Slični trouglovi — stavovi sličnosti, koeficijent k i rešeni zadaci

Slični trouglovi — braća blizanci u geometriji

Slični trouglovi u osmom razredu su lekcija koja se zapravo svodi na jednu jedinu stvar koju radiš svaki dan na telefonu: zumiranje slika! Kad uveličaš fotku na ekranu, ona ostaje ista, samo je veća. To je bukvalno cela poenta sličnosti u matematici.

U ovoj lekciji naučićeš:

Šta znači da su dva trougla slična
Tri stava sličnosti — UU, SSS i SUS
Šta je koeficijent sličnosti $k$ i kako se računa
Kako da rešiš svaki zadatak na kontrolnom korak po korak

Šta uopšte znači da su trouglovi „slični"?

Kada za dva trougla kažemo da su slični, to znači da imaju potpuno isti oblik, ali ne moraju biti iste veličine. Jedan može biti minijaturan, a drugi ogroman kao zgrada.

Da bi bili slični, moraju da važe dva glavna pravila:

Svi uglovi su im potpuno jednaki: $\alpha = \alpha_1$ , $\beta = \beta_1$ , $\gamma = \gamma_1$ — oblik se ne menja!
Sve stranice su im proporcionalne: veći trougao je „rastegnut" za potpuno isti broj puta na svakoj stranici

Slični trouglovi jednaki uglovi proporcionalne stranice

Definicija

Dva trougla su slična ako im je svaki ugao jednak odgovarajućem uglu drugog trougla i ako su im sve stranice proporcionalne. Znak za sličnost je $\sim$ .

Ako su $\Delta ABC$ i $\Delta A_1B_1C_1$ slični, pišemo: $\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1$

Koeficijent sličnosti $k$

Taj broj puta za koji je trougao veći ili manji zove se koeficijent sličnosti i obeležavamo ga malim slovom $k$ .

Njihove stranice tada prave savršen razlomak:

$\frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k$

Kako se računa?

Deliš dužine odgovarajućih stranica — onih koje „idu u paru" (naspram istih uglova)

$k > 1$

Drugi trougao je veći od prvog (uvećanje, kao zumiranje fotke)

$k = 1$

Trouglovi su podudarni — iste veličine i oblika

$k < 1$

Drugi trougao je manji od prvog (umanjenje)

Ako odlučiš da računaš

k = \frac{\text{veliki}}{\text{mali}}

, taj isti redosled moraš strogo zadržati do kraja. Nikako ne smeš mešati vrednosti iznad i ispod razlomačke crte!

Kako pravilno upariti stranice?

Da bi pravilno izračunao koeficijent sličnosti, moraš pratiti dva ključna koraka:

Uparivanje pomoću uglova: Stranica koja se u jednom trouglu nalazi tačno preko puta ugla $\alpha$ , mora se podeliti sa stranicom koja se u drugom trouglu nalazi preko puta istog ugla $\alpha_1$
Isti redosled deljenja: Ako kreneš da deliš $\frac{\text{veliki trougao}}{\text{mali trougao}}$ , istu logiku moraš zadržati za svaki par

Učenici se najviše zbune kad im nastavnik nacrta dva trougla koji su zarotirani i ispreturani na papiru. Caka je u ovome: uvek gledaj uglove! Uglovi ti pokazuju put — stranica naspram istog ugla ide u isti par.

Stav UU (Ugao — Ugao)

Ako dva trougla imaju dva potpuno ista ugla, automatski im je i treći isti (jer zbir mora biti $180°$ ). Čim nađeš dva ista ugla — trouglovi su slični!

Ovo je najčešće korišćen stav u zadacima. Zašto? Jer je najlakši za primenu — dovoljno ti je da pronađeš samo dva ugla!

Primer: U prvom trouglu su uglovi $\alpha = 50°$ i $\beta = 60°$ . U drugom trouglu su $\beta_1 = 60°$ i $\gamma_1 = 70°$ .

Treći ugao prvog trougla: $\gamma = 180° - (50° + 60°) = 70°$

Uglovi prvog: $50°, 60°, 70°$ . Uglovi drugog: $50°, 60°, 70°$ .

Dva ugla su ista → trouglovi su slični na osnovu stava UU!

Stav SSS (Stranica — Stranica — Stranica)

Ako ti zadatak da samo dužine stranica (bez uglova), podeliš najveću sa najvećom, srednju sa srednjom i najmanju sa najmanjom. Ako uvek dobiješ isti broj $k$ — trouglovi su slični!

Primer: dokazivanje sličnosti stavom SSS

Stranice prvog trougla: $3$ cm, $4$ cm i $5$ cm.

Stranice drugog trougla: $6$ cm, $8$ cm i $10$ cm.

Delimo redom:

$\frac{10}{5} = 2$ , $\frac{8}{4} = 2$ , $\frac{6}{3} = 2$

Koeficijent je u svakom deljenju identičan (

k = 2

) → trouglovi su slični na osnovu stava SSS!

Stav SUS (Stranica — Ugao — Stranica)

Ako dva trougla imaju po dve proporcionalne stranice i ugao koji je „zarobljen" tačno između njih je jednak, oni su slični.

Primer: dokazivanje sličnosti stavom SUS

Prvi trougao: stranice $4$ cm i $6$ cm, ugao između njih $45°$ .

Drugi trougao: stranice $12$ cm i $18$ cm, ugao između njih $45°$ .

Proveravamo proporcionalnost: $\frac{12}{4} = 3$ i $\frac{18}{6} = 3$

Stranice su proporcionalne ( $k = 3$ ), ugao između njih je jednak ( $45°$ ).

Na osnovu stava SUS — trouglovi su slični!

Jedna od najčešćih grešaka: korišćenje pogrešnog ugla kod stava SUS. Ne može bilo koji ugao! To strogo mora biti onaj ugao koji te dve proporcionalne stranice „grle" — koji se nalazi tačno između njih.

Stav UU

Dva ista ugla → treći automatski isti → slični. Najčešći u zadacima

Stav SSS

Sve tri stranice proporcionalne (isti $k$ ) → slični. Kad nemaš uglove

Stav SUS

Dve proporcionalne stranice + zarobljeni ugao između njih jednak → slični

Kada koristiti koji?

Pogledaj šta ti zadatak daje: uglove → UU, stranice → SSS, mešano → SUS

Za detaljniju obradu stavova sličnosti sa dodatnim primerima pogledaj lekciju Stavovi sličnosti trouglova.

Primer: izračunaj nepoznate stranice

Imaš dva slična trougla: $\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1$

Mali trougao: $a = 4$ cm, $b = 5$ cm, $c = 6$ cm

Veliki trougao: $a_1 = 12$ cm, $b_1 = ?$ , $c_1 = ?$

Korak 1: Nađi koeficijent $k$ (dve stranice koje idu u paru):

$k = \frac{a_1}{a} = \frac{12}{4} = 3$

Veliki trougao je tačno $3$ puta veći!

Korak 2: Pomnoži ostale stranice sa $k$ :

$b_1 = k \cdot b = 3 \cdot 5 = 15$ cm

$c_1 = k \cdot c = 3 \cdot 6 = 18$ cm

Nema nikakve magije — samo obično množenje!

Izračunavanje stranica sličnih trouglova

Zadatak: korišćenje koeficijenta i jedne stranice

Dva trougla su slična. Koeficijent sličnosti je $k = 4$ . Stranica manjeg trougla je $c = 7$ cm. Izračunaj odgovarajuću stranicu većeg trougla $c_1$ .

Postupak:

Koeficijent $k = 4$ nam govori da je veliki trougao „rastegnut" tačno $4$ puta na svakoj stranici.

$c_1 = k \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ cm

Još rešenih zadataka

Zadatak (Stav SSS): Stranice prvog trougla su $3, 4, 5$ cm. Stranice drugog su $6, 8, 10$ cm. Da li su slični?

$\frac{10}{5} = 2$ , $\frac{8}{4} = 2$ , $\frac{6}{3} = 2$ → $k = 2$ → slični (SSS)!

Zadatak (Stav UU): Uglovi prvog: $50°, 60°$ . Uglovi drugog: $60°, 70°$ .

Treći ugao prvog: $180° - 110° = 70°$ . Isti uglovi → slični (UU)!

Zadatak (Stav SUS): Stranice $4, 6$ sa uglom $45°$ između. Drugi: $12, 18$ sa uglom $45°$ .

$\frac{12}{4} = 3$ , $\frac{18}{6} = 3$ → proporcionalne + isti zarobljeni ugao → slični (SUS)!

Greška #1: Okretanje razlomaka naopačke

Kada postavljaš proporciju, ako kreneš da deliš $\frac{\text{veliki trougao}}{\text{mali trougao}}$ , moraš tako da nastaviš do kraja! Ako napišeš $\frac{a_1}{a} = \frac{b}{b_1}$ , sve pada u vodu. Uvek drži istu ekipu brojeva iznad crte.

Greška #2: Pogrešan ugao kod stava SUS

Deca vide dve proporcionalne stranice i jedan isti ugao negde sa strane, pa odmah viču „slični su!" — ali ne može bilo koji ugao! To strogo mora biti onaj ugao koji te dve stranice „grle" (koji je između njih).

Greška #3: Pogrešno uparivanje stranica

Kad su trouglovi zarotirani na crtežu, lako pomešaš koja stranica ide s kojom. Uvek gledaj uglove! Stranica naspram ugla $\alpha$ u malom trouglu ide u par sa stranicom naspram ugla $\alpha_1$ u velikom.

Greška #4: Mešanje sličnosti i podudarnosti

Slični trouglovi imaju isti oblik, ali ne moraju biti iste veličine. Podudarni trouglovi imaju isti oblik i istu veličinu ( $k = 1$ ). Svaki podudarni trougao jeste sličan, ali obrnuto ne važi!

Bratov savet

Kad dobiješ zadatak sa sličnim trouglovima, uvek radi ovim redom: (1) Pronađi koji stav koristiš — UU, SSS ili SUS. (2) Uparivaj stranice pomoću uglova — stranica naspram istog ugla ide u isti par. (3) Nađi koeficijent $k$ . (4) Pomnoži ili podeli da dobiješ nepoznate stranice. Ako zapamtiš ovaj redosled, nema zadatka koji ti može napraviti problem!

Sličnost trouglova je osnova za Talesovu teoremu — kad paralelne prave seku krake ugla, one formiraju slične trouglove. Zato su ove dve lekcije neraskidivo povezane!

Rezime — slični trouglovi na jednom mestu

Slični trouglovi su dva trougla istog oblika sa jednakim uglovima i proporcionalnim stranicama. Koeficijent $k$ pokazuje koliko je puta jedan veći od drugog.

Ključne činjenice za ponavljanje:

Definicija: isti uglovi + proporcionalne stranice → $\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1$
Koeficijent: $\frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k$
Stav UU: dva ista ugla → slični (najčešći u zadacima)
Stav SSS: sve tri stranice proporcionalne → slični
Stav SUS: dve proporcionalne stranice + zarobljeni ugao → slični
Uparivanje: stranica naspram ugla $\alpha$ → stranica naspram $\alpha_1$
$k = 1$ → podudarni, $k > 1$ → uvećanje, $k < 1$ → umanjenje