Upisana kružnica trougla

Gde si!

Ako si preživeo crtanje krugova oko trougla, vreme je da se prebacimo unutra. Znam da ti se možda od lenjira i šestara već pomalo vrti u glavi, ali ne brini.

Upisana kružnica trougla za 6. razred je zapravo skroz logična stvar kad provališ jednu jedinu caku!

Zaboravi na bubanje napamet i nerviranje oko crteža. Sad ćemo to da objasnimo tako da možeš da pronađeš centar i žmureći, a usput ću ti pokazati i najbolju foru za kontrolni.

Šta ćemo naučiti:

Šta je upisana kružnica?
Kako se nalazi centar (simetrale uglova)
Kako se određuje poluprečnik (rᵤ)
Pravilo "U-U" za pamćenje
10+ rešenih zadataka korak po korak
30 kvizova za vežbu

🔵 Šta je uopšte upisana kružnica?

Zamisli trougao kao ogradu u dvorištu, a ti unutra treba da ubaciš najveći mogući okrugli bazen. Taj bazen mora tačno da dodiruje svaku stranu ograde, ali ne sme nigde da je probije i izađe napolje.

✅ DEFINICIJA

Upisana kružnica je kružnica koja se nalazi unutar trougla i dodiruje sve tri njegove stranice.

Da bi je nacrtao, moramo prvo da nađemo:

Gde da zabodemo iglu šestara (to je centar S)
Koliko da ga raširimo (to je poluprečnik rᵤ)

🎯 Kako da nađeš centar? (Tajna je u uglovima)

Ovde radimo potpuno suprotnu stvar od opisane kružnice! Centar upisane kružnice (tačka $S$ ) se uvek krije na mestu gde se ukrštaju simetrale uglova tvog trougla.

Šta beše simetrala ugla?

To je ona prava linija koja:

Polazi iz temena (ćoška)
Deli taj ugao tačno na dva jednaka dela

Ako imaš ugao od $\alpha = 60^\circ$ , njegova simetrala ga seče na dva ugla od po $30^\circ$ .

✅ Zlatno pravilo: Kada nacrtaš simetrale za sva tri ugla, one će se uvek sresti u jednoj tački. Ta tačka je tvoj centar

S

📋 BRATOV SAVET

Dovoljno je da nacrtaš SAMO DVE simetrale uglova! Treća bi ionako prošla kroz istu tačku.

✍ Pravilo U-U: Upisana → Uglovi!

📏 Poluprečnik i položaj centra

Nakon što nađeš centar $S$ , poluprečnik $r_u$ je zapravo najkraća udaljenost od tog centra do bilo koje stranice trougla (meri se uvek pod pravim uglom od 90°).

✅ POLOŽAJ CENTRA

Najlakše pravilo: Bez obzira da li je trougao oštrougli, pravougli ili tupougli, centar upisane kružnice se UVEK nalazi unutar trougla!

Logično, zar ne? Ako bazen mora da stane u dvorište, i njegov centar mora biti u dvorištu!

💡 Razlika od opisane: Kod opisane kružnice centar može biti i napolju (kod tupouglog), ali kod upisane — UVEK unutra!

💡 Pravilo "U-U" za izbegavanje grešaka

Ovo je fora koja ti spašava kontrolni! Jedna od najčešćih grešaka je mešanje simetrala stranica i simetrala uglova.

🎯 PRAVILO U-U

Upisana kružnica traži simetrale Uglova!

📊 POREĐENJE

Kružnica	Traži
Upisana	Simetrale Uglova
Opisana	Simetrale Stranica

⚠️ Česta greška: Đaci krenu da crtaju simetrale stranica umesto uglova. Zapamti U-U!

📋 KAKO SE CRTA

1. Zabodi šestar u teme

2. Nacrtaj luk kroz oba kraka

3. Iz svake tačke nacrtaj luk unutra

4. Poveži teme i presek lukova

📝 Primer 1: Pravilo istog rastojanja

Zadatak: Neka je $S$ centar upisane kružnice trougla $\Delta ABC$ . Ako je rastojanje od centra $S$ do stranice $a$ tačno $4 \, \text{cm}$ , kolika je udaljenost od centra $S$ do stranice $b$ ?

✅ REŠENJE KORAK PO KORAK

Korak 1: Pravilo kaže: upisana kružnica dodiruje sve tri stranice.

Korak 2: Zbog toga je centar $S$ podjednako udaljen od svake ivice trougla (to rastojanje je zapravo naš poluprečnik $r_u$ ).

Korak 3: Pišemo formulu: $r_u = 4 \, \text{cm}$

Korak 4: Pošto je udaljenost ista za sve stranice, rastojanje do stranice $b$ je takođe $4 \, \text{cm}$ !

✅ Rešenje:

4 \, \text{cm}

📝 Primer 2: Računanje uglova preko simetrale

Zadatak: Ako simetrala ugla $\alpha$ deli taj ugao na dva manja dela, i jedan od njih iznosi $35^\circ$ , koliki je ceo ugao $\alpha$ ?

✅ REŠENJE KORAK PO KORAK

Korak 1: Znamo da simetrala deli ugao tačno na pola.

Korak 2: To znači da i druga polovina mora biti tačno $35^\circ$ .

Korak 3: Pišemo izraz za ceo ugao:

$\alpha = 2 \cdot 35^\circ$

Korak 4: Računamo:

$\alpha = 70^\circ$

✅ Rešenje:

70^\circ

📋 FORMULA

Ako simetrala deli ugao na dva dela:

$\alpha = 2 \cdot \alpha_1$

ili

$\alpha_1 = \frac{\alpha}{2}$

📝 Primer 3: Jednakostranični trougao

Zadatak: Visina jednakostraničnog trougla iznosi $h = 6 \, \text{cm}$ . Izračunaj poluprečnik upisane kružnice $r_u$ .

✅ REŠENJE KORAK PO KORAK

Korak 1: Kod jednakostraničnog trougla, centar upisane kružnice deli visinu u odnosu 2:1.

Korak 2: Poluprečnik upisane kružnice je 1/3 visine:

$r_u = \frac{h}{3}$

Korak 3: Zamenjujemo:

$r_u = \frac{6}{3} = 2 \, \text{cm}$

✅ Rešenje:

2 \, \text{cm}

Jednakostranični trougao sa upisanom kružnicom

📝 Primer 4: Obrnuto - iz poluprečnika u visinu

Zadatak: Poluprečnik upisane kružnice jednakostraničnog trougla iznosi $r_u = 9 \, \text{cm}$ . Odredi visinu $h$ tog trougla.

✅ REŠENJE KORAK PO KORAK

Korak 1: Koristimo istu formulu, ali obrnuto:

$r_u = \frac{h}{3} \Rightarrow h = 3 \cdot r_u$

Korak 2: Zamenjujemo:

$h = 3 \cdot 9 = 27 \, \text{cm}$

✅ Rešenje:

27 \, \text{cm}

📋 VAŽNO

Kod jednakostraničnog trougla:

• Centar upisane = centar opisane

• $r_u = h/3$

• $R = 2h/3$

📝 Primer 5: Pravougli trougao

Zadatak: Pravougli trougao ima katete $a = 6 \, \text{cm}$ i $b = 8 \, \text{cm}$ . Izračunaj poluprečnik upisane kružnice.

✅ REŠENJE KORAK PO KORAK

Korak 1: Prvo nađimo hipotenuzu (Pitagorina teorema):

$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}$

Korak 2: Formula za poluprečnik upisane kružnice kod pravouglog trougla:

$r_u = \frac{a + b - c}{2}$

Korak 3: Zamenjujemo:

$r_u = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \, \text{cm}$

✅ Rešenje:

2 \, \text{cm}

🧮 Zadaci za samostalan rad

Zadatak 1: Simetrala deli ugao na dva dela. Ako je jedan deo 25°, koliki je ceo ugao?

Rešenje: $2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$

Zadatak 2: Centar upisane kružnice je na udaljenosti 7cm od stranice a. Koliko je udaljen od stranice c?

Rešenje: $7 \, \text{cm}$ (isto za sve stranice!)

Zadatak 3: Da li centar upisane kružnice može biti van trougla?

Rešenje: NE! Uvek je unutar trougla.

Zadatak 4: Koliko simetrala je dovoljno nacrtati za centar?

Rešenje: Dve su dovoljne!

Zadatak 5: Trougao ima uglove 60°, 60°, 60°. Koliki je ugao između simetrale i stranice?

Rešenje: $30^\circ$ (polovina od 60°)

📋 REŠENJA

1. 50°

2. 7cm

3. NE, uvek unutra

4. Dve simetrale

5. 30°

✍ Savet: Probaj sam da rešiš pre nego što pogledaš rešenja!

⚠️ Najčešće greške

❌ Mešanje simetrala: Ovo je zamka u koju upadne pola razreda! Đaci krenu da crtaju simetrale STRANICA, a traži im se upisana kružnica. Zapamti: Upisana → Uglovi!

❌ Pogrešan poluprečnik: Kad nađu centar S, deca zabodu šestar u njega i rašire ga skroz do ćoška (temena). NE RADI TO! Vrh šestara mora da ide samo do IVICE (stranice) trougla!

💡 Pravilno: Kružnica ide unutra, ne sme da pređe liniju stranice!

🎯 REZIME

Upisana = unutra | Centar = presek simetrala uglova | Poluprečnik = do stranice!

Kvizovi30otvorizatvori