cdot10=160\text{ cm}^3$.

Primer 2 (ponovljen): pravilna trostrana prizma

$a=6\text{ cm},\ H=5\text{ cm}$

$B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\text{ cm}^2$

$V=9\sqrt{3}\cdot5=45\sqrt{3}\text{ cm}^3$.

Ne mešaj jedinice: površina je u $\text{cm}^2$, zapremina u $\text{cm}^3$.

Ponovljeni zadaci i postupci za zapreminu prizme

Zadatak za vežbu (provera logike)

Zadatak: Ako imaš kocku čija je svaka ivica tačno $10\text{ cm}$, kolika je njena zapremina u centimetrima kubnim, a koliko je to u litrima? (Mala pomoć: $10\text{ cm}=1\text{ dm}$)

Rešenje

$V=10\cdot10\cdot10=1000\text{ cm}^3$

$1000\text{ cm}^3=1\text{ dm}^3=1\text{ l}$

Zapremina kocke je 1000 cm³, što je tačno 1 litar.
Tačan odgovor
1000 cm³ i 1 litar vode.

Objasni razliku između zapremine i površine prizme

Razlika se najlakše vidi kroz pitanje šta meriš:

  • Površina meri spoljašnjost (oblaganje, farbanje, omotač).
  • Zapremina meri unutrašnjost (koliko vode, peska ili vazduha staje unutra).

Formule i jedinice

Kod površine računaš i omotač. Kod zapremine koristiš samo $V=B\cdot H$.

Površina ide u kvadratima ($\text{cm}^2$), zapremina u kubicima ($\text{cm}^3$) ili litrima.

Za prostorne pojmove korisne su i lekcije Odnos pravih u ravni i Normala na ravan.

Razlika između površine i zapremine prizme kroz spolja i unutra

Kako se računa zapremina pravilne šestostrane prizme?

Opšta formula je ista: $V=B\cdot H$.

Za pravilnu šestostranu prizmu baza je pravilan šestougao:

$B=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Pa je puna formula:

$V=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$

Pri množenju množiš obične brojeve, a koren iz 3 prepisuješ.

Kod složenijih zadataka pomaže i logika iz lekcije Pitagorina teorema.

Podsetnik

$a$ je osnovna ivica, $H$ je visina prizme.

Zapremina uvek ide u $\text{cm}^3$.

Objasni vezu između kubnih decimetara i litara

Veza između $\text{dm}^3$ i litara je direktna:

$1\text{ dm}^3=1\text{ l}$

Ako izračunaš da akvarijum ima zapreminu $20\text{ dm}^3$, to znači da staje tačno 20 litara vode.

Ako su mere zadate u centimetrima, a traže se litri, pretvori u decimetre pre računanja.
Veza između dm kubnih i litara vode u zadacima sa akvarijumom

Kako da pretvorim centimetre kubne u litre?

Najsigurniji način je da mere prvo pretvoriš u decimetre pre računanja zapremine.

1. Pretvori cm u dm (npr. $10\text{ cm}=1\text{ dm}$).
2. Izračunaj zapreminu u $\text{dm}^3$.
3. Primeni pravilo $1\text{ dm}^3=1\text{ l}$.

Ako već imaš zapreminu u $\text{cm}^3$, koristi vezu iz primera kocke: $1000\text{ cm}^3=1\text{ l}$.

Pravilo koje moraš da zapamtiš: 1 dm³ = 1 litar.

Primer: pravilna šestostrana prizma (brojčani zadatak)

Primer zadatka: $a=2\text{ cm}$, $H=10\text{ cm}$.

Baza:

$B=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\text{ cm}^2$

Zapremina:

$V=B\cdot H=6\sqrt{3}\cdot10=60\sqrt{3}\text{ cm}^3$

Pravilno zapisivanje jedinice na treći stepen je obavezno.

Koren ostaje

Kod izraza sa $\sqrt{3}$ množiš obične brojeve, koren prepisuješ.

Kako se računa zapremina trostrane prizme?

Zapremina pravilne trostrane prizme računa se univerzalnom formulom $V=B\cdot H$.

  • Izračunaj bazu: $B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
  • Pomnoži sa visinom: $V=B\cdot H$

Primer sa $a=6\text{ cm},\ H=5\text{ cm}$ daje $V=45\sqrt{3}\text{ cm}^3$.

Najčešća greška: učenik napiše kvadratne umesto kubnih jedinica.
Česta pitanja iz gradiva

Kako se računa zapremina ako baza nije pravilna? — i dalje važi $V=B\cdot H$, samo bazu računaš po formuli za taj oblik.

Najčešće greške

Mešanje formule za površinu i zapreminu

U panici učenici krenu da računaju omotač $M$ i da ga sabiraju, iako traže zapreminu. Kod zapremine koristiš samo $V=B\cdot H$.

Pogrešne merne jedinice

Rezultat napišu kao $160\text{ cm}^2$. To je pogrešno — zapremina mora biti $160\text{ cm}^3$.

Za ove dve greške se bukvalno skidaju poeni na testu.
Površina = spolja, zapremina = unutra.

Zaključak

To je cela priča. Uvek izračunaj bazu (pod) i pomnoži je sa visinom. Ne mešaj površinu i zapreminu, pazi na kubne jedinice i proveri da li zadatak traži rezultat u $\text{cm}^3$ ili u litrima.

  • $V=B\cdot H$
  • $1\text{ dm}^3=1\text{ l}$
  • $1000\text{ cm}^3=1\text{ l}$

Hajde da testiramo logiku: Ako imaš kocku čija je svaka ivica tačno $10\text{ cm}$, kolika je njena zapremina u centimetrima kubnim, a koliko je to u litrima?

Brza provera
$10\text{ cm}=1\text{ dm}$